一篇文章搞定空間解析幾何

這一章節放在課本的第一章，顯得較為容易，題型也較為單一。一般來說，這一章節的知識分為兩個方面，一個是空間向量的運算，另一個是空間中的線和面。而且每一個都與高中的知識有很大的聯系，算是其拓展與延伸，作為一個過渡而出現。下面我們簡要的介紹一下:

一，空間向量的運算

（一），向量的投影運算

這裡可以分為向量在向量上的投影，向量在平面上的投影。向量在向量上的投影就是向量的數量積。其滿足常見的結合，交換，分配律，但是不滿足消去律。

要記得投影是一個長度，所以向量的數量積是一個常數。我們把向量a在向量b上的投影記作Prjba,把兩個向量之間的夾角記作尖括号<a,b>。而在平面上的投影怎麼計算呢？很簡單，先求出平面的一個法向量，而後求出向量末端的點距離平面的距離，而後勾股定理即可，求點到平面的距離下面會講到。

（二），向量的數量積與混合積

數量積一個全新的定義，所得到的是一個全新的向量，而不是一個常數。那麼作為一個向量，其必然會有大小和方向。我們把方向與長度規定如下：

（成右手系就是讓右食指從a指向b的方向，然後與此時大拇指所指的方向成右手系）。

混合積是由三個向量的乘積引入的，定義形式如下：

數量積的數值代表了向量形成的平行四邊形的面積，而混合積的數值代表了形成的平行六面體的體積大小。數量積不滿足交換律，混合積滿足輪換對稱性，因為交換一次會變号，那麼交換兩次就可以變回來了。向量積滿足分配律和結合律，可以放心展開。

說到這裡就不得不提一下他們的坐标表示了

注意在這裡的ijk都是單位向量的一部分。如果再向量均不為零的情況下，數量積等于零說明垂直，向量積等于零說明共線，混合積等于零說明共面。而且向量積還可以直接算出法向量。

二，空間中的線和面

（一），直線

直線有四種方程的表達，每一種都有其獨特的性質和意義：

1. 直線的标準方程

(m,n,p)為直線的方向向量（x0,y0,z0）為直線上一點

2. 直線的參數方程

(m,n,p)為直線的方向向量（x0,y0,z0）為直線上一點

3. 直線的兩點式方程

（x1,y1,z1），（x2,y2,z2）是直線上兩個點

4. 直線的一般方程

這個是利用兩個平面的交線來定義的

這種看不出什麼特别的性質，所以我們要掌握互換的方法，從一般方程化為标準方程，隻需要兩式相消，先消去一個未知數找出另外兩個未知數的關系，重複此步驟一次就能得到标準方程。由标準式化一般式更簡單，隻需要把一個等式拆為兩個等式，如果原來是A=B=C，那麼化為 花括号A=B B=C而後化簡即可。

（二），平面

同樣的，平面方程也有四種表示方法

1. 平面的點法式方程

其中x0.y0.z0為平面上的點，（A,B,C）為平面的法向量

2. 平面的一般方程

法向量為（A,B,C），這個顯然是點法式方程的展開式，其中ABC有0的證明平面平行于相應的軸。

3. 平面的截距式方程

a,b,c是平面在坐标軸上的截距。

4. 平面的三點式方程

很明顯上述行列式中的元素是由不共線的三點（x1,y1,z1),(x2,y2,z2），（x3,y3,z3)所構成的。寫成這種簡化形式也是因為行列式本身的意義，不明白的同學可以看一看小醬行列式的文章。

介紹完各自的性質，現在說一說它們結合起來會是怎麼樣。結合的情況無非線線，線面，面面。題目設問無非平行，垂直，距離。下面以一張表來說明：（省略了點點，點面的情況）

兩條直線共面和異面的問題單獨拿出來說一下：如果設兩條直線的方向向量分别為s1,s2，兩條直線上分别找一點P1P2,則有以下結論：

5. 曲面方程

這一塊隻需要我們記住他們的特征就OK，所以下面給出一些簡記的方法，公式在最後面給出。

（1）.柱面

X-0-y平面曲線方程加上z=0

（2）.旋轉面

這種一般都是繞某一條坐标軸旋轉而得到的，通常會讓求旋轉後曲面的方程，我們隻需要注意以下幾點即可：繞着哪條邊旋轉，哪個坐标不變。另外兩個邊的平方和不變。代換即可

（3），橢球面

有高中時的橢圓類似，隻不過多加了一個平方項。

（4），單葉雙曲面

單葉有一個負号雙頁有兩個負号，

（5），雙葉雙曲面

（6）橢圓抛物面

抛物線有一個平方項，一個一次項，而加上橢圓二字多了一個二次項

（7），雙曲抛物面

抛物線有一個平方項，一個一次項，而加上一個雙曲二字，加上一個負的二次項

（8），二次錐面

唯一一個常數項為零的

好了，本文到這裡就結束了，這一塊知識點并沒有那麼多，再加上好的同學明天就要考試了，所以加緊更了這一期。希望大家多多支持。

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