5月5日立夏，跟朋友們聊起了立夏的習俗，比如說：祭祖祭神、挂蛋。此外還有一個非常特别的習俗——稱體重。·據說，立夏這一天稱了體重之後，就不怕夏季炎熱，人也不會消瘦，如果不稱體重就會有病災纏身。

古人稱重用的工具是一杆大木稱，秤鈎懸一根凳子，大家輪流坐到凳子上面秤人。其實這種稱與中藥鋪中用的小稱盤的原理是一樣的——杠杆原理。阿基米德曾經有一個經典名言：“給我一個支點和一根足夠長的杠抄杆，我就可以撬動地球”。

看上去用杠杆原理稱地球的重量應該是可行的，但事實上做不到。因為我們既找不到那麼長和堅固的秤杆，也找不到懸挂秤杆的支點。到底怎麼才能稱出地球的體重呢？（重量和質量不是同一個物理量，嚴格說，應該是稱量地球的質量。）

這個問題直到牛頓發現了萬有引力定律的時候才有了解決的方法。估計萬有引力這個公式F=GMm/r^2，大家也都沒忘記。咱們一起來看看是怎麼從這個公式中找到跟給地球稱“重”的方法的。

從這個公式其實可以找出兩種給地球稱“重”的方法：

這種方法是在牛頓想到的第一個辦法。因為，雖然當時牛頓得到了萬有引力的公式，但公式中那個萬有引力常數G的值是多少牛頓自己也不知道。

按說隻要測出兩個物體的質量，物體質心間的距離，再測出兩個物體之間引力的大小，代入前面那個萬有引力公式，就能計算出這個常數。無奈，普通物體的質量都太小了，我們無法測出它們之間的引力。而天體的質量又太大了，也不能直接測出質量。這也導緻了，牛頓提出萬有引力公式之後100年内，這個常數都沒人能測出一個準确值來。

牛頓是怎麼從公式裡面找到單擺法的呢？其實牛頓公式中暗含着地球對它吸引的物體施加的加速度g與萬有引力常數之間的關系，即，g=GM/r^2。但這個g是一個局部的量，地球上不同地方g的值會有一個微小的差異。但這不要緊，這個方法總是可以得到一個比較接近的數值。具體操作方法是下面這樣的：

做一個單擺，這個簡單，就是用一根細線挂一個重物，擺錘會在重力的作用下，處于一個穩定狀态，也就是說穩定在那個平衡點上。當然了，事實上這做不到，做過物理實驗的小夥伴都明白這一點。不過這不要緊，即使單擺擺動起來也不要緊，因為隻要單擺處于擺動平衡狀态也是可以的。

這樣一個單擺，實際上就是形成了地球和單擺的一個系統。如果我們此時在單擺的旁邊放一個已知質量和形狀的物體，會發生什麼呢？單擺會被這個大物體吸引，從而導緻擺動的角度（平衡點的位置）發生變化，即向着這個大物體方向發生偏轉。隻要這個物體質量非常大，那麼單擺偏離原來平衡位置的角度就能被觀測出來。

現在就形成了地球、單擺、大質量物體共同組成的一個系統。單擺偏轉的角度值（弧度）就是大質量物體對重錘的引力與地球引力的比值。即θ=M1R^2/M2r^2，其中M1是額外加進來的那個大質量物體、R是地球半徑、M2是地球質量、r是重錘質心與M1質心之間的距離、θ是單擺偏離平衡位置的角度。

那麼去哪找這麼一個已知形狀的大質量物體呢？科學家們能想到的是“山”。好吧，這腦洞是真夠大的，但真的有人去這麼幹了。一幫科學家們在倫敦郊外找了一個大山，對山體進行了測量，并且支起了一個巨大的支架，做了一個單擺。

說真的，光是聯想那些科學家用這個方法測量地球質量的畫面，我就已經在風中淩亂了。具體的是不是測量出結果了，我沒有查到資料，就不多說了。這種辦法與狂人阿基米德的豪言相比，很明顯——靠譜。

如果我們認真分析這個比較法，其實試驗中得到的直接測量結果是單擺的偏轉角度，而影響實驗測量精度的最大因素是那個山的密度的測量。偏轉角度也可以換算成地球密度與山體密度的比值。後來這個單擺實驗得到了改進，但其測量目的其實沒變——也是為了得到地球的密度。這就是我們下面要介紹的——卡文迪許扭擺實驗。

這個扭擺實驗實在是太有名了，同樣出現在我們的高中課本裡，即使科技迅猛發展到了今天，地球上測量萬有引力常數最領先的華中科技大學團隊，依然使用的是這種方法。

雖然這套扭擺裝置被稱作卡文迪許扭擺，但其實這套裝置的發明人是英國皇家學會的米歇爾神父。米歇爾制作扭秤的目的與最早嘗試測量地球質量的人一樣是為了測定地球的密度，并與卡文迪許讨論過這一問題。但是，米歇爾還未用它來進行測定，便去世了。

米歇爾去世後，這架儀器幾經輾轉傳到了劍橋大學教授沃萊斯頓神父手裡，他又慷慨地贈送給了卡文迪許，這時卡文迪許已是年近古稀的老人了。

卡文迪許首先根據自己實驗的需要對米歇爾制作的扭秤進行的分析，他認為有些部件沒有達到他所希望的方便程度，為此，卡文迪許重新制作了絕大部分部件，并對原裝置進行了一些改動。

卡文迪許認為大鉛球對小鉛球的引力是極其微小的，任何一個極小的幹擾力就會使實驗失敗。他發現最難以防止的幹擾力來自冷熱變化和空氣的流動。為了減小誤差，卡文迪許把整個裝置放在一個封閉的房間裡，通過望遠鏡從室外觀察扭擺臂杆的移動。

扭擺的主要部分是一個輕而堅固的T形架，倒挂在一根金屬絲的下端。T形架水平部分的的兩端各裝一個質量是m的小球，T形架的豎直部分裝一面小平面鏡M，它能把射來的光線反射到刻度尺上，這樣就能比較精确地測量金屬絲的扭轉。

實驗時，把兩個質量都是m'的大球放在如圖所示的位置，它們跟小球的距離相等。由于m受到m'的吸引，T形架受到力矩作用而轉動，使金屬絲發生扭轉，産生相反的扭轉力矩，阻礙T形架轉動。當這兩個力矩平衡時，T形架停下來不動。

這時金屬絲扭轉的角度可以從小鏡M反射的光點在刻度尺上移動的距離求出，再根據金屬絲的扭轉力矩跟扭轉角度的關系，就可以算出這時的扭轉力矩，進而求得m與m'的引力F。這個萬有引力是非常小的，實際生活中幾乎不可能感受到，但是确實存在。

卡文迪許是利用小球的與地球的比例關系來測量出的地球質量，從而得出地球平均密度（這也是卡文迪許生前最後的一項研究）約為5.448克/厘米，現在公認的是5.507克/厘米，已經相差無幾。卡文迪許通過他的實驗估計出地球的質量大概是60萬億億噸，和現有的公認值5.972 10^24 kg很接近。

如果我們利用卡文迪許的數據進行進一步的推算是可以得到萬有引力常數G的值的。一般性地說在天文單位上，G是地球密度的倒數，卡文迪許測到了地球密度，自然也算得到G了。

測量地球質量這個事太重要了，隻要知道了地球的精确質量，就能知道太陽質量是多少，進而計算出其他天體的質量。在人類稱量地球的過程中，卡文迪許扭擺是目前最有效的方法，沒有之一。

我們從尋找給地球稱重辦法的曆史故事中應該了解物理學的另外一個分支——實驗物理。它向我們展示的是物理學的另一種魅力，物理學不僅有理論，更有實驗。無實驗不物理，這個理念您Get到了嗎？

不知道小夥伴們是不是通過這篇文章對萬有引力定律有了更深的了解呢？歡迎您在下方留下您的寶貴意見。

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