本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

幫小青蛙設計一個井

作者 : 管傑旭

作品編号：029

1. 問題介紹

1.1問題背景

在對于寓言故事中的數學内涵探索中，“井底之蛙”的故事引起了我們的注意。可憐的小青蛙隻想待在井底，既然不能讓他看看外面的世界，索性幫助他有一個更良好的井底居住環境吧。問題由此産生。

1.2問題條件

幫小青蛙建的新水井，必須滿足以下要求：

（1）水井要像一個井。井口太窄，井太淺或井壁傾斜角度過大都不是一個水井應有的樣子。

（2）水井施工作業量要盡量小。

（3）水井安全程度要盡量高。

（4）水井總可視天面積要盡量大。

（5）水井單點可視天面積要盡量大。

2. 問題研究

2.1模型構建

（圖1）

如圖1所示，我們将水井的形狀簡化為圓台的形狀。圓台是由直角梯形繞軸旋轉360°而成，因此，圓台具有高度的對稱性。

（圖2）

如圖2所示，我們可以得出：

(1) 圓台QW的構成為圓錐QV截去圓錐WV。因為在圓錐WV内及上的任意一點，對于圓台水井QW底都可以一覽無餘，在遇到會飛的天敵出現在區域中時，井底的小青蛙将無處可藏。因此，我們将圓錐WV定義為水井的不安全位置。

(2) 圓O的面積為小青蛙在井底能看到平面的所有區域。我們定義圓O為小青蛙的可視天區域。圓P為小青蛙在井底任意一點M上能看到平面的區域。我們定義圓P為小青蛙的單點可視天區域。

(3) 圓W所在為平面定義為地平面（為地平面上一直線）。直線所在平面與圓W所在平面平行，代表天空。（其中，與均與點M共面）

由于圓錐DEK和圓台LMDE同樣具有高度的對稱性，圓的面積也由其直徑決定，因此在這裡，我們用過點M的平面去截整個水井模型，通過取其截面，将三維的體積問題轉化為二維的面積問題進行研究。

（圖3）

如圖3，我們将圖2進行轉化。

（1）因為注意到圓台的軸截面形狀，我們将水井視為等腰梯形ABCD，BC邊與AD邊即井壁。

（2）BC的延長線與AD的延長線交于點P，圓錐WV的截面即為水井的不安全區域。則為二維水井模型的不安全面積。

（3）小青蛙的任務是在地上挖井，我們用圓台QW的截面ABCD來衡量水井的體積。即為水井施工量，小青蛙要挖走這麼多的土。

（4）定義直線AC與直線BD同直線l 的交點E、F的距離即原圓O的直徑為小青蛙可視天總面積（用直徑長度衡量）。現在，M是線段CD上任意一點，直線MB、直線MA與直線l的交點G、H的距離為小青蛙單點可視天面積。

2.2問題提出

小青蛙想修建一種水井，水井的開口（AB）為1，下底CD的長度不小于1，不大于2（這樣的水井井口不會太窄；井底當然也可以更寬，這裡先取到2進行初步研究）。已知水井的高度為,水井的高度大于15米，天（直線l）到井底CD的距離為。

2.2.1問題分析

如圖4建立平面直角坐标系：

（圖4）

AB=1,可知：

;

A(1,);

B(0,);

C(,0);

D(1-,0);

不妨設

不難發現，自定義考慮的三個量是随着的變化而變化的，可以看作是的函數。下面就四個自定義考慮點進行變化趨勢的分析：

（1）水井不安全面積（即）與的關系：

BC:，

AD:；

聯立得方程組，得點P得坐标為

則，即水井不安全面積為.

（2）水井施工工作量（即）與得關系：即等腰梯形ABCD的面積。.

（3）水井可視天的總面積（即Wide）與的關系：

即：

（4）水井單點可視天面積：因為相似三角形的知識，在問題一的模型中，水井單點可視天面積為定值，在此不予以考慮。綜合以上分析可得：

；

；

其中. 取特殊值，繪制函數圖像如圖5。

（圖5）

接下來，則需要小青蛙做出選擇，它可對三個因素進行比較分析（賦權），選取更重要的因素進行水井設計。

2.2.2相關結論

(1)單因素考慮：

①當水井不安全程度或水井可視天總面積（Wide）最重要時，越大越好。

②當水井施工作業量最重要時，越小越好。

（2）雙因素考慮：

①當考慮與Wide時，取=-0.5時最合适。

②當考慮與時，因為函數增長率不斷增大而函數的傾斜程度相對較小，所以可以考慮兩函數的交點P的取值。交點往右看時，函數下降的不多，而函數持續加速上升，自然不行；交點往左看時，函數下降的和函數上升的都不多，往左取值有得不償失的感覺。可得出結論。

③當考慮與Wide時，因為當=0時Wide函數值不算太低（遠遠大于），在取值範圍内時函數變化不大，因此時在取值範圍内取任意值都應不成問題。

2.3 對小青蛙對三個因素賦權的建議

問題一中，的最小值是-0.5，相關結論已研究清楚。

當在（-∞，0）之間内，在大範圍之下，小青蛙應該怎樣為三個因素賦權呢？

圖6

如圖6所示：

（1）無論多大，都不能有一個因素不參與考慮。

（2）當越大，函數的增長率越大。因此越大時，越需要對水井不安全程度進行考慮。當較大時，水井施工量及水井可視天面積都不需要太多考慮（與結論③相呼應），因此兩函數的一段可以數值較小且重合。

（3）當越小，函數的增長率越小。因此越小時，越不需要對水井的不安全因素進行考慮。同時，在單點可視天面積不變的情況下，水井總視天面積太大也沒有實際意義。在=0時Wide函數函數值不低的情況下，越小時，越不需要對水井的可視天總面積進行考慮。這裡，我們便可以将較小時兩函數的圖像重合。

（4）當越小時，函數值越大，到最後其實隻需對水井工作量進行考慮。因此我們可以令越小，水井工作量的權加速變大。

綜上所述，可以繪制出三個因素的權随變化而變化的草圖。這是我們對于小青蛙對三個因素賦權的建議，小青蛙可以如此考慮。

2.4引申問題

任性的小青蛙不接受幫助，任意建了一個符合問題要求的水井，請對小青蛙水井修建水平進行評估。

2.4.1問題分析

因為小青蛙是随意建井，所以我們認為在這裡三個因素同等重要。為了體現水井施工作業量要盡量小，水井安全程度要盡量高，水井可視總天面積要盡量大的原則，可建立函數

分析得當-0.5≤≤0時，函數f單調遞減。可見在三個因素同等重要的情況下，水井的水平随的變大而降低，因此我們可以通過（，0）到原點的距離（函數g()）來衡量任性小青蛙随意建造的水井的相對水平。

2.4.2 問題結論

有

2.5 誤差分析

對于函數，其不總是以反比例函數的方式增長。當點P落在直線上，即

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