正文

正如希臘神話中許多英雄一樣, 哲學家希帕索斯(Hippasus)被傳說要接受神的懲罰.

但他錯在哪兒了呢? 是他殺人了. 還是他破壞了神聖的儀式. 都不是! 希帕索斯的罪源于一個數學證明 - 無理數的發現.

希帕索是畢達哥拉斯學派中的一員, 他們對于數字有着宗教般的崇敬.

他們的格言"萬物皆數"(All is Number): 暗示着他們認為數字是宇宙建立的基石, 而且他們也相信任何事物從宇宙研究到音樂發展, 從形而上學到道德觀念歸, 根到底都是數字比例的問題.

因此，任何數字都可以被寫成一個比例形式（分數）.

5就是5/1, 0.5就是1/2等等, 甚至一個可以被無限延伸的十進制數字, 也可以被準确表示成34/45.

這些數字都被稱為有理數(Rational ), 而希帕索斯卻發現了一個背離這種和諧規律的數字 - 一個本不該存在的數字.

這個問題起源于一個非常簡單的圖形一個四邊長度均為單位 1 的正方形.

根據畢達哥拉斯的理論這個正方形的對角線長度應該為根号二, 但是無論希帕索斯如何嘗試都不能将根号二變為兩個整數的比例形式. 他并沒有選擇放棄而是決定證明這個數字确實無法被比例表示出來.

希帕索斯首先假設畢達哥拉斯的"萬物皆數"的觀點是正确的, 根号二是可以被表示成兩個整數之比.

他假設這兩個整數分别為 p 和 q, 并假定這個比例已經被最簡化. 因此，p 和 q 應該沒有相同公約數, 要證明根号二并不是有理數, 希帕索斯隻需要證明 p/q 并不存在即可.

他将等号兩側均乘以 q , 然後兩側均計算平方, 這樣得到了一個等式.

任何數字乘以 2 的結果都是偶數, 所以 p 的平方是偶數如果 p 是奇數，則 p 的平方不可能為偶數因為奇數乘以本身，得到的還是奇數, 所以 p 也應該是一個偶數. 因此，p 可以表示為 2a, 其中 a 也是一個整數. 把這個等式帶入原來的方程，并簡化得到：q^2 = 2a^2. 再一次，任何數字乘以 2 得到的結果為偶數, 所以 q 的平方一定是偶數, 那麼q也一定是偶數, 這就得到 p 和 q 都是偶數的結果.

但如果這是正确的話 p 和 q 就有一個共同的因子 2, 這就跟最初的題設矛盾!!

至此，希帕索斯得以證明, 這樣的比例是不存在的, 這被稱為矛盾證明法. 而根據傳說上帝并不喜歡矛盾的存在.

有趣的是，即便我們無法将無理數表示成為整數的比例形式, 我們卻可以将它準确表現在圖形之中, 以根号二為例. 我們需要做的就是準确的畫出一個兩條直角邊均為單位一的三角形, 他的的斜邊的長度就是單位根号二.

這同時也可以被延伸下去, 我們可以繼續畫另外一個直角三角形, 其中一條邊以剛才的斜邊為基礎，另一條邊長度為單位1, 這個三角形的斜邊程度就是單位根号三,

它同時還可以繼續被延展下去, 關鍵問題是小數和分數都隻是表現數字的方法之一, 根号二隻是一個邊長為單位一的直角三角形的斜邊長度罷了相似的.

著名的無理數 π 也是與它描述的圖形關系, 一樣代表者圓周長和半徑的比例, 近似值 22/7 或者 355/133 是永遠無法準确的表達出 π 值的.

我們永遠也無法知道在希帕索斯身上到底發生過什麼, 但是我們知道他的發現引發了第一次數學危機并激勵更多數學家繼續前行, 所以無論神話裡面怎麼說, 永遠不要害怕去探索不可能.

根據有關 TED Ed 視頻: The Infinite Hotel Paradox 及維基百科編寫. 完整視頻與字幕, 後台回複關鍵字 [TED] 得到國内雲盤下載地址. 更多 TED Ed 視頻見下圖或未來繼續推出的文章.

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