任意角度的正弦值求法?在高中，我們學過正弦函數，也知道一些特殊角度的正弦數值，如sin90°=1，sin60°=，我來為大家講解一下關于任意角度的正弦值求法?跟着小編一起來看一看吧!

任意角度的正弦值求法

在高中，我們學過正弦函數，也知道一些特殊角度的正弦數值，如sin90°=1，sin60°=

，sin45°=，sin30°=0.5。但是對于其他非特殊角度的正弦值，我們就不太好計算了。

最近，我在圖書館看到一本國外的科普書《天啊，幾何還能這樣學》，裡面就聊到如何快速手算任意角度的正弦值，以及如何根據正弦值求解角度。裡面介紹的方法很新穎，也很有效果，如下圖所示：

這種方法的原理是，當角度很小時，該角度所對的圓弧與半徑的比值與正弦值非常接近，誤差很小。這時，計算正弦值就轉換為計算圓弧與半徑的比值。

如下圖所示，點A為圓心，AB、AD為圓的半徑，BD是角A所對應的圓弧，BC垂直AD于C。當角A很小時，圓弧BD與線段BC的長度就非常接近。

假設AB=R，于是sinA°=BC/ABBD/AB=BD/R。

又因為BD=2R（A/360），于是sinA°BD/R=（A/360）=A/180。

當已知正弦值需要求角度時，A180*sinA°/。

從中，我們可以看出來，當角度很小時，正弦值與角度接近成正比，利用這個特征，我們就能夠根據角度求解正弦值，以及根據正弦值求解角度。

因為sinA°BD/R=2（A/360）=A/180，于是：

1、sin1°=1*/180=0.01745。

（查正弦表可知，sin1°=0.01745……，這時兩者小數點5位以内數值都是一緻的）

2、sin2°=2*/180=0.03491。

（查正弦表可知，sin2°=0.03489……，這時兩者小數點3位以内數值都是一緻的）

3、sin10°=10*/180=0.17453。

（查正弦表可知，sin10°=0.17364……，這時兩者小數點2位以内數值都是一緻的）

4、sin15°=15*/180=0.26180。

（查正弦表可知，sin15°=0.25881……，這時兩者小數點1位以内數值都是一緻的，這時誤差為（0.26180-0.25881）/0.25881=1.15%，這個誤差還是相對比較小的，屬于可接受範圍。）

于是當正弦值已知，且小于0.26時，我們就可以利用A180*sinA°/這個公式快速求出角度，下面我舉幾個例子：

5、當正弦值為0.25時，這時我們要求的角度A180*sinA°/=180*0.25/=14.32°。

6、當正弦值為0.2時，這時我們要求的角度A180*sinA°/=180*0.2/=11.46°。

7、當正弦值為0.1時，這時我們要求的角度A180*sinA°/=180*0.1/=5.73°。

8、當正弦值為0.08時，這時我們要求的角度A180*sinA°/=180*0.08/=4.58°。

1、sin30°=30*/180=0.52360。

（我們知道sin30°=0.5，這時依據上述方法算出來的誤差為（0.52360-0.5）/0.5=4.72%，這個誤差已經很大了，是無法接受的。）

2、這時為了降低誤差，我們需要利用勾股定理求出15度角的正弦值（sin15°）。

已知AB=AD，AC垂直于BD，角BAC=角DAC=15°，角BAE=30°，BE垂直于AD，于是BC=CD。

因為角BAE=30°，所以BE=AB，AE=AB，ED=AD-AE=AB。

在三角形BED中，。

可計算得出：。

于是sin15°=BC/AB==0.258819……=0.259（取3位小數）

又sin30°=0.5，所以（sin30°-sin15°）/15=0.01608=0.016（取3位小數）

15°~30°，我們認為角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.016。

3、于是：

sin15°=0.259

sin16°=0.259 0.016=0.275

……

sin20°=0.259 0.016*5=0.339

（查正弦表可知，sin20°=0.342……，誤差很小）

……

sin25°=0.259 0.016*10=0.419

（查正弦表可知，sin25°=0.422……，誤差很小）

……

同樣地，當正弦值已知，且處在0.259（sin15°）~0.5（sin30°）時，利用前面的結論“15°~30°，我們認為角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.016”，我們可以根據正弦值快速求出相對應的角度：

4、當正弦值為0.3時，這時我們要求的角度A=15 （0.3-0.259）/0.016=17.6°。

5、當正弦值為0.4時，這時我們要求的角度A=15 （0.4-0.259）/0.016=23.8°。

6、當正弦值為0.45時，這時我們要求的角度A=15 （0.45-0.259）/0.016=26.9°。

……

1、sin30°=0.5，sin45°=（取3位小數）

2、（sin45°-sin30°）/15=0.01608=0.0138=0.014。（取3位小數）

3、30°~45°，我們認為角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.014。

4、于是：

sin30°=0.5

sin31°=0.5 0.014=0.514

……

sin35°=0.5 0.014*5=0.570

（查正弦表可知，sin35°=0.5735……，誤差很小）

……

sin40°=0.5 0.014*10=0.640

（查正弦表可知，sin40°=0.6427……，誤差很小）

……

sin44°=0.5 0.014*14=0.696

（查正弦表可知，sin44°=0.69465……，誤差很小）

同樣地，當正弦值已知，且處在0.5（sin30°）~0.707（sin45°）時，利用前面的結論“30°~45°，我們認為角度在增加，正弦值也随之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值随之增加0.014”，我們可以根據正弦值快速求出相對應的角度：

5、當正弦值為0.6時，這時我們要求的角度A=30 （0.6-0.5）/0.014=37.1°。

6、當正弦值為0.7時，這時我們要求的角度A=30 （0.7-0.5）/0.014=44.3°。

……

1、如下圖，在直角三角形ABC中，角C是直角，角A 角B=90°。

2、于是 ：，等式兩邊同時除以。

3、可得。

4、于是

5、于是：sin46°==0.718

（查正弦表可知，sin46°=0.71933……，誤差很小）

……

sin50°==0.768

（查正弦表可知，sin50°=0.76604……，誤差很小）

……

sin65°==0.908

（查正弦表可知，sin65°=0.90630……，誤差很小）

……

sin75°==0.966

（查正弦表可知，sin75°=0.96592……，誤差很小）

……

sin80°==0.985

（查正弦表可知，sin80°=0.98480……，誤差很小）

……

6、下面我們根據正弦值求解角度：

根據前面結論：，

可得

這時，我們就能根據正弦值，快速求解出角度了：

7、當sinA=0.75時，得0.66，這時0.66處在0.5~0.707之間，90-A=30 （0.66-0.5）/0.014=41.4°，于是A=90-41.4=48.6°。

8、當sinA=0.8時，得0.6，這時0.6處在0.5~0.707之間，90-A=30 （0.6-0.5）/0.014=37.1°，于是A=90-37.1=52.9°。

9、當sinA=0.85時，得0.53，這時0.6處在0.5~0.707之間，90-A=30 （0.53-0.5）/0.014=32.1°，于是A=90-32.1=57.9°。

……

好了，這種方法就介紹到這裡了。

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