上周和朋友們聊天，講起各自家中小娃學數學的事，瞬間點燃了大家的歡樂之源，同時也讓同有人生迷茫之感的老父親老母親找到了戰友，在交流各自戰鬥經驗的過程中，我們共同體會到：教自家娃學數學是一種坎坷經曆，能體會到各種世事之艱難，人間之不值，實在是一場令人激動的修煉。

交流中，大家普遍的困惑在于：孩子學數學，很多時候看似明白了，但隻要過一段時間就會遺忘，或者換一種形态就迷惑了。換言之，就是孩子對數學的理解非常之膚淺，觸及不到數學的核心結構，而家長也缺乏方法幫助孩子擴展對數學理解的廣度和深度，使得孩子的學習在淺層徘徊。

另一個困境在于，數學是對思維的探究和淬煉，但思維是無形的，教學往往隻能從問題出發，最終又回歸問題解答來驗收學習效果，結果很容易丢失學習的實質，忽略理解的過程，最後大家都盯着題目，所以刷題式的數學學習越來越低齡化，因為大家看不到第二條路。

但是，所有學習中孩子沒有搞清楚的細小問題，并不會随着年齡增長自然消失，最後都會彙聚起來，在某些階段集中爆發，可能是在學習加減運算的階段，或者在學習混合運算的階段，亦或者在應用題上。當在刷題學習中掩蓋的隐形問題上升為顯性問題，老父親和老母親的硬核遊戲就此展開一段精彩刺激的曆程。

所以，每一個孩子暴露出來的數學顯性問題，都必定有一個隐藏的思維關卡被忽略，沒有通關。如果我們真正想治标治本，或許我們可能就要放慢腳步，退一步去尋找孩子思維上的原因。

正如莎倫.格裡芬在《學生是如何學習的》叢書中所言：“獲得對數的理解是一個漫長、漸進的過程。”

慢，有時并不是問題，不理解才是。

被忽略的思維關卡造成了怎樣的障礙？

記得有一次，我和我父親在聊天時我對着他叫了一聲“爸爸”，當時還在上中班的大娃聽到了，眼睛瞪得賊圓，劈面斧正道：“不對，那是爺爺，不是爸爸，你才是爸爸！”所言之理直氣壯，令人呵呵。

從那天開始，我就開始天天給他放一首兒歌，就是現在各大商場門口搖搖椅上的經典歌曲：“爸爸的爸爸是爺爺，爸爸的媽媽是奶奶……”雖然後來他已經把這首兒童背的滾瓜爛熟，但是并沒有什麼用——他依然認為我喊我爸叫爸爸是不對的，要喊爺爺，并且言之灼灼：“爸爸的爸爸是爺爺嘛，你應該喊爺爺”。

這使得我家的輩分一度發生量化寬松。

這是在家裡。到了外面，孩子的社會性往往表現出這樣的情景：兩個小朋友搶一個玩具，雙方都非要那個被争奪的玩具，老師就算再拿一個完全一樣的玩具來，也不一定會和解。

這些現象背後隐藏的思維問題到底是什麼呢？

根據教科書的解釋，這叫幼兒的思維缺乏靈活性，常常會認死理。究其原因，是因為孩子對真實世界的經驗相對較少，對各種模式關系了解的不夠造成的。事實上，孩子在很長的一段時間内，無法理解相對性的概念，以及事物的多樣性。

而那麼這種相對思維的關卡，在數學的啟蒙上又會造成怎樣的障礙呢？我們往往忽略掉的又是什麼？

數學思維中存在着大量的相對思維、辯證思維，抽象思維則是數學思維的核心部分。而相對性思維的發展不足，會阻礙孩子理解事物在兩個維度上的同時變化，進而影響孩子抽象思維的發展。

我們容易忽略的是，思維有的時候很難随着自然生長而自動進化，或者說，生理上的因素隻是給了我們提供了基礎條件，但建構思維需要一些激發，以及思考的持續練習。從建構思維大廈的角度來說，沒有一種思維是可以憑空建立的，需要有思維的層層奠基。

讓我們來看一個實際的案例，講一道大家耳熟能詳，已經被講爛掉的數學題——雞兔同籠。從另一個角度來說，這道被講爛的題目又可能是我們幾代人的共同噩夢。

籠子裡一共關着8隻雞和兔，籠子下面露出20隻腳，請問雞和兔各有幾隻？

雞兔同籠問題為什麼成為經典數學題，曆經一千多年而不衰？除了數學方程意義上的價值之外，更重要的方面在于這道題體現了兩種量的同時變化——雞和兔，頭和腳。

雞兔腦袋的數量是合并出現的，腳的數量也是合并出現的，我們沒有辦法立即去确定其中任何一方的數量，導出另一方的數量，這使得我們的大腦産生了很大的困擾，我們需要設計新的大腦路徑去思考這個問題。

首先我們需要接受數量是會相對變化的這一現實，然後在這種相對變化中，運用想象營造出一種确定性去替換這種相對性，慢慢找出一條新的路徑，在這個過程中，大腦會非常的不适應，但這正是需要我們去克服的。

在變化中，尋找不變的因素，運用想象構建一種新平衡。所以有人想出了換元法：想象把所有的兔子都換成雞。又有人想出了砍腳法：想象把所有的兔子腿都砍下兩隻（可愛的兔兔怎麼忍心下得了手？！）。

其實具體什麼方法并不重要，重要的是在找尋方法、或者理解方法的過程中，我們認識到事物的兩維變化，所以用矩形的長寬兩維變化來表征問題中的頭數與腳數，能更直觀的讓我們理解究竟發生了什麼。

這樣的兩維變化，實質上就是相對性思維的體現，對我們思維的辯證性提出了挑戰。其實不隻是孩子，即便很多成年人也依然存在理解障礙。其實質在于我們的大腦傾向接受确定性的結論，不太能接受相對和變化。換一種說法，大腦的底層本質是一個記憶工具，思維功能是後天慢慢建構、不斷磨砺才能熟練應用。

我們有沒有解決之道？

關于相對性的思維難關，我之前也和其他家長分享過，有家長跟我反饋說：“夏老師，我仔細把這個問題放到我家孩子身上想了一遍，估計他是明白不了這個相對性的，你有米有啥子方法可以很快讓孩子理解呢？”

數學從學科角度來看，是反人性的。這個反人性沒有任何貶義的意思，而是數學思維不是遵循人類的常規思維往前推進的學科，是另辟蹊徑、精細分析的思維産物。同時，數學的學習，可以看作是對我們思維的磨砺，既說是磨砺，自然是有迹可循，卻無捷徑可言。

就拿“爸爸的爸爸是爺爺”這個例子而言，孩子最後是怎麼理解這個情景中相對性的問題呢？當他去到别的同學家裡，發現他們同學的爸爸也在喊爺爺爸爸，甚至身邊的長輩也在喊父輩爸爸，最後他發現在他身邊遇到的所有的人都是這樣，這樣他就會生出一種反思——之前的想法是不是有問題？

我們把這種思維上因矛盾沖突形成的反思稱為元認知，而這種元認知的啟動，需要建立在孩子的經曆增多的基礎之上。

同樣的，學數學也是如此。孩子需要積累大量的相對性感性經驗，才可能開始理解抽象性和相對性。

讓我從孩子最早期認識數量的階段開始講起：

1、2、3、4、5、6、7這些數字的本質并不是冷冰冰的符号，在它們的背後是實實在在存在着的物體數量，所以從這個角度來說，數學并不是一本關于數字的學問，而是關于數量的學問。

數字用了一種比日常語言（諸如：很多，一點，更多之類）更為精确的表述方式來表達數量，但是數字對數量的表達又是相對和抽象的，比如5這個數字，就不是絕對的表達為5個蘋果，而是可以表達任何關于5數量的事物，這就呈現出一種事物的多樣性，多樣性歸結于一個數字5，顯示出來的是5這個數字的抽象性。

所以這裡的認識邏輯是：認識多樣性——感受相對性——産生抽象性。

如果孩子沒有認識到5這個數字可以表達了多樣性事物的具體數量，比如孩子隻認為“5”就是五個蘋果的絕對表達，那麼在後面的階段學習中，他就很難理解5筐蘋果，每筐5個的相對變化，進而對乘法中兩個維度的變化無法理解。

很多孩子在學習乘法提取公因式中常常會犯一個錯誤，他們會把：3×7 2×3 3轉化成3×（7 2 3），沒有發現最後一項“3”其實是“1個3”可以轉換成“1×3”，本質上就對數字表達内涵的多樣性、相對性沒有充分的理解。

家長要在孩子早期認識數字的時候，就能夠充分地幫助他去發現生活中數字的不同内涵，更重要的是在分類後，幫助他發現在不同層次的事物中，數字都能表達數量，那麼孩子就會獲得最大量的數量多樣性的經驗樣本，對孩子相對性思維、辯證邏輯、抽象性思維的萌發有着很重要的意義。

比如“5”，可以用來表達5個人，進而可以表達5個男人、5個女人、5個老人或5個小孩，那麼，孩子在“人”這個結構層次上，立體的理解了“5”這個數量。

再比如“5”也可以表達5次掌聲、5聲喝彩、刮5次鼻子、眨5次眼睛，在這個層面上“5”又代表了非實物或者是動作的數量，在這個層面上，孩子對抽象性的理解又進了一步。古希臘哲學說“物理學之後”，意思就是思維不是眼見，眼見隻是虛像，這樣的思緒直接帶出了抽象邏輯觀念。

進而，我們還可以讓孩子去感受“5”個音符、“我想吃蘋果”是“5”個字，“5”句祝福的話，甚至5個5等等。在字符符号等更抽象的層面感知“5”這個數量。這樣又使得孩子對抽象的認識有了更深的感性積累。

十九世紀歐洲算術書有一首古老的歌謠：

我赴聖地愛弗西

途遇婦女數有七

一人七袋手中提

一袋七貓數整齊

一貓七子緊相依

婦與布袋貓與子

幾何同時赴聖地

無獨有偶，這樣數量分組包含、階乘的結構形式，在安野光雅的《壺中的故事》繪本中也得到了充分的體現：

一個壺裡有一片海；海上有1個小島；島上有2個國家；2個國家裡各有3座山；3座山上各有4座城堡；4座城堡裡各有5個村莊；5個村莊裡各有6棟房子；6棟房子裡各有7間房間；7間房間裡各有8個櫃子；8個櫃子裡各有9隻箱子；9隻箱子裡各有10個壺；最後算一下有3628800個壺。

這都很好的體現出數字代表量的相對性和抽象性，不妨念給孩子聽聽，問問他們的感受。

當然，如果僅僅是用上面列舉的那些方法，讓孩子去感知生活中數代表的實際數量的情形，還是遠遠不夠的，這種單項的輸入模式并不能确保孩子能夠主動建構出對數量多元的認識，需要有孩子主動的輸出，也需要成年人幫助孩子進行總結。這裡提兩個比較重要的方法：

第一、孩子需要進行數量的“轉換表征”。

第二、成年人需要向孩子展示數表征的主要形式。

• 轉換表征

先說說“轉換表征”，這什麼意思呢？簡單的說，就是一種關系的對應比喻，比方說：我們孩子去幼兒園，有時候老師會給孩子貼笑臉，笑臉代表孩子在某些行為符合要求，一個笑臉就代表符合一次要求，這就可以看做是一種表征。

或者我們去遊樂園，玩好回家，請孩子數一數還有多少個代币沒用掉。當然孩子可以用數字來表達，告訴我們還剩10個代币等等，但是這不是表征，隻是單純的計數，轉換表征是要孩子用另一種方式來比喻，比方說畫10個點點代表還剩10個代币，或者撕10張便簽紙代表10個代币等等。

這種方法，從本質上是讓孩子對數量多樣性認識的一種應用，或者說是一種表征的練習，如果再進一步，就接近數據統計了，也能從中生發出一些推理和分析，比如誰多誰少之類的問題。

• 成年人需要向孩子展示數表征的主要形式

這指的是：孩子在一開始進行數量表征的時候，往往采用的方式是用一樣實物來表征另一樣實物，比如用6塊積木代表家裡的6個人，但是慢慢的，對孩子思維的要求要提升，我們就需要給孩子呈現一些更為抽象的表征方式，比如前面說的用“點”來表示，也就是用“圖像”等等。

一般來說，從易到難，我們成人能夠向孩子展示的主要表征方式包括：

• 實物的表征

• 圖像的表征

• 線表征（數軸或棋盤中的步數）

• 柱狀圖表征

• 刻度盤的環形表征

這樣多樣式的表征展示，其目的在于幫助孩子建立表征的網絡結構，讓孩子對數量的表征能夠變的更多維和豐富，從而使得對數的相對性及抽象性理解的更充分。

當然，上述的不同表征類型不是一下子全部展示給孩子的，而是應該在孩子的表征活動過程中，慢慢向孩子揭開畫卷，并且要讓孩子在活動中使用的。

最後說兩句，回到我們今天所聊的主題：孩子數學啟蒙中的一個隐藏思維關卡——思維的相對性。以上說的内容也隻是相對性思維解鎖的一個方面，除了數量的深入認識之外，兒童在高矮、長短、寬窄等物體量的相對性認識，以及對多項比較時候的相對性（比如大中小的比較排序，等量代換等内容）上，也存在需要攻克的思維難關，需要更多的活動去支撐孩子們理解。

而在這些基礎的認知完成後，當孩子進入運算的認識，依舊還面臨相對性問題的挑戰。

比如在加法的學習中，理解數量合并的加法比較容易，如小明有3隻蘋果，花花又給了他1顆，小明一共有多少顆蘋果？對這樣的問題，孩子很快能夠理解3 1=4。但是在相對性的比較問題面前，同樣是加法，孩子就較難理解：比如小明有2顆蘋果，花花比小明多3顆，問花花一共有多少顆？

所以還是這句話，數學題的答案容易獲得，但思維的養成非一日之功，在一個數字或一個算式背後，隐藏着非常豐富的内涵，如果我們把數學僅僅看作是一種結論或固定的解答程序，我們就無法真正認識它。

這種無法認識，指的不僅僅是數學，更是對這個多變複雜的世界，那些包含無限可能性的萬物的多重變化的不可知，而數學，在這種流變的不确定之中，給我們提供了一種認識真實的穩定可能。

隻不過對我們的孩子而言，需要成人用持續的耐心，來幫助他們解鎖那隐藏思維關卡中的智慧閃光。

本文轉載自微信公衆号“外灘教育”，作者夏駿轶。文章為作者獨立觀點，不代表芥末堆立場。

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