第一次數學危機，是數學史上的一次重要事件，發生于大約公元前400年左右的古希臘時期，自根号二的發現起，到公元前370年左右，以無理數的定義出現為結束标志。這次危機的出現沖擊了一直以來在西方數學界占據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時标志着西方世界關于無理數的研究的開始。

無理數的發現

古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，大約在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了：等腰直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約。新發現的數由于和之前的所謂“合理存在的數”——即有理數在學派内部形成了對立，所以被稱作了無理數。

公元前5世紀，畢達哥拉斯學派認為數最崇高、最神秘，他們所講的數是指整數。“數即萬物”，也就是說宇宙間各種關系都可以用整數或整數之比來表達。但是，希帕索斯發現，邊長為1的正方形，它的對角線（根号2）卻不能用整數之比來表達。這就觸犯了這個學派的信條，于是規定了一條紀律：誰都不準洩露存在根号2（即無理數）的秘密。

是最先被發現的無理數。

約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯(Eudoxus，約公元前408—前355)解決了關于無理數的問題。他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的辦法，被歐幾裡得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一緻。21世紀後的中國中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。

第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然産物。

回顧在此以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數學也是從實際出發，應用到實際問題中去的。例如，泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船隻離岸距離等等，都是屬于計算技術範圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學，并沒有經曆過這樣的危機和革命，也就繼續走着以算為主，以用為主的道路。而由于第一次數學危機的發生和解決，希臘數學則走上完全不同的發展道路，形成了歐幾裡得《原本》的公理體系與亞裡士多德的邏輯體系，為世界數學作出了另一種傑出的貢獻。據史籍記載,古代的希臘和中國,很早就發現了無理數。然而東西方卻通過不同的途徑來認識和發展無理數的理論:希臘人着眼于幾何量的長度關系,從線段不可公度的幾何角度入手,用邏輯方法進行探讨;中國人着重滿足實際應用的數的運算,從開方不盡的計算過程入手,通過計算方式來認識并建立其法則。[5]

但是，自此以後希臘人把幾何看成了全部數學的基礎，把數的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數本身的研究，使算術和代數的發展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發展的局面在歐洲持續了2000多年。

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