我們先來簡單回顧一下圖形之美1.0——從“試錯法”到“向錯誤學習”的内容。

我們從繪制一條邊開始 → 繪制正四邊形、正三邊形、正六邊形 → 猜測正多邊形外角和等于360度 → 驗證猜測 → 繪制其他的正多邊形 → 找到圓的繪制方法；

接着，我們繪制了正五角星 → 通過試錯法找到了144°這個度數 → 也找到了145°為什麼不正确的理由 → 追問自己，145°既然不是五角星所對應的外角，那麼它是哪個圖形的外角？

回歸到試錯法，嘗試調整邊的數目，第一次意外的收獲 → 分析這個意外的收獲 → 人為将誤差放置于邊長這個參數上 → 将邊長與旋轉度數同時進行誤差積累，第二次意外的收獲 → 得到彩色螺旋線的繪制方法；

最後，将放大與縮小的方法進行遷移，解決了兩道數學題目。

但是，“145°對應哪個圖形的外角”依然是遺留問題。

在《圖形之美1.0》中，我們建構了一條新的理解路徑，更加強調基本方法的梳理與應用，更加強調“可理解性”的概念，同時強調了能力的遷移。通過這種方式，對《彩色螺旋線》這節經典的編程案例課進行了重構。在《圖形之美2.0》中，我們将在此基礎之上繼續探究。

一、繪制正七角星

那麼，如何繪制一個正七角星呢？

思路：我們已經比較熟悉正五角星的繪制流程了，通過同樣的方法可以尋找到正七角星的外角度數。如果你認為沒有參照物就無法分析的話，那麼建議你可以先閱讀第二部分的内容，然後再回到第一部分來。

重複執行中的次數，表示圖形的邊數；

移動的步數，表示邊長，控制圖形的大小；

旋轉的度數，其實控制的是圖形的樣子；

不斷嘗試旋轉度數，直到102度。

102度有點小了，圖形尚未閉合，試試103度。

仔細分辨，103度又有點過了。也就是說，真正的外角度數應該介乎于102度與103度之間。那麼，我們該如何進一步修正，從而找到那個準确的度數呢？遇到困難先别着急，一定要記得回憶我們之前是否曾遇到過類似的問題，以及當時是如何解決的。

回憶一下，我們在繪制正多邊形的時候，通過“身體共鳴”的方式，猜測出對于任意一個正多邊形而言，從開始繪制到結束繪制，身體始終恰好旋轉了一圈，也就是360度，然後我們得出“旋轉度數等于360除以邊數”這個公式。

同樣的思路，我們也可以用類似身體共鳴的方式，找到正七角星的外角和度數。但是很快，我們就會發現，身體共鳴的方式似乎走不通，存在一個小小的困難（你可以嘗試用身體走出一個七角星，就會發現問題所在）。

這裡我們将提供兩種不同形式的理解思路，來尋找正七角星的外角和。

第一種，還記得我們在《圖形之美1.0》中，如何将繪制直線的過程可視化嗎？

同樣的道理，我們能否将旋轉的過程可視化？

相信你一定已經想到了，隻需要做出如下圖所示的調整即可。

為了解決我們在“身體共鳴”時所遇到的困難，我們不妨派一個角色出場替我們完成“共鳴”（将隐藏的角色顯示出來即可），我們看看效果：

怎麼樣，旋轉的度數數清楚了嗎？似乎有點混亂，又是移動又是旋轉的。如果能把移動和旋轉分開，不移動隻旋轉就好了。再一次回憶模型中三個參數的意義，我們可以嘗試将移動的步數改為“0”步再試試看。

怎麼樣，是不是清晰多了(這其實就是單變量控制法)！呆鯉魚一共旋轉了差不多兩圈。

如果一圈是360度的話，那麼兩圈應該是多少度呢？沒錯，是720度。我們嘗試一下這個度數，它一共有相等的七個外角，因此外角的度數為"720/7"度。重新嘗試。

完美。

在第一種方法中，我們實際上是派出一個角色替我們完成“身體共鳴”，從而達到觀察的目的。

我們接着來看第二種方法，它非常簡單直接。我們已經知道當外角等于103度時，得到的圖形雖然并不是正七角星，但是也非常接近了。

那麼，此時，這個非常接近正七角星的圖形一共旋轉了多少度呢？每次旋轉103度，共旋轉了7次，因此一共旋轉了103*7=721度。

想一想，旋轉一圈是360度，那721度旋轉了幾圈呢？應該是2圈多一點點，恰好多了1度。此時圖形稍微過了一點，如果要修正的話，你願意嘗試多少度呢？當然是720度啦。驗證過程同第一種情況，不再贅述。

這樣我們就完成了正七角星的繪制。正當我們開始準備換新任務的時候，有一個同學發現了一件有趣的事情。他說他發現了另外一個正七角星。我們看看他那裡究竟發生了什麼？

旋轉度數為154度時，

旋轉度數為155度時，

的确，這個正七角星不同于之前那個正七角星，但同樣出現了要麼差一點要麼過一點的情形。

我們趕緊試試剛才學過的那兩種方法，先把這個正七角星“修複”一下。這裡用第二種方法進行修複：155*7=1085，最接近的圈數是三圈，而三圈等于1080度，因此将旋轉度數修正為"1080/7"度。

完美！

可是，這是怎麼回事呢？為什麼會有兩個不同的正七角星呢？按照自然的想法，是否還存在第三個不同樣子的正七角星呢？似乎很難回答的樣子。

我們重新回到繪制正七角星的過程上面來。在《圖形之美1.0》的時候，所有的圖形繪制任務，都是先有圖形，然後再進行模仿繪制。因此，我們可以采用“先分析再繪制”的方法。但在這裡，并沒有給出具體的樣子，而是通過“試錯法”找到的。

那，正七角星有沒有辦法先在紙上畫出來，然後進行直觀地分析呢？

二、紙上繪制正多角星

重新描述前面的問題，如何把沒有見過的正多角星在紙上先畫出來呢？要回答這個問題，我們不得不回到五角星中進行分析。

注意，這個時候你還沒有見過正七角星！

思考，正五角星與正五邊形的關系是什麼？

所謂關系，就是能否通過其中一個“抵達”另外一個？比如從一個正五角星出發，如何得到一個正五邊形呢？我們很容易發現該五角星的内部其實就是一個正五邊形。如果剛才的發現是通過觀察“内部”得到的，那麼如何通過“外部”獲得一個新的正五邊形呢？

如上圖所示，隻需要将五角星的頂點依次連線即可得到一個正五邊形。這說明什麼？

這說明了，我們可以通過繪制正五角星的方式間接得到一個正五邊形。我們找到了一條從正五角星到正五邊形的路。那麼，反過來，能不能通過正五邊形得到一個正五角星呢？

如上圖所示，隻需要把正五邊形的每條邊分别向兩端延長，直至與另一條邊的延長線相交，即可得到一個正五角星。

這樣，我們就可以通過五邊形來繪制正五角星。換句話說，我們找到了一個方法，這個方法能夠通過正多邊形繪制出正多角星。我們驗證一下這個方法。

從正六邊形到正六角星，

似乎這并不是我們期望的六角星的樣子，因為這個圖形是由兩個三角形組成的，不能一筆畫。

沒錯，這個圖形正是前面我們通過試錯法找到那個正七角星。

我們按照之前的思路，用這種方法去分别嘗試繪制n=8、9、10、12、20、36……的情形，就能得到相應的正多角星。等等，正三十六邊形，用手畫的話，太費勁了。正六、正七邊形已經畫的是歪歪扭扭的了，正三十六邊形，想想都想放棄了。怎麼辦？

怎麼辦？先别着急。還記得在《圖形之美1.0》中，随着邊數的增大，正多邊形越來越像什麼嗎？

對了，正多邊形會越來越像一個圓。我們剛才已經學會通過正五邊形與正五角星的關系來理解它們了，那正多邊形和圓的關系又是什麼呢？

上圖揭示了正多邊形與圓（實際上是它的外接圓）的關系，我們将從兩個方面考察這一點。

一方面是從正多邊形到圓，我們隻需要把每一條邊替換為圓弧，就能得到圓。

另一方面是從圓到正多邊形，正多邊形的頂點實際上恰好就是整個圓周的等分點。也就是說，假設n=5，我們可以先畫一個完整的圓，然後将圓周進行五等分得到五個點，然後依次連接這五個點，就能得到正五邊形。

我們再次以正七角星為例。

我們可以通過這樣的方式在紙上畫出正多角星了！

三、探究正多角星數目

在第一部分中，我們發現了兩個不同的正七角星；在第二部分中，我們找到了“圓→正多邊形→正多角星”的繪制路線；我們将圓、正七邊形、正七角星放在一起觀察一下。

對于同樣的7個點，按照1-2-3-4-5-6-7-1的順序畫弧，得到的就是一個圓（黑色）；按照1-2-3-4-5-6-7-1的順序連線，得到的就是一個正多邊形（藍色）；按照1-3-5-7-2-4-6-1的順序連線，得到的就是我們之前找到的正七角星（紅色）。

我們找到了比剛才更加優化的一個做圖方法：先描點再連線，不同的連線順序就能得到不同的圖形。

那麼，另外一個正七角星也能通過這樣的方式繪制出來嗎？驗證一下。

果然可以，是1-4-7-3-6-2-5-1的順序，和之前的順序不同。也恰恰是因為連點的順序不同，所以最終得到了不同的圖形。

因此，我們找到了一個方式，而這種方式可以解釋之前那兩個不同的正七角星的來源問題，因此這種方式更具有解釋力。

我們按照逆時針的順序對圓周上的點按自然順序(1、2、3……)進行标号。從标号為“1”的點開始，

• 每一個點依次與“ 1”标号的點相連則得到正多邊形；

• 每一個點依次與“ 2”标号的點相連得到了正七角星；

• 每一個點依次與“ 3”标号的點相連得到了另一種正七角星。

接下來，很自然的一個問題，如果分别與“ 4”的點、“ 5”的點、“ 6”的點相連會得到什麼樣的圖形呢？

注意：這裡不能與“ 7”的點相連，因為從标号為“1”的點開始數，“ 7”就會回到自身；且這裡默認為取餘運算，也就是說8和1關于7是同餘的，所謂關于7同餘指的是1除以7的餘數與8除以7的餘數是相同。

我們按照這種方式，重新驗證n=5、6、8、9、10、11的情形，結果如下圖所示。

這樣，即便是面對任意一個正多角形，我們也有自信将其畫出來了！

我們仔細觀察這張圖，将注意力聚焦在畫橫線的那些圖上，也就是不能一筆畫出的正多角星。其實，“正多角星”這個名稱已經不準确了，因為它表示的圖形并不唯一，我們需要構建一個新的名字來描述它們。

不難發現，所有無法一筆畫出的構圖方式與n的取值之間都存在着某種聯系。當構圖方式（ 2）恰好能被n（=6）整除的時候，是無法繪制的，此時恰好是2個3（=6/2）角形。

猜想：對于任意的n，分别考察1/n、2/n、3/n……。當k/n無法約分的時候，存在相應的正多角星；否則，當k/n可以約分的時候，不存在能夠一筆畫出的正多角星。

鑒于正多角星無法唯一的表示圖形，且正多角星本身也是正多邊形。不妨給出如下的新定義。

第k型正多邊形：當k/n無法約分時，我們将通過“ k”連邊方式得到的圖形稱為第k型正多邊形。

例如，第1型正多邊形就是我們很熟悉的正多邊形，而第2型正五邊形其實就是正五角星。

至此，我們雖然尚未能找到一個準确的計數公式，去計算對于任意的n，不同類型的正多邊形的數目。但是，我們卻能夠通過這種方式繪制出所有類型的正多邊形。

想一想，你能編寫一個程序完成這個繪制任務嗎？

四、145度的正多邊形？

既然已經找到了各個正多角星，接下來就需要通過編程逐一繪制了。

先使用“試錯法”找到各個圖形大概旋轉的角度，然後通過“直接計算法”或者“(等價)身體共鳴”的方式進行優化調整，直至找到各個圖形旋轉度數的準确值，然後将各個圖形對應的外角和并填入下方的表格中。

在上表中，我們很容易看到，

第1型正多邊形的外角和總是等于360度；

第2型正多邊形（如果存在的話）的外角和總是等于720度，而720恰好等于360*2；

第3型正多邊形（如果存在的話）的外角和總是等于1080度，而1080恰好等于360*3；

第4型正多邊形（如果存在的話）的外角和總是等于1440度，而1440恰好等于360*4……

猜想：如果k/n是最簡分數，那麼第k型正n邊形的外角和等于360*k度。

最後，我們回到上節課遺留的問題，145度對應的正多邊形是？如果第k型正n邊形對應的外角度數恰好為145度，根據上述猜想，我們應該嘗試使等式145*n=360*k成立的n和k。

因此，k=145*n/360，換句話說，我們隻需要找到使得“145*n/360”為整數的最小整數n即可。

不論是手算還是通過編程來計算，我們都能得到當n=72時，145*72/360=29，這說明了，第29型正72邊形對應的外角恰好是145度。

小結

上述過程其實是一個由好奇心出發，通過“關系”的角度提出關鍵問題，用已有的方法進行類比探究，最後通過結構化框架進行知識梳理與總結的過程。

我們不妨重新梳理一下，學生在上述過程中可能獲得的：

1、找到了“身體共鳴”的一種等價方式；

2、将旋轉的過程進行可視化；

3、單變量控制法；

4、對于360的整數倍的敏感程度（這其實就是一種數感，例如熟記π、2π、3π……）；

5、新問題與舊問題進行關聯的方法（這其實就是模式匹配，是計算思維的重要内容之一）；

6、從正五角星與正五邊形的相互關系出發進行提問和學習的方法；

7、從圓到正多邊形，再到正多角星的作圖方法；

8、通過n等分一個圓周得到n個點，按照固定次序連點的作圖方法；

9、通過分析n=5、6、7、8、9、10、11這些具體的案例，再用表格的形式進行歸納整理，從而提取關鍵信息的方法；

10、提出猜想、并進行驗證的方法；

11、創造概念的方法（描述）；

最後，留兩個思考題：

1、正五角星的外角和是720度，那麼在圓周上任意找五個點作五角星，它的外角和還是720度嗎？進一步，任意大小的五角星外角和還是720度嗎？

2、通過五邊形可以畫五角星，通過五角星可以畫新的五邊形，通過新的五邊形可以再過一個新的五角星……這個過程可以一直重複下去。那麼，這種不斷疊代的圖形長什麼樣子呢？

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