作者 | 重慶 辛酉醜
對于教育教學工作,除了敬業,飛哥還是一個有信念有主張的人。“沒有教不會的學生,隻有不會教的老師”,很多教師都說這是騙人的鬼話,飛哥卻深信不疑。如果班上的學生有十分差,他就給學生十二分鼓勵。他堅信隻要學生有信心,堅持不懈,頑強進取,就一定會學有所成。自從遇到靈子後,他的信念并非固若磐石,中途也曾懷疑和動搖。
靈子是飛哥的學生,身材高挑,皮膚白皙,柳葉眉、丹鳳眼,性格溫和友善,一說一個笑,是一個讨人喜歡的乖孩子。她喜歡和品學兼優的學生交往,很多高年級的學霸姐姐都是她的好朋友。根據飛哥的經驗,這些都是好學生的表象。但是,靈子理性思維很差,不僅學不懂數學,物理、化學、生物這些理科類的科目她都覺得燒腦。僅從面相來看,靈子額頭高聳,印堂開闊,眉清目秀,絕對是心靈手巧的人,無論如何不像差生。飛哥也想不通,這樣靈氣十足的學生怎麼會學不懂數學?每當給靈子講數學題時,心裡就着急:“究竟該怎樣講她才懂呢?”有時想起《麻衣神相》中口訣,免不了埋怨作者是騙子。
靈子的記憶力很差,有些簡單知識,全班同學都記住了,她卻模糊不清。比如,特殊角的三角函數值,普通的初中學生早已将30°、45°和60°的函數值牢記于心,高中隻需要記住0°和90°的函數值就行了。但是靈子覺得很難,解題中遇到特殊角,她不能直接寫出函數值,每次都要畫一個直角三角形,标出各邊數據,利用定義慢慢推導。盡管飛哥在班上反複強調:“特殊角的函數值是基礎中的基礎,人人必須牢記于心,否則無法學習三角函數。”但是,靈子就是記不住,她的解題速度很慢,課後作業需要熬夜才能完成。有一天她找到飛哥:“老師,特殊角的究竟該如何記憶?”
飛哥說:“大家都是機械性記憶,你就強制記憶吧!”靈子說:“我記了很多次,總是記不住,你能否幫我想個辦法?”飛哥皺起眉頭,想了想。說:“按這個規律試一試。”說着,就在紙上畫了一個表格。
飛哥指着表格說:“你先記住正弦值和餘弦值,正切值是正弦值與餘弦值的比值。你看看第二行中的正弦值,根号裡的數據是遞增的等差數列0,1,2,3,4;你再看第三行中的餘弦值,根号裡的數據是遞減等差數列4,3,2,1,0。”靈子說:“哦,這個方法很好,我看出來了,第四行中間的三個正切值,根号裡的數據是遞增的等比數列3,9,27,這麼強的規律,先前怎麼沒發現呢?否則早就記住了。”
飛哥常給學生說,數學學習最重要的是獨立思考,這樣才能産生應變能力,否則難以舉一反三。他以前的課堂狠抓主幹知識,重視框架體系,把激勵學生獨立思考作為重點,教學風格屬于豪放型。自從班上有了靈子,風格漸漸變了,由豪放走向細膩,凡事深思熟慮,重視細枝末節。他覺得靈子缺少數學細胞,沒有應變能力。再按以前的方式教學,靈子肯定會舉手提問,影響課堂教學進度,說不定課間還會纏着提問,讓他沒時間上廁所。
比如,《穿線法解高次不等式》這一課題,對于經驗豐富的飛哥已是輕車熟路,如同技藝精湛的推拿專家,不用思考,閉着眼睛也能精準點穴。飛哥現在的課堂有點婆婆媽媽,個别優生覺得啰唆。他先在黑闆上随手寫了四個不等式。
例1.
例2.
例3.
例2.
為了便于學困生理解,飛哥打算從特殊到一般的實施教學,從幾個簡單無重根的高次不等式出發,先分析思路,再闆書解題過程,接着用穿線法在數軸上描述,最後歸納解題方法。若是以前,接下來飛哥肯定讓學生練習鞏固,而今的課堂給人耳目一新,飛哥将解題方法歸納為幾句口訣,引領學生齊聲朗讀:
首項系數先化正,因式分解再求根;
根按大小數軸标,從右向左把線穿;
看圖求解不等式,上正下負寫區間。
飛哥這種從“以數化文走向以文助學”的教學方法,不知情的人以為是語文教師轉行,但專家評價很高,都說飛哥的課堂有文化,洋溢着新課标氣息。其實這些改變都是靈子逼的。
課堂至此,按理說全班同學都掌握了方法精髓,接下來應該鞏固練習。沒想到飛哥又抛出新的問題:“上述問題是沒有重根的不等式,萬一方程有重根又該怎樣解答呢?”說完,飛哥立即将上述例題稍加修改,變為:
例5.
例6.
看到幾個差生一臉懵逼的樣子,飛哥暗自慶幸這個問題提得好,否則,靈子課後肯定會提問。飛哥決定培養學生的轉化能力,他來了一招啟發式教學,提示道:“既然沒有重根的情況可以解答,現在出現重根,我們怎麼辦?”停頓一會,有學生回答:“可以把重根看作不同的根。也就是把重根看作不同的數,在數軸上對應不同的點。”
飛哥揮手向前一指,“很好,就是這樣。我們沿着走過的路繼續前進!”
見靈子咬着筆頭一動不動,飛哥捋了捋袖子,無奈的隻得在黑闆上勾畫講解。将重根看作數軸上不同的點,依舊利用穿線法在數軸上描述,并寫出答案。
解答完畢後,飛哥又修改口訣,引領學生再次朗讀記憶:
首項系數先化正,因式分解再求根;
根按大小數軸标,重根還需重複标;
從右向左把線穿,上正下負寫區間。
這種教學方式飛哥在另一個班作過試驗,效果很好。堅信這是一種萬無一失的教學方法,估計作業的正确率能達到百分之百,沒想到剛一下課靈子就來問他:“老師,我有個疑問,萬一方程某個根有100重或者1000重,怎麼辦?如果把所有根都标在數軸上,數軸至少要畫一米長。”
飛哥既驚訝又失望,随即說:“靈子,勤學除了好問,更重要是獨立思考。你仔細想一想,就會發現:如果重根多餘2重,可以抛棄偶數重重根,變為1重根或者2重根即可。例如,某個根有99重等價于1重根,某個根有1000重等價于2重根。有的老師教過這樣的口訣——偶數作切線,奇數穿對面。”說罷,飛哥在草稿本上寫了兩個不等式,一邊在數軸上穿線作圖,一邊詳細講解。
例7.
同解于
例8.
同解于
飛哥耐心地問:“靈子,你懂了嗎?”
靈子:“懂了。”
“真的懂了嗎?” 飛哥還是不放心。
靈子:“真的懂了。不管有無重根,都是穿線法。如果根的重數很多,可以減去偶數重,轉化為1重根或者2重根。我覺得‘偶數作切線,奇數穿對面’這兩句口訣沒有用。”
聽靈子這樣說,飛哥微笑地點了點頭說:“聰明。”他知道靈子真的懂了。
第二天飛哥批改作業,發現靈子連續錯了好幾道題,叫來靈子問原因,靈子看了作業,疑惑不解地問:“老師,我完全按你教的方法解答,想不通為什麼會錯?”
“都怪我昨天少說了一句話,口訣隻說了‘從右向左把線穿’,忘記強調開始穿線時應該從上向下穿,你的作業有的題開始從上向下穿,答案就對了;有的題開始從下向上穿,答案自然就錯了。”飛哥後悔自己考慮不周,沒想到靈子會出現這樣的錯誤。
“哦!我明白了。開始穿線時一定要從上向下穿線,從右向左穿線。”靈子一拍腦門,一副豁然開朗的樣子。随即又說:“老師,我還有一個小小請求。雖然我現在記住了,但是,一個月後或者一年後,究竟是從上向下穿,還是從下向上穿;究竟是從右向左穿,還是從左向右穿,可能我又混淆不清了。老師,根據你的經驗,像我這種水平的學生,你應該想一種絕招,讓我久久難忘的絕招。”
“你不急,讓我想想。” 飛哥緊皺眉頭,沉思良久。突然問道:“你用過針線嗎?”
靈子:“我是住校生,用針線訂過鋪蓋。”
飛哥:“你是右手用針吧?”
靈子:“我不是左撇子,肯定右手用針呀,有人說左撇子聰明,我數學不好是不是與右手用針有關?”
飛哥:“數學學習與右手用針無關。我想你可以通過右手用針的習慣來幫助記憶,你用針線訂鋪蓋,第一針肯定是從上向下穿線吧?”
靈子:“是的,從下向上穿線容易刺到手指。”
飛哥:“你用針線訂鋪蓋,肯定是從右向左穿線吧?”
靈子:“是的,從左向右,憋手,沒辦法穿線。”
飛哥:“今後用穿線法解題時,你想一想訂鋪蓋時用針穿線的方向就對了。”
靈子:“哦!這個方法好,應該是終生難忘的絕招。”
看着靈子離去的背影,飛哥想起農村老人告誡小孩的話,“不要吃魚籽,吃了魚籽會變成愚子。”難道靈子童年吃過魚籽?從那以後,靈子問數學題越來越頻繁,在教室裡問,在辦公室問,在上學路上遇到飛哥也要問。不懂的問題肯定會問,懂了的問題她還要尋找記憶絕招。為了靈子的數學學習,飛哥想了很多辦法,挖掘數學潛在的規律幫助記憶,編撰故事幫助記憶,利用生活體驗幫助理解,數理化學科結合幫助理解……。但靈子的問題層出不窮、千奇百怪,飛哥的招數相形見绌,漸漸地有些力不從心。有時飛哥自問:“真的沒有教不會的學生嗎?這是哪個專家說的?”年級大會上校長強調:“眼看臨近期末,各班要作好文科、理科分班的動員和準備。”飛哥似乎看到了希望,自己是競賽教練,校長肯定安排教理科,教育本該揚長避短,發展學生優勢。靈子數學基礎很差,不适合學理科,應該勸她讀文科。有一次靈子來問數學題,飛哥一邊講解一邊和她交流談心,說理科數學難度很大,沒有天賦的人學習很苦,今後大學學習更加艱難。文科數學内容比理科少得多,而且要求較低,很多大學的文科專業不學數學,像英語、法學、曆史這些學科可能一輩子也不會涉及數學,對于數學基礎不好的學生,選擇文科是明智之舉,今後工作輕松,生活精緻、品位高。靈子說:“我是不會學文科的,我們家祖祖輩輩都沒有人學文科,我爺爺是造汽車的,我奶奶是注冊會計師,我父親學的土木工程,我母親是内科醫生,我的表哥堂姐都是學理科的,無論如何我也不會學文科。”
“學理科真的很苦很累,有的學生秃頂像葛優,有的學生抑郁跳了樓,你能堅持下來嗎?”飛哥想吓唬她,希望她知難而退。
靈子說:“班主任經常說:人總是和困難作鬥争的,隻有拼搏的人才會優秀。老師,記得這首歌嗎?《愛拼才會赢》。”
飛哥心裡明白,這個包袱是扔不出去的,唯一的辦法是減小包袱的重量。有一天晚自習,飛哥評講試卷,持續講了兩個多小時,口幹舌燥,腿腳發軟,剛到辦公室坐下,靈子就來了。飛哥歎了一口氣,說:“靈子,現在很晚了,比學習重要的應該是安全,你是女生,建議早點回寝室休息,有問題明天再問吧。”
“老師,你放心!不存在安全問題,我約了幾個同學一道回寝室,她們在門外等着我。”
飛哥趕緊招呼幾個同學進來坐,笑着對靈子說:“你的朋友蠻多的!”他知道說什麼也沒用,不給她講解肯定回不了家。他立即端起茶杯,一飲而盡,拿起紙筆就開始講解。
靈子真是個怪人。根據飛哥的經驗,數學基礎不好的學生作業喜歡偷工減料,遇到問題總是避重就輕。靈子完全不同,她勤學好問,頑強進取,好啃硬骨頭。最讓飛哥想不通的是,外表甜美的玲子一點不像女生,很多表現遠勝于男生。一般女生不愛提問,就是不懂也悶着不說,常有學生給飛哥說:“老師,課堂上你不要問我‘懂了嗎’,你不問其他同學,是不是覺得我很笨?”靈子特别喜歡提問,從不擔心别人嫌她笨,最奇怪的是竟然當着老師的面承認思維自己不好,而且還用校長的口吻給飛哥提要求:“老師,你教學不能隻考慮優生。應該多思考、多研究,尋找簡單易懂的絕招,想辦法把我這種水平的學生教懂。”
靈子喜歡學習,又愛和優生交朋友,江城幾個重點中學的學霸畢業後都把筆記本送給她,不知道她讀了多少學霸筆記,也不知道有多少收獲。學霸水平高,筆記簡略,隻是記錄解題思路,筆誤、跳步都是常事,不适合中差生閱讀。靈子卻看得津津有味,她從未擔心看不懂,一旦遇到疑問就纏住飛哥問。對于筆誤和跳步這些疑問,飛哥三言兩語就可以解釋清楚。但是,數學中有一些知識難度很大,即使教學名師也未找到突破口,偏偏靈子不是知難而退的人,她要迎難而上,還經常鼓勵飛哥教她絕招。
記得有一本學霸筆記中介紹了圓錐曲線的焦半徑公式,焦半徑不是大綱要求的内容,為了幫助優生在考場時秒殺難題,個别教師就額外補充。飛哥和其他老師一樣,關注高考動向,知道雙曲線考得少,課堂上重點講解橢圓和抛物線的焦半徑公式,至于雙曲線的焦半徑,飛哥隻是蜻蜓點水,簡單介紹、不作深究。靈子看到學霸筆記中有一個表格,給出了三種曲線的焦半徑公式,她找到飛哥,想把公式弄明白。
靈子:“老師,你看橢圓和抛物線的焦半徑公式都沒有絕對值,為什麼雙曲線的焦半徑公式有絕對值符号?能不能把絕對值符号打開?”
飛哥:“高考很少考查雙曲線,你不用了解。”
靈子:“老師,你以前說過,讀書不是為了應試,主要是學知識,練本領,知識肯定越多越好。”
飛哥:“這個知識很難,你看橢圓和雙曲線的焦半徑公式形式相同,雙曲線的焦半徑公式隻是多一個絕對值符号,你了解這點知識就夠了。如果把絕對值符号打開,涉及到正負号的選擇,總共有四種情況,很難記憶。所以老師要求你們根據坐标平移中‘左加右減’的規律,記住到左焦點的焦半徑是加号,到右焦點的焦半徑是減号,沒必自找苦吃。”
靈子:“但是,這個絕對值符号不打開,在解題中無法運算,這個公式等于是廢物。老師,你還是把去掉絕對值符号的四種情況告訴我吧。”
飛哥想,不告訴她肯定會死纏爛打不罷休,于是說:“不是不告訴你,我是擔心你記不住,徒增煩惱。”說罷,拿出紙筆,畫了一個表格,介紹雙曲線焦半徑的四種情況。
靈子拿着公式默默記憶,過了一會兒,靈子說:“這個公式确實有難度,我相信能記住,估計管不了幾天就忘了。老師,你是競賽教練,肯定有記憶巧法。”
飛哥:“靈子,一個人要懂得放棄,有時放棄就是進取。這個公式真的沒有記憶巧法,如果有,我早就在課堂上教你們了。”
靈子:“老師,我也是有理想有追求的人,怎麼能輕易放棄呢?這也放棄那也放棄,人生還有什麼意義?”
飛哥:“這個公式真的很難,我确實找不到記憶巧法。”
靈子:“老師,我相信你,你一定能找到記憶巧法。如果找到了巧辦法,對我的學習和你的教學都有幫助,這是雙赢呀!”
飛哥:“好像想到了一種方法,我用極端性原理試一試。”
靈子豎起拇指笑着說:“我就知道老師水平高,辦法多。”
飛哥說:“如果P點在左支上,你把P點看作左邊無窮遠處的點,這時它的橫坐标,很容易發現,顯然
,如果P點在右支上,你把P點看作右邊無窮遠處的點,這時P點的橫坐标,很容易發現,顯然
靈子:“老師,你為什麼要把P點的看作無窮遠處的點?無窮遠處究竟是多遠?如果P點不在無窮遠處怎麼辦?”
飛哥:“靈子,放棄吧!我真的給你講不懂,我認輸好不好?我舉手投降可以嗎?”
靈子:“老師,你不要着急,你要有信心,慢慢來,我相信你一定能給我講懂的。”
飛哥心想,極端性原理比焦半徑公式更難,用極端性原理講解隻能越講越糊塗。飛哥看着表格中的公式,思來想去,突然迸發靈感,大聲說:“靈子,這個辦法肯定适合你。”
靈子沒想到老師這麼快就找到了新方法,好奇地問:“真的嗎?什麼方法?”
飛哥站起身子,叫靈子跟着他一起走正步,飛哥故意放大動作幅度,一邊高高擺動手臂一邊說:“你看,我出左腳擺右手,出右腳擺左手,這是正常人的走路姿勢,表示‘一左一右對應正常人’。在雙曲線的焦半徑中,我們可以類似的看作‘一左一右對應正号’。這就是說,左支上的P點到右焦點的焦半徑,絕對值符号後打開為正;右支上的P點到左焦點的焦半徑,絕對值符号打開後為正。這和我們正常人走路完全一樣。”
靈子說:“這個方法很好,我記住了。快說說左支上的P點到左焦點的焦半徑怎麼思考?
飛哥又用同邊手的方式走正步,一邊走一邊說:“你看,我出左腳擺左手,出右腳擺右手,這種同邊手走路姿勢就是病态人。在雙曲線的焦半徑中,我們可以類似的看作‘同邊手對應負号’。這就是說,左支上的P點到左焦點的焦半徑,絕對值符号打開後為負;右支上的P點到右焦點的焦半徑,絕對值符号打開後為負。這和同邊手走路完全一樣。”
靈子鼓掌叫絕:“這個類比生動有趣,我肯定一輩子也不會忘記。老師,你真是牛人!比特級教師還厲害。”
靈子就是這樣挑選數學“骨頭”,也是這樣為難飛哥、鼓勵飛哥。他們在“為難”與“解難”中博弈,在博弈中進步,靈子考上了重點大學,飛哥也評上了骨幹教師。
靈子畢業前夕,飛哥找她談話,告訴她理科中有些專業涉及數學不多,建議她選擇醫學、經濟管理等專業,學起來相對輕松。兩年後的一個暑假,靈子回母校看望飛哥,說她學的統計,是班上的學習委員,經常輔導班上的學困生。飛哥暗自贊歎同時又百思不得其解:“統計學涉及很多數學,靈子是如何挺過來的?還是學習委員,難道她的腦子開竅了?”又過了幾年,大約是寒冬臘月,飛哥宅在家裡看電視,突然聽到敲門聲,開門一看,一個時尚的女青年提着一大包東西,微笑着說:“老師好,給你拜個早年。” 飛哥先是一愣,随即就從熟悉的聲音中明白過來,“這不是靈子嗎?怎麼變樣了!”靈子說,大學畢業後,到澳洲墨爾本讀了碩士,現在外企上班。她說過去有點憨,隻知道傻讀書,從未考慮過戀愛,看到一個個同學成家立業,父母催得緊,就花了點錢到韓國美容醫院弄了一下,突然笑着問飛哥:“老師,你看我的雙眼皮漂亮嗎?”飛哥趕緊贊美:“你以前的丹鳳眼很秀氣,隻是現在更顯得妩媚了,剛才進門時我還以是宋慧喬。”……
從那以後,經常聽到飛哥沙啞的嗓子哼着一首熟悉的歌——愛拼才會赢。
作者簡介:辛酉醜,重慶潼南人,1991年7月畢業于西南師範大學數學系,重慶某重點中學正高級教師,重慶“322”重點人才(二層次),重慶學術技術帶頭人後備。主持省級課題2項,主研省級課題2項,參與國家級課題2項;參與編寫了大學教材《小學數學教育概論》和重慶地方教材《研究性學習》;出版專著《數學與生活》,《數學解題洩天機》,在《數學教育學報》《數學通報》等雜志發表論文70多篇,其中核心期刊20多篇;數學教育論文曾獲全國紫京杯數學教育創新論文一等獎,初等數學論文獲全國第二屆青年初等數學研究獎;指導學生在《數學通報》等雜志發表文章16篇,指導8名學生進入全國高中數學奧林匹克冬令營,中國數學會三次授予優秀教練員。近幾年在西南大學、重慶師範大學、重慶教育科學研究院、重慶第二師範學院、重慶三峽學院以及重慶部分區縣教師進修學院和一些中學主講60多場。重慶晚報、重慶晨報等媒體曾專題報道。
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