作者 | 重慶 辛酉醜

對于教育教學工作，除了敬業，飛哥還是一個有信念有主張的人。“沒有教不會的學生，隻有不會教的老師”，很多教師都說這是騙人的鬼話，飛哥卻深信不疑。如果班上的學生有十分差，他就給學生十二分鼓勵。他堅信隻要學生有信心，堅持不懈，頑強進取，就一定會學有所成。自從遇到靈子後，他的信念并非固若磐石，中途也曾懷疑和動搖。

靈子是飛哥的學生，身材高挑，皮膚白皙，柳葉眉、丹鳳眼，性格溫和友善，一說一個笑，是一個讨人喜歡的乖孩子。她喜歡和品學兼優的學生交往，很多高年級的學霸姐姐都是她的好朋友。根據飛哥的經驗，這些都是好學生的表象。但是，靈子理性思維很差，不僅學不懂數學，物理、化學、生物這些理科類的科目她都覺得燒腦。僅從面相來看，靈子額頭高聳，印堂開闊，眉清目秀，絕對是心靈手巧的人，無論如何不像差生。飛哥也想不通，這樣靈氣十足的學生怎麼會學不懂數學？每當給靈子講數學題時，心裡就着急：“究竟該怎樣講她才懂呢？”有時想起《麻衣神相》中口訣，免不了埋怨作者是騙子。

靈子的記憶力很差，有些簡單知識，全班同學都記住了，她卻模糊不清。比如，特殊角的三角函數值，普通的初中學生早已将30°、45°和60°的函數值牢記于心，高中隻需要記住0°和90°的函數值就行了。但是靈子覺得很難，解題中遇到特殊角，她不能直接寫出函數值，每次都要畫一個直角三角形，标出各邊數據，利用定義慢慢推導。盡管飛哥在班上反複強調：“特殊角的函數值是基礎中的基礎，人人必須牢記于心，否則無法學習三角函數。”但是，靈子就是記不住，她的解題速度很慢，課後作業需要熬夜才能完成。有一天她找到飛哥：“老師，特殊角的究竟該如何記憶？”

飛哥說：“大家都是機械性記憶，你就強制記憶吧！”靈子說：“我記了很多次，總是記不住，你能否幫我想個辦法？”飛哥皺起眉頭，想了想。說：“按這個規律試一試。”說着，就在紙上畫了一個表格。

飛哥指着表格說：“你先記住正弦值和餘弦值，正切值是正弦值與餘弦值的比值。你看看第二行中的正弦值，根号裡的數據是遞增的等差數列0,1,2,3,4；你再看第三行中的餘弦值，根号裡的數據是遞減等差數列4,3,2,1,0。”靈子說：“哦，這個方法很好，我看出來了，第四行中間的三個正切值，根号裡的數據是遞增的等比數列3,9,27，這麼強的規律，先前怎麼沒發現呢？否則早就記住了。”

飛哥常給學生說，數學學習最重要的是獨立思考，這樣才能産生應變能力，否則難以舉一反三。他以前的課堂狠抓主幹知識，重視框架體系，把激勵學生獨立思考作為重點，教學風格屬于豪放型。自從班上有了靈子，風格漸漸變了，由豪放走向細膩，凡事深思熟慮，重視細枝末節。他覺得靈子缺少數學細胞，沒有應變能力。再按以前的方式教學，靈子肯定會舉手提問，影響課堂教學進度，說不定課間還會纏着提問，讓他沒時間上廁所。

比如，《穿線法解高次不等式》這一課題，對于經驗豐富的飛哥已是輕車熟路，如同技藝精湛的推拿專家，不用思考，閉着眼睛也能精準點穴。飛哥現在的課堂有點婆婆媽媽，個别優生覺得啰唆。他先在黑闆上随手寫了四個不等式。

例1.

例2.

例3.

例2.

為了便于學困生理解，飛哥打算從特殊到一般的實施教學，從幾個簡單無重根的高次不等式出發，先分析思路，再闆書解題過程，接着用穿線法在數軸上描述，最後歸納解題方法。若是以前，接下來飛哥肯定讓學生練習鞏固，而今的課堂給人耳目一新，飛哥将解題方法歸納為幾句口訣，引領學生齊聲朗讀：

首項系數先化正，因式分解再求根；

根按大小數軸标，從右向左把線穿；

看圖求解不等式，上正下負寫區間。

飛哥這種從“以數化文走向以文助學”的教學方法，不知情的人以為是語文教師轉行，但專家評價很高，都說飛哥的課堂有文化，洋溢着新課标氣息。其實這些改變都是靈子逼的。

課堂至此，按理說全班同學都掌握了方法精髓，接下來應該鞏固練習。沒想到飛哥又抛出新的問題：“上述問題是沒有重根的不等式，萬一方程有重根又該怎樣解答呢？”說完，飛哥立即将上述例題稍加修改，變為：

例5.

例6.

看到幾個差生一臉懵逼的樣子，飛哥暗自慶幸這個問題提得好，否則，靈子課後肯定會提問。飛哥決定培養學生的轉化能力，他來了一招啟發式教學，提示道：“既然沒有重根的情況可以解答，現在出現重根，我們怎麼辦？”停頓一會，有學生回答：“可以把重根看作不同的根。也就是把重根看作不同的數，在數軸上對應不同的點。”

飛哥揮手向前一指，“很好，就是這樣。我們沿着走過的路繼續前進！”

見靈子咬着筆頭一動不動，飛哥捋了捋袖子，無奈的隻得在黑闆上勾畫講解。将重根看作數軸上不同的點，依舊利用穿線法在數軸上描述，并寫出答案。

解答完畢後，飛哥又修改口訣，引領學生再次朗讀記憶：

首項系數先化正，因式分解再求根；

根按大小數軸标，重根還需重複标；

從右向左把線穿，上正下負寫區間。

這種教學方式飛哥在另一個班作過試驗，效果很好。堅信這是一種萬無一失的教學方法，估計作業的正确率能達到百分之百，沒想到剛一下課靈子就來問他：“老師，我有個疑問，萬一方程某個根有100重或者1000重，怎麼辦？如果把所有根都标在數軸上，數軸至少要畫一米長。”

飛哥既驚訝又失望，随即說：“靈子，勤學除了好問，更重要是獨立思考。你仔細想一想，就會發現：如果重根多餘2重，可以抛棄偶數重重根，變為1重根或者2重根即可。例如，某個根有99重等價于1重根，某個根有1000重等價于2重根。有的老師教過這樣的口訣——偶數作切線，奇數穿對面。”說罷，飛哥在草稿本上寫了兩個不等式，一邊在數軸上穿線作圖，一邊詳細講解。

例7.

同解于

例8.

同解于

飛哥耐心地問：“靈子，你懂了嗎？”

靈子：“懂了。”

“真的懂了嗎？” 飛哥還是不放心。

靈子：“真的懂了。不管有無重根，都是穿線法。如果根的重數很多，可以減去偶數重，轉化為1重根或者2重根。我覺得‘偶數作切線，奇數穿對面’這兩句口訣沒有用。”

聽靈子這樣說，飛哥微笑地點了點頭說：“聰明。”他知道靈子真的懂了。

第二天飛哥批改作業，發現靈子連續錯了好幾道題，叫來靈子問原因，靈子看了作業，疑惑不解地問：“老師，我完全按你教的方法解答，想不通為什麼會錯？”

“都怪我昨天少說了一句話，口訣隻說了‘從右向左把線穿’，忘記強調開始穿線時應該從上向下穿，你的作業有的題開始從上向下穿，答案就對了；有的題開始從下向上穿，答案自然就錯了。”飛哥後悔自己考慮不周，沒想到靈子會出現這樣的錯誤。

“哦！我明白了。開始穿線時一定要從上向下穿線，從右向左穿線。”靈子一拍腦門，一副豁然開朗的樣子。随即又說：“老師，我還有一個小小請求。雖然我現在記住了，但是，一個月後或者一年後，究竟是從上向下穿，還是從下向上穿；究竟是從右向左穿，還是從左向右穿，可能我又混淆不清了。老師，根據你的經驗，像我這種水平的學生，你應該想一種絕招，讓我久久難忘的絕招。”

“你不急，讓我想想。” 飛哥緊皺眉頭，沉思良久。突然問道：“你用過針線嗎？”

靈子：“我是住校生，用針線訂過鋪蓋。”

飛哥：“你是右手用針吧？”

靈子：“我不是左撇子，肯定右手用針呀，有人說左撇子聰明，我數學不好是不是與右手用針有關？”

飛哥：“數學學習與右手用針無關。我想你可以通過右手用針的習慣來幫助記憶，你用針線訂鋪蓋，第一針肯定是從上向下穿線吧？”

靈子：“是的，從下向上穿線容易刺到手指。”

飛哥：“你用針線訂鋪蓋，肯定是從右向左穿線吧？”

靈子：“是的，從左向右，憋手，沒辦法穿線。”

飛哥：“今後用穿線法解題時，你想一想訂鋪蓋時用針穿線的方向就對了。”

靈子：“哦！這個方法好，應該是終生難忘的絕招。”

看着靈子離去的背影，飛哥想起農村老人告誡小孩的話，“不要吃魚籽，吃了魚籽會變成愚子。”難道靈子童年吃過魚籽？從那以後，靈子問數學題越來越頻繁，在教室裡問，在辦公室問，在上學路上遇到飛哥也要問。不懂的問題肯定會問，懂了的問題她還要尋找記憶絕招。為了靈子的數學學習，飛哥想了很多辦法，挖掘數學潛在的規律幫助記憶，編撰故事幫助記憶，利用生活體驗幫助理解，數理化學科結合幫助理解……。但靈子的問題層出不窮、千奇百怪，飛哥的招數相形見绌，漸漸地有些力不從心。有時飛哥自問：“真的沒有教不會的學生嗎？這是哪個專家說的？”年級大會上校長強調：“眼看臨近期末，各班要作好文科、理科分班的動員和準備。”飛哥似乎看到了希望，自己是競賽教練，校長肯定安排教理科，教育本該揚長避短，發展學生優勢。靈子數學基礎很差，不适合學理科，應該勸她讀文科。有一次靈子來問數學題，飛哥一邊講解一邊和她交流談心，說理科數學難度很大，沒有天賦的人學習很苦，今後大學學習更加艱難。文科數學内容比理科少得多，而且要求較低，很多大學的文科專業不學數學，像英語、法學、曆史這些學科可能一輩子也不會涉及數學，對于數學基礎不好的學生，選擇文科是明智之舉，今後工作輕松，生活精緻、品位高。靈子說：“我是不會學文科的，我們家祖祖輩輩都沒有人學文科，我爺爺是造汽車的，我奶奶是注冊會計師，我父親學的土木工程，我母親是内科醫生，我的表哥堂姐都是學理科的，無論如何我也不會學文科。”

“學理科真的很苦很累，有的學生秃頂像葛優，有的學生抑郁跳了樓，你能堅持下來嗎？”飛哥想吓唬她，希望她知難而退。

靈子說：“班主任經常說：人總是和困難作鬥争的，隻有拼搏的人才會優秀。老師，記得這首歌嗎？《愛拼才會赢》。”

飛哥心裡明白，這個包袱是扔不出去的，唯一的辦法是減小包袱的重量。有一天晚自習，飛哥評講試卷，持續講了兩個多小時，口幹舌燥，腿腳發軟，剛到辦公室坐下，靈子就來了。飛哥歎了一口氣，說：“靈子，現在很晚了，比學習重要的應該是安全，你是女生，建議早點回寝室休息，有問題明天再問吧。”

“老師，你放心！不存在安全問題，我約了幾個同學一道回寝室，她們在門外等着我。”

飛哥趕緊招呼幾個同學進來坐，笑着對靈子說：“你的朋友蠻多的！”他知道說什麼也沒用，不給她講解肯定回不了家。他立即端起茶杯，一飲而盡，拿起紙筆就開始講解。

靈子真是個怪人。根據飛哥的經驗，數學基礎不好的學生作業喜歡偷工減料，遇到問題總是避重就輕。靈子完全不同，她勤學好問，頑強進取，好啃硬骨頭。最讓飛哥想不通的是，外表甜美的玲子一點不像女生，很多表現遠勝于男生。一般女生不愛提問，就是不懂也悶着不說，常有學生給飛哥說：“老師，課堂上你不要問我‘懂了嗎’，你不問其他同學，是不是覺得我很笨？”靈子特别喜歡提問，從不擔心别人嫌她笨，最奇怪的是竟然當着老師的面承認思維自己不好，而且還用校長的口吻給飛哥提要求：“老師，你教學不能隻考慮優生。應該多思考、多研究，尋找簡單易懂的絕招，想辦法把我這種水平的學生教懂。”

靈子喜歡學習，又愛和優生交朋友，江城幾個重點中學的學霸畢業後都把筆記本送給她，不知道她讀了多少學霸筆記，也不知道有多少收獲。學霸水平高，筆記簡略，隻是記錄解題思路，筆誤、跳步都是常事，不适合中差生閱讀。靈子卻看得津津有味，她從未擔心看不懂，一旦遇到疑問就纏住飛哥問。對于筆誤和跳步這些疑問，飛哥三言兩語就可以解釋清楚。但是，數學中有一些知識難度很大，即使教學名師也未找到突破口，偏偏靈子不是知難而退的人，她要迎難而上，還經常鼓勵飛哥教她絕招。

記得有一本學霸筆記中介紹了圓錐曲線的焦半徑公式，焦半徑不是大綱要求的内容，為了幫助優生在考場時秒殺難題，個别教師就額外補充。飛哥和其他老師一樣，關注高考動向，知道雙曲線考得少，課堂上重點講解橢圓和抛物線的焦半徑公式，至于雙曲線的焦半徑，飛哥隻是蜻蜓點水，簡單介紹、不作深究。靈子看到學霸筆記中有一個表格，給出了三種曲線的焦半徑公式，她找到飛哥，想把公式弄明白。

靈子：“老師，你看橢圓和抛物線的焦半徑公式都沒有絕對值，為什麼雙曲線的焦半徑公式有絕對值符号？能不能把絕對值符号打開？”

飛哥：“高考很少考查雙曲線，你不用了解。”

靈子：“老師，你以前說過，讀書不是為了應試，主要是學知識，練本領，知識肯定越多越好。”

飛哥：“這個知識很難，你看橢圓和雙曲線的焦半徑公式形式相同，雙曲線的焦半徑公式隻是多一個絕對值符号，你了解這點知識就夠了。如果把絕對值符号打開，涉及到正負号的選擇，總共有四種情況，很難記憶。所以老師要求你們根據坐标平移中‘左加右減’的規律，記住到左焦點的焦半徑是加号，到右焦點的焦半徑是減号，沒必自找苦吃。”

靈子：“但是，這個絕對值符号不打開，在解題中無法運算，這個公式等于是廢物。老師，你還是把去掉絕對值符号的四種情況告訴我吧。”

飛哥想，不告訴她肯定會死纏爛打不罷休，于是說：“不是不告訴你，我是擔心你記不住，徒增煩惱。”說罷，拿出紙筆，畫了一個表格，介紹雙曲線焦半徑的四種情況。

靈子拿着公式默默記憶，過了一會兒，靈子說：“這個公式确實有難度，我相信能記住，估計管不了幾天就忘了。老師，你是競賽教練，肯定有記憶巧法。”

飛哥：“靈子，一個人要懂得放棄，有時放棄就是進取。這個公式真的沒有記憶巧法，如果有，我早就在課堂上教你們了。”

靈子：“老師，我也是有理想有追求的人，怎麼能輕易放棄呢？這也放棄那也放棄，人生還有什麼意義？”

飛哥：“這個公式真的很難，我确實找不到記憶巧法。”

靈子：“老師，我相信你，你一定能找到記憶巧法。如果找到了巧辦法，對我的學習和你的教學都有幫助，這是雙赢呀！”

飛哥：“好像想到了一種方法，我用極端性原理試一試。”

靈子豎起拇指笑着說：“我就知道老師水平高，辦法多。”

飛哥說：“如果P點在左支上，你把P點看作左邊無窮遠處的點，這時它的橫坐标，很容易發現，顯然

，如果P點在右支上，你把P點看作右邊無窮遠處的點，這時P點的橫坐标，很容易發現,顯然

靈子：“老師，你為什麼要把P點的看作無窮遠處的點？無窮遠處究竟是多遠？如果P點不在無窮遠處怎麼辦？”

飛哥：“靈子，放棄吧!我真的給你講不懂，我認輸好不好？我舉手投降可以嗎？”

靈子：“老師，你不要着急，你要有信心，慢慢來，我相信你一定能給我講懂的。”

飛哥心想，極端性原理比焦半徑公式更難，用極端性原理講解隻能越講越糊塗。飛哥看着表格中的公式，思來想去，突然迸發靈感，大聲說：“靈子，這個辦法肯定适合你。”

靈子沒想到老師這麼快就找到了新方法，好奇地問：“真的嗎？什麼方法？”

飛哥站起身子，叫靈子跟着他一起走正步，飛哥故意放大動作幅度，一邊高高擺動手臂一邊說：“你看，我出左腳擺右手，出右腳擺左手，這是正常人的走路姿勢，表示‘一左一右對應正常人’。在雙曲線的焦半徑中，我們可以類似的看作‘一左一右對應正号’。這就是說，左支上的P點到右焦點的焦半徑，絕對值符号後打開為正；右支上的P點到左焦點的焦半徑，絕對值符号打開後為正。這和我們正常人走路完全一樣。”

靈子說：“這個方法很好，我記住了。快說說左支上的P點到左焦點的焦半徑怎麼思考？

飛哥又用同邊手的方式走正步，一邊走一邊說：“你看，我出左腳擺左手，出右腳擺右手，這種同邊手走路姿勢就是病态人。在雙曲線的焦半徑中，我們可以類似的看作‘同邊手對應負号’。這就是說，左支上的P點到左焦點的焦半徑，絕對值符号打開後為負；右支上的P點到右焦點的焦半徑，絕對值符号打開後為負。這和同邊手走路完全一樣。”

靈子鼓掌叫絕：“這個類比生動有趣，我肯定一輩子也不會忘記。老師，你真是牛人！比特級教師還厲害。”

靈子就是這樣挑選數學“骨頭”，也是這樣為難飛哥、鼓勵飛哥。他們在“為難”與“解難”中博弈，在博弈中進步，靈子考上了重點大學，飛哥也評上了骨幹教師。

靈子畢業前夕，飛哥找她談話，告訴她理科中有些專業涉及數學不多，建議她選擇醫學、經濟管理等專業，學起來相對輕松。兩年後的一個暑假，靈子回母校看望飛哥，說她學的統計，是班上的學習委員，經常輔導班上的學困生。飛哥暗自贊歎同時又百思不得其解：“統計學涉及很多數學，靈子是如何挺過來的？還是學習委員，難道她的腦子開竅了？”又過了幾年，大約是寒冬臘月，飛哥宅在家裡看電視，突然聽到敲門聲，開門一看，一個時尚的女青年提着一大包東西，微笑着說：“老師好，給你拜個早年。” 飛哥先是一愣，随即就從熟悉的聲音中明白過來，“這不是靈子嗎？怎麼變樣了！”靈子說，大學畢業後，到澳洲墨爾本讀了碩士，現在外企上班。她說過去有點憨，隻知道傻讀書，從未考慮過戀愛，看到一個個同學成家立業，父母催得緊，就花了點錢到韓國美容醫院弄了一下，突然笑着問飛哥：“老師，你看我的雙眼皮漂亮嗎？”飛哥趕緊贊美：“你以前的丹鳳眼很秀氣，隻是現在更顯得妩媚了，剛才進門時我還以是宋慧喬。”……

從那以後，經常聽到飛哥沙啞的嗓子哼着一首熟悉的歌——愛拼才會赢。

作者簡介：辛酉醜，重慶潼南人，1991年7月畢業于西南師範大學數學系，重慶某重點中學正高級教師，重慶“322”重點人才(二層次)，重慶學術技術帶頭人後備。主持省級課題2項,主研省級課題2項，參與國家級課題2項；參與編寫了大學教材《小學數學教育概論》和重慶地方教材《研究性學習》；出版專著《數學與生活》，《數學解題洩天機》，在《數學教育學報》《數學通報》等雜志發表論文70多篇，其中核心期刊20多篇；數學教育論文曾獲全國紫京杯數學教育創新論文一等獎,初等數學論文獲全國第二屆青年初等數學研究獎；指導學生在《數學通報》等雜志發表文章16篇，指導8名學生進入全國高中數學奧林匹克冬令營，中國數學會三次授予優秀教練員。近幾年在西南大學、重慶師範大學、重慶教育科學研究院、重慶第二師範學院、重慶三峽學院以及重慶部分區縣教師進修學院和一些中學主講60多場。重慶晚報、重慶晨報等媒體曾專題報道。

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