幾何原本截圖1

【命題47譯文】命題47在直角三角形中，直角所對邊上的正方形等于兩直角邊上的正方形之和。In right-angled triangles the square on the side subtending the right angle is equal to the squareson the sides containing the right angle.設ABC是直角三角形，角BAC是直角。

我說，BC上的正方形等于BA、AC上的正方形之和。

這是因為，在BC上作正方形BDEC,在BA、AC上作正方形GB、HC; [I. 46]

過A作AL平行于BD或CE,連接AD、FC。

于是，由于角BAC、BAG中的每一個都是直角，所以過直線BA上點A的兩條直線AC、AG不在直線BA的同側，且和直線BA所成鄰角之和等于兩直角，因此，CA和AG在同--直線上。 [I.14]同理，BA和AH也在同一-直線上。又，由于角DBC等于角FBA:因為每一個角都是直角:給它們分别加上角ABC;

因此，整個角DBA等于整個角FBC。

[公理2]

又，由于DB等于BC, FB等于BA,所以

兩邊AB、BD分别等于兩邊FB、BC;而角ABD等于角FBC;因此，底AD等于底FC,三角形ABD等于三角形FBC。 [I.4]

現在，平行四邊形BL是三角形ABD的二倍，因為它們有同底BD且在相同的平行線BD、AL之間。[I.41]又，正方形GB是三角形FBC的二倍，因為它們也同底FB且在相同的平行線FB、GC之間。[I.41]<但等量的二倍也彼此相等。>

因此，平行四邊形BL也等于正方形GB。

類似地，若連接AE、BK,則也可以證明平行四邊形CL等于正方形HC;因此，整個正方形BDEC等于兩個正方形GB、HC之和。 [公理2]

而正方形BDEC是在BC上作出的，正方形GB、HC是在BA、AC上作出的。因此，邊BC上的正方形等于邊BA、AC上的正方形之和。 這就是所要證明的。

歐幾裡得證明勾股定理的風車圖

請看上圖。圖形由3個跳舞的正方形和5條輔助線組成，被稱為歐幾裡得的風車。用這個風車圖形，歐幾裡得漂亮地證明了勾股定理。

三角形ABC是直角三角形，3個正方形的邊長分别是三角形的三條邊。AL是垂線，将大正方形分為兩個長方形。歐幾裡得的證法是圍繞兩個直角邊上的正方形分别等于這兩個長方形的面積展開的。

我們來看看這個出自歐幾裡得之手的漂亮的證明。

首先，歐幾裡得證明AGC三點共線。因為兩個直角等于一個平角，而平角上的點都在一條直線上，所以很好證明。

同理可證ABH三點共線。這是事先埋下的伏筆，在後面的證明過程中會發揮作用。

接下來證明三角形ABD和三角形FBC全等。這也很好證明。兩個三角形三條邊和一個角相等，當然就全等。

開始就埋下的伏筆起作用了。現在我們知道了ACG和FB是平行線，ABH和CK也是平行線。根據平行線的性質，即兩條平行線截取的垂線就是距離處處相等，容易證明等底等高三角形面積相等，等于等底等高的平行四邊形面積的一半。

于是就證明了歐幾裡得定理：在一直角邊上的正方形面積和一個長方形的面積相等，這長方形的一邊是這直角邊在斜邊上的投影，另一邊是斜邊本身。

根據這個定理，正方形ABGF等于長方形BDL，正方形ACHK等于長方形CEL。

于是就證明了勾股定理。

歐幾裡得的這個證明和三國時期吳國數學家趙爽的證明分别代表了東西方數學的不同風格。

對于直角三角形還有一個有趣的定理是垂線定理：

在直角三角形中，以斜邊上的垂線為邊的正方形面積等于以斜邊上兩線段為邊的長方形的面積。

解釋一下：設垂線AL和BC交于點J，定理的意思是說AJ的平方等于BJ×JC。

也就是說BJ：AJ=AJ：JC，即AJ是比例中項。如果BJ和JC是兩個數，那麼AJ就是這兩個數的幾何平均數。

幾何原本對勾股定理的逆定理的證明截圖

【命題48譯文】命題48在一個三角形中，若一邊上的正方形等于三角形其餘兩邊上的正方形之和，則其餘兩邊所夾的角為直角。If in a triangle the square on one of the sides be equal to the squares on the remaining two sids

of the triangle, the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.在三角形ABC中，設邊BC上的正方形等于邊BA、AC上的正方形之和;我說，角BAC是直角。這是因為，從點A作AD與直線AC成直角，取AD等于BA,連接DC。由于DA等于AB,所以DA上的正方形也等于AB上的正方形。給它們分别加上AC上的正方形;因此，DA、AC上的正方形之和等于BA、AC上的正方形之和。但DC上的正方形等于DA、AC上的正方形之和，因為角DAC是直角; [I. 47]而BC上的正方形等于BA、AC上的正方形之和，因為這是假設;因此，DC上的正方形等于BC上的正方形，因此，邊DC也等于邊BC。又，由于DA等于AB, AC公用，所以兩邊DA、AC等于兩邊BA、AC;而底DC等于底BC;因此，角DAC等于角BAC。 [I. 8]但角DAC是直角;因此，角BAC也是直角。 這就是所要證明的。

《幾何原本》的這兩張截圖來自2019年江西人民出版社出版的圖書，作者是【古希臘】歐幾裡得。2019年江西人民出版社出版的圖書，作者是【古希臘】歐幾裡得。

書 名：《幾何原本》 ，又 名《原本》 ，原版名稱：Στοιχεῖα ，譯 者：張蔔天

ISBN：9787210118046 ，共480頁，定 價78 元。江西人民出版社 ，出版時間：2019-12-10

裝 幀：平裝 。開 本：16開

歐幾裡得，公元前330—公元前225，古希臘人，數學家。其著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，奠定了幾何學、數學和科學的發展。對西方人的思維方法有深遠的影響，被稱為“幾何之父”。

譯 者簡介：張蔔天，男，1979年9月生。北京大學哲學系博士，現為清華大學人文學院科學史系長聘教授、中國社會科學院自然科學史研究所研究員。曾任英國劍橋李約瑟研究所訪問學者，并曾于美國得克薩斯大學奧斯汀分校物理系就讀，師從1979年的諾貝爾物理學獎得主史蒂文·溫伯格。已有哲學和科學史相關譯著五十餘本。

最後說一句，我們課本裡見到的勾股定理是代數形式，餘弦定理也是代數形式，而《幾何原本》裡的勾股定理和餘弦定理都是幾何形式。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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