• 史蒂夫·斯托加茨的《微積分的力量》從微積分應用場景入手，解釋微積分的作用的同時，展開了一幅數學推動世界變化的畫卷，阿基米德，牛頓等大神悉數登場，如果學學數學史的話，相信我們學習數學的時候會有全新的動力和不一樣的感受，初讀起來覺得科普性比較強，但讀着讀着就有那種書到用時方恨少的感覺了，所以----做好思想準備……

• >> 19世紀60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的蘇格蘭數學物理學家，将電磁場的基本實驗定律改寫為一種可進行微積分運算的符号形式。

• >> 他不僅利用微積分預測出電磁波的存在，還解開了一個古老的謎題：光的性質是什麼？他意識到，光就是一種電磁波。

• >> 微積分的邏輯就可以利用現實世界的一個真理生成另一個真理，即輸入一個真理，然後輸出另一個真理。

• >> 數學語言在表述物理定律方面的适當性是一個奇迹，是一份我們既不理解也不配擁有的奇妙禮物

• >> 微積分就是想讓複雜的難題簡單化，它十分癡迷于簡單性。

• >> 微積分成功的方法是，把複雜的問題分解成多個更簡單的部分。

• >> 微積分可分為兩個步驟：切分和重組。用數學術語來說，切分過程總是涉及無限精細的減法運算，用于量化各部分之間的差異，這個部分叫作微分學。

• >> 重組過程則總是涉及無限的加法運算，将各個部分整合成原來的整體，這個部分叫作積分學。

• >> 有三個謎題促進了微積分的發展，它們分别是曲線之謎、運動之謎和變化之謎。

• >> 無論是在手機上聽音樂，在超市激光掃描儀的幫助下輕松結賬走人，還是利用GPS設備找到回家的路，我們都是在收獲這些研究帶來的好處。

• （好奇心和挫敗感是一切事情觸發前進的動力。）

• >> 微積分就是在這樣的背景下誕生的，它萌生于幾何學家對圓度的好奇心和挫敗感。

• >> 有些幾何學家堅持認為“曲線事實上是由平直部件構成的”，這種觀點帶來了突破性進展。盡管這不是事實，但我們可以假裝它是真的。那麼，唯一的問題就在于，這些部件必須無窮小，而且數量無窮多。通過這個巧妙的構思，積分學誕生了，這是人們對無窮原則的最早應用。

• >> 我們的創造性假設是，速度不停變化的運動是由無窮多個無限短暫的勻速運動組成的。

• >> 永恒不變的唯有改變，盡管這句話是老生常談，但它依然是真理。

• ◆ 比薩證明
• >> 把圓想象成一個比薩，然後把比薩切分成無窮多塊，最後神奇地将比薩塊排布成一個矩形。

• ◆ 除數為0的禁忌

• >> 趨勢很明顯：除數越小，商越大；當除數逼近0時，商趨于無窮大。這就是我們不能用0做除數的真正原因。膽小之人會說答案是“未定義”，但事實上答案是“無窮”。

• >> 顯而易見，0乘以無窮可以得出任意結果：6，3，49.57或者2 000 000 000。從數學上講，這太可怕了。

• >> 量子力學有一定的發言權。它是現代物理學的一個分支，描述的是大自然在其最小尺度上的行為方式。

• >> 極限尺度是由自然界的三大基本常量決定的，我們無法左右。第一個是引力常量G，它衡量的是宇宙中的引力強度。它最早出現在牛頓的引力理論中，之後又出現在愛因斯坦的廣義相對論中，未來也必定會出現在取代這兩者的任何理論中。第二個常量ħ反映了量子效應的強度，它出現在海森伯的不确定性原理和薛定谔的量子力學波動方程中。第三個常量是光速c，它是宇宙的極限速度，任何一種信号的傳播速度都無法超過c。

• >> 求解出圓周率π的值，是積分學取得的第一次勝利。

• >> 微積分是用無窮來研究有窮，用無限來研究有限，用直線來研究曲線。

• >> 這是對創造性數學研究的誠實描述。數學家不會一下子想到證明方法，而是先産生直覺，再考慮嚴謹性的問題。高中的幾何課程常常忽略直覺和想象力的重要作用，但它們對所有創造性數學研究來說都是不可或缺的。

• ◆ 從計算機動畫到面部手術

• >> 創造格裡的動畫師也是通過反複分割一個多面體，去逼真地模拟他那布滿皺紋的額頭、隆起的大鼻子和頸部的皮膚褶皺。通過足夠多次地重複這個過程，他們就可以使格裡的樣子符合他的角色設定，即一個能夠傳遞各種人類情感的木偶般的形象。

• >> 自19世紀起，數學家和工程師就開始利用微積分為不同材料建模，研究當這些材料以各種方式被推擠、拉拽或剪切時，它們會如何伸展、彎曲和扭曲。

• >> 他給我們留下了關于物體在杠杆上如何達到平衡狀态和在水中如何穩定漂浮的靜力學，他是平衡方面的大師。

• >> 阿基米德去世後，關于自然的數學研究也幾乎随之消逝，直到1 800年後一個新的“阿基米德”登上曆史舞台。

• >> 伽利略登台，為了更清楚地闡述這個奇數定律，我們假設球在第一個單位時間内滾動了一定的距離。然後，在第二個單位時間内，它滾動的距離是第一次的3倍；在第三個單位時間内，它滾動的距離是第一次的5倍。這太令人吃驚了，奇數1, 3, 5, 7…竟然以某種方式存在于物體向下滾動的過程中

• >> 發電機可以産生交流電并把它輸送到我們的家中和辦公室裡，而描述鐘擺擺動的方程也可以不加改變地用于描述發電機的旋轉。為了紀念這一淵源，電氣工程師将他們的發電機方程稱為擺動方程。

• >> 1962年，22歲的劍橋大學研究生布賴恩·約瑟夫森做出了這樣一個預測：在接近絕對零度的溫度條件下，成對的超導電子可以來回隧穿一道難以穿透的絕緣屏障。

• >> 原子鐘是伽利略擺鐘的現代版本，盡管它和擺鐘一樣，也是通過計數振動次數來計時，但它追蹤的并不是擺錘的來回擺動，而是計數铯原子在其兩種能态間來回轉換時的振動次數

• >> 時間也可以确定你的位置。GPS的24顆衛星在12 000英裡的高空繞軌運行，當你使用汽車上的GPS導航儀時，你的設備至少會從其中的4顆衛星那裡接收無線信号。

• >> 對GPS而言，它的工作原理是：當接收器收到來自4顆衛星的信号時，你的GPS設備會比較信号的發送時間和接收時間。這4組時間略有不同，因為這4顆衛星和你之間的距離并不一樣。你的GPS設備将這4個微小的時間差乘以光速，就可以計算出你和這4顆衛星之間的距離。由于衛星的位置已知，并且受到極其精确的控制，因此你的GPS接收器可以對這4個距離做三角測量，從而确定它自己在地球表面的位置。此外，它還可以計算出自己的海拔和速度。本質上，GPS是将非常精确的時間測量值轉換為非常精确的距離測量值，然後進一步轉化為非常精确的位置和運動測量值。

• ◆ 開普勒與行星運動之謎

• >> 行星運行的計算偏差産生了失配，這種失配意味着某個地方出錯了，但到底錯在哪裡呢，是他的理論、數據還是兩者兼有？盡管開普勒懷疑數據可能是錯誤的，但他也沒有堅稱自己的理論是正确的（回頭想想，這種做法很明智，因為他的理論不可能成立；我們現在知道，行星遠不止6顆）。

• ◆ 開普勒第二定律：相等的時間，相等的面積

• >> 今天它被稱為開普勒第二定律，說的是當行星沿軌道運行時，從這顆行星到太陽的假想連線在相等的時間内掃過的面積相等。

• >> 面對這一連串的問題，源自伊斯蘭和印度數學界的大量思想為歐洲數學家提供了一個新的方向，以及一個超越阿基米德去開辟新天地的機會。這些思想将帶來關于運動和曲線的新的思考方式，然後伴随着一聲驚雷，微分學誕生了。

• ◆ 代數與幾何學的邂逅

• >> 第一個突破發生在1630年前後，兩位（即将成為競争對手的）法國數學家皮埃爾·德·費馬和勒内·笛卡兒分别将代數與幾何學聯系在一起。他們的研究工作開創了一個新的數學學科——解析幾何，它的中央舞台就是讓方程變得生動和具體的xy平面。

• ◆ 方程與曲線

• >> 費馬和笛卡兒最先發現了這種奇妙的巧合：含有x和y的二次方程是希臘人研究的圓錐截面的代數對應物，這4類曲線是以不同角度切割圓錐體得到的。在費馬和笛卡兒搭建的這個新舞台上，經典曲線像幽靈一樣從迷霧中再次現身。

• >> 代數給了幾何學一個體系，此時幾何學需要的就不再是創造力，而是韌性了。它會把需要洞察力的難題轉化為雖然耗時費力但卻簡單直接的計算，符号的使用解放了頭腦，也節省了時間和精力。

• ◆ 函數的作用
• >> 事物的變化方式有三種：上升、下降或上下起伏。換句話說，就是成長、衰退或波動。

• ◆ 對數

• >> 對數用簡單得多的加法問題取代了乘法問題。這就是人們發明對數的原因，它們極大地加快了計算速度。這類計算可以把艱巨的乘法問題、平方根和立方根等轉化為加法問題，然後在對數表的幫助下得出答案。

• >> 同樣地，指數函數可用于為越來越快的增長過程建模，而幂函數可用于為不太劇烈的增長方式建模。對數之所以有用，是因為它起到了跟起釘器一樣的作用：撤銷另一種工具的作用。具體來說，就是對數撤銷了指數函數的作用，反之亦然。

• ◆ 自然對數及其指數函數
• >> 比如，它是投資者和銀行家熟知的72法則的基礎。想要估算在年回報率已知的情況下，你銀行賬戶裡的錢增加一倍所需的時間，就可以用72除以回報率。因此，如果年增長率為6%，那麼你的錢将在12（72/6）年後增加一倍。這個經驗法則遵從自然對數和指數增長的性質，如果利率足夠低，就會行之有效。

牛頓當年因為疫情封閉在家突破微積分成果

• >> 理解不斷變化的變化，才是微積分真正的閃光之處。

• ◆ 非線性函數及其不斷變化的變化率

• >> 在高中或大學期間，微積分的第一堂課大多講的都是求導法則，比如，x2的導數是2x，sinx的導數是cosx，lnx的導數是1/x，等等。然而，考慮到我們的目的，理解導數的概念并了解如何将它的抽象定義應用于實踐，這些才是更重要的事。因此，讓我們把目光投向現實世界。

• ◆ 作為晝長變化率的導數

• >> 晝長不僅在1月份不斷加長，而且加長速率越來越快。

• >> 畢加索說：“藝術是讓我們認識真理的謊言。

• >> 17世紀下半葉，英國的牛頓[插圖]和德國的萊布尼茨徹底改變了數學的進程。他們把關于運動和曲線的思想松散地拼湊在一起，創立了微積分。

• ◆ 恒定的加速度

• >> 對一個從靜止狀态開始均勻加速的物體來說，它運動的距離與所花費時間的平方成正比。

• >> 牛頓的幂級數給了他一把對付微積分的瑞士軍刀

• ◆ 混搭大師

• >> 但我還要說，如果不是站在巨人的肩膀上，牛頓就不可能做到這一切。他統一、綜合和歸納了偉大前輩的思想：他繼承了阿基米德的無窮原則，他的切線知識來自費馬，他使用的小數和變量分别來自印度數學和阿拉伯代數，他用方程表示xy平面上曲線的做法來自笛卡兒的著作，他對無窮的随心所欲的玩法、他的實驗精神及他對猜想和歸納的開放性态度都來自沃利斯。他把所有這一切混搭在一起，創造出一種新事物——通用的幂級數法，直到今天我們在解決微積分問題時仍會用到它。

• ◆ 私密的微積分

• >> 1665年夏天，劍橋大學出于防護的目的暫時關閉了校園，牛頓因此回到了他在林肯郡的家庭農舍。在接下來的兩年裡，他變成了世界上最棒的數學家。

• >> 雖然萊布尼茨發現微積分的時間比牛頓晚了10年，但人們通常認為他是微積分的共同發明者，原因有以下幾點。萊布尼茨率先以一種優美和易于理解的形式公布了微積分，并用一種精心設計的簡潔符号來表達它，我們至今仍在使用這種符号。

• ◆ 無窮小量

• >> 更加矛盾的是，無窮小量的大小不同。一個無窮小量的無窮小部分還要小得多，我們稱之為二階無窮小量。

• ◆ 偏微分方程與波音787客機
• >> 微積分和計算機為波音公司節省了大量時間，因為模拟一架新樣機比制造一架新樣機快得多。它們也為波音公司節省了大量資金，因為相比在過去幾十年裡價格不斷飙升的風洞試驗，計算機模拟要便宜得多。

• ◆ 無處不在的偏微分方程
• >> 微積分在現代科學中的應用主要體現在偏微分方程的建立、求解和解釋上。麥克斯韋方程組是偏微分方程，關于彈性、聲學、熱流、流體流動和氣體動力學的定律也是偏微分方程。
• >> 微觀世界的理論——量子力學——同樣如此，它的控制方程——薛定谔方程[插圖]——也是一個偏微分方程。

• >> 從這個角度看，微積分是用于研究任何事物——任何模式，任何曲線，任何運動，任何自然過程、系統或現象——的想法與方法的龐雜集合，這些事物的變化平穩而連續，符合無窮原則。

• >> 該定義的範疇遠遠超出了牛頓和萊布尼茨的微積分，并囊括了它的子孫後代：多變量微積分，常微分方程，偏微分方程，傅裡葉分析，複分析，以及高等數學中涉及極限、導數和積分的所有其他分支。

• ◆ DNA的纏繞數

• >> 沒有連續性假設，就無法使用無窮原則。沒有無窮原則，就不會有微積分，也不會有微分幾何和彈性理論。

• >> 我希望，未來我們将看到更多将微積分和連續數學應用于天生離散的生物學“角色”的例子，比如基因、細胞、蛋白質和生物學“大戲”中的其他“演員”。我們能從連續體近似方法中獲取的洞見實在太多了，以至于不能不用它。

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