人教版小學數學一至六年級複習資料
【 目 錄 】
第一部分 常用的數量關系---------------------------1
第二部分 小學數學圖形計算公式---------------------1
第三部分 常用單位換算-----------------------------1
第四部分 基 本 概 念------------------------------2
第一章 數和數的運算--------------------------------2
第二章 度量衡--------------------------------------8
第三章 代數初步知識--------------------------------9
第四章 空間與圖形----------------------------------11
第五章 簡單的統計 ---------------------------------14
【常用的數量關系】
1、每份數×份數=總數； 總數÷每份數=份數 ； 總數÷份數=每份數
2、1 倍數×倍數=幾倍數； 幾倍數÷1 倍數=倍數； 幾倍數÷倍數=1 倍數
3、速度×時間=路程 ； 路程÷速度=時間 ； 路程÷時間=速度
4、單價×數量=總價； 總價÷單價=數量 ； 總價÷數量=單價
5、工作效率×工作時間=工作總量； 工作總量÷工作效率=工作時間；
工作總量÷工作時間=工作效率；
6、加數 加數=和； 和-一個加數=另一個加數
7、被減數-減數=差； 被減數-差=減數； 差 減數=被減數
8、因數×因數=積； 積÷一個因數=另一個因數
9、被除數÷除數=商 ； 被除數÷商=除數； 商×除數=被除數
【小學數學圖形計算公式】
1、正方形（C:周長， S：面積， a:邊長）
周長=邊長×4； C=4a
面積=邊長×邊長； S=a×a
2、正方體（V：體積， a：棱長）
表面積=棱長×棱長×6； S 表 =a×a×6
體積=棱長×棱長×棱長； V= a×a×a
3、長方形（C:周長， S：面積， a:邊長， b：寬 ）
周長=（長 寬）×2； C=2(a b)
面積=長×寬 ； S=a×b
4、長方體（V：體積， S：面積， a:長， b：寬， h:高）
（1）表面積=（長×寬 長×高 寬×高）×2； S=2(ab ah bh)
（2）體積=長×寬×高； V=abh
5、三角形（S：面積， a:底， h:高）
面積=底×高÷2 ； S=ah÷2
三角形的高=面積×2÷底 三角形的底=面積×2÷高
6、平行四邊形（S：面積， a:底， h:高）
面積=底×高； S=ah
7、梯形（S：面積， a:上底， b：下底， h:高）
面積=(上底 下底)×高÷2； S=(a b)×h÷2
8、圓形（S：面積， C：周長，π ：圓周率， d：直徑， r：半徑 ）
（1）周長=π ×直徑π =2×π ×半徑； C=π d=2π r
（2）面積=π ×半徑×半徑； S= π r
2
9、圓柱體（V：體積， S：底面積， C：底面周長， h：高， r：底面半徑 ）
（1）側面積=底面周長×高=Ch=π dh=2π rh
（2）表面積=側面積 底面積×2
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自然數
（3）體積=底面積×高
10、圓錐體（V：體積， S：底面積， h：高， r：底面半徑 ）
體積=底面積×高÷3
11、總數÷總份數=平均數
12、和差問題的公式：已知兩數的和及它們的差，求這兩個數各是多少的應用題，叫做
和差應用題，簡稱和差問題。
(和 差)÷2=大數； (和-差)÷2=小數
13、和倍問題的公式：已知兩個數的和與兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的
應用題，我們通常叫做和倍問題。
和÷(倍數-1)= 小數； 小數×倍數=大數（或者：和-小數=大數）
14、差倍問題的公式：差倍問題即已知兩數之差和兩數之間的倍數關系，求出兩數。
差÷(倍數-1)= 小數； 小數×倍數=大數（或者：小數 差=大數）
15、相遇問題： 相遇路程=速度和×相遇時間；
相遇時間=相遇路程速度和；
速度和=相遇路程÷相遇時間
16、濃度問題
溶質的重量 溶劑的重量=溶液的重量； 溶液的重量×濃度=溶質的重量；
溶質的重量÷溶液的重量×100%=濃度； 溶質的重量÷濃度=溶液的重量
17、利潤與折扣問題： 利潤=售出價-成本； 利潤率=利潤÷成本×100%；
利息=本金×利率×時間； 漲跌金額=本金×漲跌百分比；
稅後利息=本金×利率×時間×（1-利息稅）
【常用單位換算】
（一）長度單位換算
1 千米=1000 米； 1 米=10 分米； 1 分米=10 厘米；1 米=100 厘米；1 厘米=10 毫米
（二）面積單位換算： 1 平方千米=100 公頃； 1 公頃=10000 平方米；
1 平方米=100 平方分米； 1 平方分米=100 平方厘米； 1 平方厘米=100 平方毫米
（三）體積（容積）單位換算：1 立方米=1000 立方分米；1 立方分米=1000 立方厘米；
1 立方分米=1 升； 1 立方厘米=1 毫升； 1 立方米=1000 升
（四）重量單位換算： 1 噸=1000 千克； 1 千克=1000 克； 1 千克=1 公斤
（五）人民币單位換算： 1 元=10 角； 1 角=10 分； 1 元=100 分
（六）時間單位換算： 1 世紀=100 年； 1 年=12 月；
【大月（31 天）有：1、3、5、7、8、10、12 月】；【小月（30 天）有：4、6、9、11 月】
【平年：2 月有 28 天；全年有 365 天】； 【閏年：2 月有 29 天；全年有 366 天】
1 日=24 小時； 1 時=60 分=3600 秒； 1 分=60 秒；
【基 本 概 念 】
第一章 數和數的運算
一、概念
（一）整 數
1.自然數、負數和整數
（1）、自然數 ：我們在數物體的時候，用來表示物體個數的 1，2，3……叫做自然數。
一個物體也沒有，用 0 表示。0 也是自然數。
1 是自然數的基本單位，任何一個自然數都是由若幹個 1 組成。
0 是最小的自然數，沒有最大的自然數。
（2）、負數：在正數前面加上“-”的數叫做負數，“-”叫做負号。
正整數（1、2、3、4、……）
(3)整 數 零 (0 既不是正數，也不是負數)
負整數（-1、-2、-3、-4……）
2、零的作用
（1）表示數位。讀寫數時，某個單位上一個單位也沒有，就用 0 表示。
（2）占位作用。
（3）作為界限。如“零上溫度與零下溫度的界限”。
3、計數單位 ：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。
每相鄰兩個計數單位之間的進率都是 10。這樣的計數法叫做十進制計數法。
4、數位 ：計數單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數位。
5、數的整除 ：整數 a 除以整數 b(b ≠ 0），除得的商是整數而沒有餘數，我們就說 a
能被 b 整除，或者說 b 能整除 a 。
（1）如果數 a 能被數 b（b ≠ 0）整除，a 就叫做 b 的倍數，b 就叫做 a 的約數（或 a 的
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因數）。倍數和約數是相互依存的。 如：因為 35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍數，7
是35的約數。
（2）一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是 1，最大的 約數是它本身。
例如：10 的約數有 1、2、5、10，其中最小的約數是 1，最大的約數是 10。
（3）一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。
如：3 的倍數有：3、6、9、12……其中最小的倍數是 3 ，沒有最大的倍數。
（4）個位上是 0、2、4、6、8 的數，都能被 2 整除，例如：202、480、304，都能被 2
整除。。
（5）個位上是 0 或 5 的數，都能被 5 整除，例如：5、30、405 都能被 5 整除。。
（6）一個數的各位上的數的和能被 3 整除，這個數就能被 3 整除，
例如：12、108、204 都能被 3 整除。
（7）一個數各位數上的和能被 9 整除，這個數就能被 9 整除。
（8）能被 3 整除的數不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的數一定能被 3 整除。
（9）一個數的末兩位數能被 4（或 25）整除，這個數就能被 4（或 25）整除。
例如：16、404、1256 都能被 4 整除，50、325、500、1675 都能被 25 整除。
（10）一個數的末三位數能被 8（或 125）整除，這個數就能被 8（或 125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、5000 都能被 125
整除。
（11）能被 2 整除的數叫做偶數。
不能被 2 整除的數叫做奇數。
0 也是偶數。自然數按能否被 2 整除的特征可分為奇數和偶數。
（12）一個數，如果隻有 1 和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數）。
100 以内的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、
47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（13）一個數，如果除了 1 和它本身還有别的約數，這樣的數叫做合數。
例如 4、6、8、9、12 都是合數。
（14）1 不是質數也不是合數，自然數除了 1 外，不是質數就是合數。如果把自然數按
其約數的個數的不同分類，可分為質數、合數和 1。
（15）每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，
叫做這個合數的質因數，例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的質因數。
（16）把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。 例如：把 28 分解質
因數
（17）幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約
數。例如：12 的約數有 1、2、3、4、6、12； 18 的約數有 1、2、3、6、9、
18。
其中，1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公約數，6 是它們的最大公約數。
（18）公約數隻有 1 的兩個數，叫做互質數，成互質關系的兩個數，有下列幾種情況：
①1 和任何自然數互質。 ②相鄰的兩個自然數互質。 ③兩個不同的質數互質。
④當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質。
⑤兩個合數的公約數隻有 1 時，這兩個合數互質，如果幾個數中任意兩個都互質，就
說這幾個數兩兩互質。
⑥如果較小數是較大數的約數，那麼較小數就是這兩個數的最大公約數。
⑦如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是 1。
（19）幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公
倍數，如：2 的倍數有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3 的倍數有 3、6、9、12、15、18 ……
其中 6、12、18……是 2、3 的公倍數，6 是它們的最小公倍數。。
①如果較大數是較小數的倍數，那麼較大數就是這兩個數的最小公倍數。
②如果兩個數是互質數，那麼這兩個數的積就是它們的最小公倍數。
③幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。
（二）小數
1 、小數的意義
（1）把整數 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份…… 得到的十分之幾、百分之幾、千
分之幾…… 可以用小數表示。
（2）一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……
（3）一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點，小
數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的數叫做小數部分。
（4）在小數裡，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是 10。小數部分的最高分數單位“十
分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是 10。
2、小數的分類
（1）純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數。
（2）帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小
數。
（3）有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。
例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。
（4）無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。
例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
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（5）無限不循環小數：一個數的小數部分，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數
叫做無限不循環小數。 例如：π
（6）循環小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重複出現，這
個數叫做循環小數。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
（7）一個循環小數的小數部分，依次不斷重複出現的數字叫做這個循環小數的循環節。
例如： 3.99 ……的循環節是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循環節是“ 54 ” 。
（8）純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數。
例如： 3.111 …… 0.5656 ……
（9）混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環小數。
例如： 3.1222 …… 0.03333 ……
（10）寫循環小數的時候，為了簡便，小數的循環部分隻需寫出一個循環節，并在這個循環
節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環節隻有 一個數字，就隻在它的上面點一
個點。
例如： 3.777 …… 簡寫作：3.7
· ； 0.5302302 …… 簡寫作：0.53 · 02 · 。
（三）分數
1、分數的意義
（1）把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。
（2）在分數裡，中間的橫線叫做分數線；分數線下面的數，叫做分母，表示把單位“1”
平均分成多少份；分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。
（3）把單位“1”平均分成若幹份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。
2、分數的分類
真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于 1。
假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于或等
于 1。
帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。
3、約分和通分
把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數 ，叫做約分。
分子分母是互質數的分數，叫做最簡分數。
把異分母分數分别化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。
（四）百分數 ：
表示一個數是另一個數的百分之幾的數 叫做百分數,也叫做百分率 或百分比。
百分數通常用"%"來表示。百分号是表示百分數的符号。
二 、方法
（一）數的讀法和寫法
1、整數的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法
去讀，再在後面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的 0 都不讀出來，
其它數位連續有幾個 0 都隻讀一個零。
2、整數的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在
那個數位上寫 0。
3、小數的讀法：讀小數的時候，整數部分按照整數的讀法讀，小數點讀作“點”，小數
部分從左向右順次讀出每一位數位上的數字。
4、小數的寫法：寫小數的時候，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下
角，小數部分順次寫出每一個數位上的數字。
5、分數的讀法：讀分數時，先讀分母再讀“分之”然後讀分子，分子和分母按照整數
的讀法來讀。
6、分數的寫法：先寫分數線，再寫分母，最後寫分子，按照整數的寫法來寫。
7、百分數的讀法：讀百分數時，先讀百分之，再讀百分号前面的數，讀數時按照整數
的讀法來讀。
8、百分數的寫法：百分數通常不寫成分數形式，而在原來的分子後面加上百分号“%”來
表示。
（二）數的改寫
一個較大的多位數，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。
有時還可以根據需要，省略這個數某一位後面的數，寫成近似數。
1、準确數：在實際生活中，為了計數的簡便，可以把一個較大的數改寫成以萬或億為
單位的數。改寫後的數是原數的準确數。 例如把 1254300000 改寫成以萬
做單位的數是 125430 萬；改寫成 以億做單位 的數 12.543 億。
2、近似數：根據實際需要，我們還可以把一個較大的數，省略某一位後面的尾數，用
一個近似數來表示。 例如： 1302490015 省略億後面的尾數是 13 億。
3、四舍五入法：要省略的尾數的最高位上的數是 4 或者比 4 小，就把尾數去掉；如果尾
數的最高位上的數是 5 或者比 5 大，就把尾數舍去，并向它的前一位進 1。例
如：省略 345900 萬後面的尾數約是 35 萬。省略 4725097420 億後面的尾數
約是 47 億。
4、大小比較
（1）比較整數大小：比較整數的大小，位數多的那個數就大，如果位數相同，就看最
高位，最高位上的數大，那個數就大；最高位上的數相同，就看
下一位，哪一位上的數大那個數就大。
（2）比較小數的大小：先看它們的整數部分，，整數部分大的那個數就大；整數部分相
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同的，十分位上的數大的那個數就大；十分位上的數也相同的，
百分位上的數大的那個數就大……
（3）比較分數的大小:分母相同的分數，分子大的分數比較大；分子相同的數，分母小
的分數大。分數的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數
的大小。
（三）數的互化
1、小數化成分數：原來有幾位小數，就在 1 的後面寫幾個零作分母，把原來的小數去
掉小數點作分子，能約分的要約分。
2、分數化成小數：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數，有的不能除盡，不能
化成有限小數的，一般保留三位小數。
3、一個最簡分數，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的質因數，這個分數就能
化成有限小數；如果分母中含有 2 和 5 以外的質因數，這個分數就不能化成有限小
數。
4、小數化成百分數：隻要把小數點向右移動兩位，同時在後面添上百分号。
5、百分數化成小數：把百分數化成小數，隻要把百分号去掉，同時把小數點向左移動
兩位。
6、分數化成百分數：通常先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數)，再把小
數化成百分數。
7、百分數化成小數：先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。
（四）數的整除
1、把一個合數分解質因數，通常用短除法。先用能整除這個合數的質數去除，一直除
到商是質數為止，再把除數和商寫成連乘的形式。
2、求幾個數的最大公約數的方法是：先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所得
的商隻有公約數 1 為止，然後把所有的除數連乘求積，這個積就是這幾個數的的最
大公約數 。
3、求幾個數的最小公倍數的方法是：先用這幾個數（或其中的部分數）的公約數去除，
一直除到互質（或兩兩互質）為止，然後把所有的除數和商連乘求積，這個積就是
這幾個數的最小公倍數。
4、成為互質關系的兩個數：1 和任何自然數互質 ； 相鄰的兩個自然數互質； 當合數不
是質數的倍數時，這個合數和這個質數互質； 兩個合數的公約數隻有 1 時，這兩個合
數互質。
（五）約分和通分
（1）約分的方法：用分子和分母的公約數（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得
出最簡分數為止。
（2）通分的方法：先求出原來的幾個分數分母的最小公倍數，然後把各分數化成用這
個最小公倍數作分母的分數。
三、性質和規律
（一）商不變的規律
商不變的規律：在除法裡，被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。
（二）小數的性質
小數的性質：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。
（三）小數點位置的移動引起小數大小的變化
1、小數點向右移動一位，原來的數就擴大 10 倍；小數點向右移動兩位，原來的數就擴
大 100 倍；小數點向右移動三位，原來的數就擴大 1000 倍……
2、小數點向左移動一位，原來的數就縮小 10 倍；小數點向左移動兩位，原來的數就縮
小 100 倍；小數點向左移動三位，原來的數就縮小 1000 倍……
3、小數點向左移或者向右移位數不夠時，要用“0"補足位。
（四）分數的基本性質
分數的基本性質：分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數（零除外），分數的大小
不變。
（五）分數與除法的關系
1、被除數÷除數=
除數
被除數
2、因為零不能作除數，所以分數的分母不能為零。
3、被除數 相當于分子，除數相當于分母。
四、運算的意義
（一）整數四則運算
1、整數加法：把兩個數合并成一個數的運算叫做加法。
在加法裡，相加的數叫做加數，加得的數叫做和。加數是部分數，和是
總數。
加數 加數=和 一個加數=和－另一個加數
2、整數減法：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。
在減法裡，已知的和叫做被減數，已知的加數叫做減數，未知的加數叫做
差。
被減數是總數，減數和差分别是部分數。
加法和減法互為逆運算。
3、整數乘法：求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。
在乘法裡，相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做
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積。
在乘法裡，0 和任何數相乘都得 0； 1 和任何數相乘都的任何數。
一個因數× 一個因數 =積； 一個因數=積÷另一個因數
4、整數除法：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。
在除法裡，已知的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所求的因數叫
做商。
乘法和除法互為逆運算。
在除法裡，0 不能做除數。
（因為 0 和任何數相乘都得 0，所以任何一個數除以 0，均得不一個确定
的商。 ）
被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=商×除數
（二）小數四則運算
1、小數加法：小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運
算。
2、小數減法：小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一
個加數，求另一個加數的運算.
3、小數乘法：小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便運算；
一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多
少。
4、小數除法：小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中
一個因數，求另一個因數的運算。
5、乘方: 求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
（三）分數四則運算
1、分數加法：分數加法的意義與整數加法的意義相同。 是把兩個數合并成一個數的運
算。
2、分數減法：分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一
個加數，求另一個加數的運算。
3、分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數和的簡便
運算。
4、乘積是 1 的兩個數叫做互為倒數。
5、分數除法：分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是已知兩個因數的積與其中
一個因數，求另一個因數的運算。
（四）運算定律
1、加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即 a b=b a 。
2、加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把後兩個
數相加，再和第一個數相加它們的和不變，即（a b) c=a (b c) 。
3、乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，即 a×b=b×a。
4、乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數；或者先把後兩個
數相乘，再和第一個數相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5、乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分别與這個數相乘再把兩個積相
加，
即(a b)×c=a×c b×c 。
6、減法的性質：從一個數裡連續減去幾個數，可以從這個數裡減去所有減數的和，差
不變，
即 a-b-c=a-(b c) 。
（五）運算法則
1、整數加法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數相加滿十，就向前一位
進一。
2、整數減法計算法則：相同數位對齊，從低位加起，哪一位上的數不夠減，就從它的
前一位退一作十，和本位上的數合并在一起，再減。
3、整數乘法計算法則：先用一個因數每一位上的數分别去乘另一個因數各個數位上的
數，用因數哪一位上的數去乘，乘得的數的末尾就對齊哪一位，然後
把各次乘得的數加起來。
4、整數除法計算法則：先從被除數的高位除起，除數是幾位數，就看被除數的前幾位；
如果不夠除，就多看一位，除到被除數的哪一位，商就寫在哪一位的
上面。如果哪一位上不夠商 1，要補“0”占位。每次除得的餘數要
小于除數。
5、小數乘法法則：先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就
從積的右邊起數出幾位，點上小數點；如果位數不夠，就用“0”補
足。
6、除數是整數的小數除法計算法則：先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被
除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有餘數，就在餘數後面
添“0”，再繼續除。
7、除數是小數的除法計算法則：先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點也向
右移動幾位（位數不夠的補“0”），然後按照除數是整數的除法法則進行
計算。
8、同分母分數加減法計算方法:同分母分數相加減，隻把分子相加減，分母不變。
9、異分母分數加減法計算方法:先通分，然後按照同分母分數加減法的的法則進行計算。
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10、帶分數加減法的計算方法:整數部分和分數部分分别相加減，再把所得的數合并起
來。
11、分數乘法的計算法則:分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不
變；分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作
分母。
12、分數除法的計算法則:甲數除以乙數（0 除外），等于甲數乘乙數的倒數。
（六）運算順序
1、小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。
2、分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。
3、沒有括号的混合運算:同級運算從左往右依次運算；兩級運算 先算乘、除法，後算加減
法。
4、有括号的混合運算:先算小括号裡面的，再算中括号裡面的，最後算括号外面的。
5、第一級運算：加法和減法叫做第一級運算。
6、第二級運算：乘法和除法叫做第二級運算。
五、應用
（一）整數和小數的應用
1、簡單應用題
（1）簡單應用題：隻含有一種基本數量關系，或用一步運算解答的應用題，通常叫做簡單應
用題。
（2）解題步驟：
A、 審題理解題意：了解應用題的内容，知道應用題的條件和問題。讀題時，不丢字不
添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以複述條件和問題，幫助理解題
意。
B、選擇算法和列式計算：這是解答應用題的中心工作。從題目中告訴什麼，要求什麼
着手，逐步根據所給的條件和問題，聯系四則運算的含義，分析數量關系，确定算
法，進行解答并标明正确的單位名稱。
C、檢驗：就是根據應用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否正确，是
否符合題意。如果發現錯誤，馬上改正。
2 複合應用題
（1）有兩個或兩個以上的基本數量關系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應用題，
通常叫做複合應用題。
（2）含有三個已知條件的兩步計算的應用題。
求比兩個數的和多（少）幾個數的應用題。
比較兩數差與倍數關系的應用題。
（3）含有兩個已知條件的兩步計算的應用題。
已知兩數相差多少（或倍數關系）與其中一個數，求兩個數的和（或差）。
已知兩數之和與其中一個數，求兩個數相差多少（或倍數關系）。
（4）解答連乘連除應用題。
（5）解答三步計算的應用題。
（6）解答小數計算的應用題：小數計算的加法、減法、乘法和除法的應用題，他們的數量
關系、結構、和解題方式都與正式應用題基本相同，隻是在已知數或未知數中間含有
小數。
(7) 解答加法應用題：
a.求總數的應用題：已知甲數是多少，乙數是多少，求甲乙兩數的和是多少。
b.求比一個數多幾的數應用題：已知甲數是多少和乙數比甲數多多少，求乙數是多少。
（8）解答減法應用題：
a.求剩餘的應用題：從已知數中去掉一部分，求剩下的部分。
b.求兩個數相差的多少的應用題：已知甲乙兩數各是多少，求甲數比乙數多多少，或
乙數比甲數少多少。
c.求比一個數少幾的數的應用題：已知甲數是多少，，乙數比甲數少多少，求乙數是
多少。
（9）解答乘法應用題：
a 求相同加數和的應用題：已知相同的加數和相同加數的個數，求總數。
b 求一個數的幾倍是多少的應用題：已知一個數是多少，另一個數是它的幾倍，求
另一個數是多少。
（10）解答除法應用題：
a.把一個數平均分成幾份，求每一份是多少的應用題：已知一個數和把這個數平均
分成幾份的，求每一份是多少。
b.求一個數裡包含幾個另一個數的應用題：已知一個數和每份是多少，求可以分成
幾份。
c.求一個數是另一個數的的幾倍的應用題：已知甲數乙數各是多少，求較大數是較小數的
幾倍。
d.已知一個數的幾倍是多少，求這個數的應用題。
（11）常見的數量關系： 總價= 單價×數量； 路程= 速度×時間；
工作總量=工作時間×工效 ； 總産量=單産量×數量
3、典型應用題 ： 具有獨特的結構特征的和特定的解題規律的複合應用題，通常叫做典型應
用題。
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（1）平均數問題：平均數是等分除法的發展。
解題關鍵：在于确定總數量和與之相對應的總份數。
算術平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。
數量關系式：數量之和÷數量的個數=算術平均數。
加權平均數：已知兩個以上若幹份的平均數，求總平均數是多少。
數量關系式：（部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。
差額平均數：是把各個大于或小于标準數的部分之和被總份數均分，求的是标準
數與各數相差之和的平均數。
數量關系式：（大數－小數）÷2=小數應得數
最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數
最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數。
例： 一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米
的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。
分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為
“ 1 ”，則汽車行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用
的時間為
100
1
，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ，所用的時間是
60
1
，
汽車共行的時間為：
100
1
60
1
=
75
2
, 汽車的平均速度為： 2 ÷
75
2
=75 （千米）
（2） 歸一問題：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也随之而改變，
其變化的規律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。
根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題和兩次歸一問
題。
根據求出單一量之後，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題和反歸一
問題。
一次歸一問題：用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”
兩次歸一問題：用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”
正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之後，再用乘法計算結果的歸一問題。
反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之後，再用除法計算結果的歸一問題。
解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然後以
它為标準，根據題目的要求算出結果。
數量關系式：單一量×份數=總數量（正歸一）
總數量÷單一量=份數（反歸一）
例 ： 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ，照這樣計算，織布 6930 米，需要多
少天？
分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0÷（477 4÷31）=45
（天）
（3）歸總問題：是已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單
位數量的個數），通過求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。
特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟着變化，不過變化的規
律相反，和反比例算法彼此相通。
數量關系式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量
例： 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多
少米？
分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用
題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總
問題是先求出總量，再求單一量。 800 × 6 ÷ 4=1200 （米）
（4）和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題
叫做和差問題。
解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然後再求另一
個數。
解題規律：（和＋差）÷2 = 大數 大數－差=小數
（和－差）÷2=小數 和－小數= 大數
例： 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲
班工作，這時乙班比甲班人數少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？
分析：從乙班調 46 人到甲班，對于總數沒有變化，現在把乙數轉化成 2 個乙班，
即 9 4 － 12 ，由此得到現在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），
乙班在調出 46 人之前應該為 41 46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數 關系，求兩個數各是多少的應用題，
叫做和倍問題。
解題關鍵：找準标準數（即 1 倍數）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就确
定為标準數。求出倍數和之後，再求出标準的數量是多少。根據另一個
數（也可能是幾個數）與标準數的倍數關系，再去求另一個數（或幾個
數）的數量。
解題規律：和÷倍數和=标準數 标準數×倍數=另一個數
例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大
貨車和小汽車各有多少輛？
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分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數 115 輛内，為了使總
數與（ 5 1 ）倍對應，總車輛數應（ 115-7 ）輛 。
列式為：（ 115-7 ）÷（ 5 1 ） =18 （輛）， 18 × 5 7=97 （輛）
（6）差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關系，求兩個數各是多少的應用題。
解題規律：兩個數的差÷（倍數－1 ）= 标準數 标準數×倍數=另一個數。
例：甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長度，結
果甲所剩的長度是乙繩長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少
米？
分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實際
比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為标準數。
列式：（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）… 乙繩剩下的長度，
17 × 3=51 （米）… 甲繩剩下的長度，
29-17=12 （米）… 剪去的長度。
（7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程
問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、
速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據這類問題的規律解答。
解題關鍵及規律：
同時同地相背而行：路程=速度和×時間。
同時相向而行：相遇時間=速度和×時間
同時同向而行（速度慢的在前，快的在後）：追及時間=路程速度差。
同時同地同向而行（速度慢的在後，快的在前）：路程=速度差×時間。
例： 甲在乙的後面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每
小時行 9 千米 ，甲幾小時追上乙？
分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）
千米，
這是速度差。已知甲在乙的後面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 裡包含
着幾個（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時間。
列式： 2 8 ÷（16-9）=4 （小時）
（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種
類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不
同作用。
船速：船在靜水中航行的速度。
水速：水流動的速度。
順水速度：船順流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
順速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以
流水問題當作和差問題解答。 解題時要以水流為線索。
解題規律：船行速度=（順水速度 逆流速度）÷2
流水速度=（順流速度逆流速度）÷2
路程=順流速度×順流航行所需時間
路程=逆流速度×逆流航行所需時間
例： 一隻輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行28千米，到乙地後，又逆水航行，
回到甲地。逆水比順水多行2小時，已知水速每小時4千米。求甲乙兩地相距多
少千米？
分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的
時間。已知順水速度和水流 速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用
的時間，逆水所用的時間不知道，隻知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這
一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙
兩地的路程。
列式為： 284 × 2=20 （千米）； 2 0 × 2 =40 （千米）；
40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時）； 28 × 5=140 （千米）。
（9） 還原問題：已知某未知數，經過一定的四則運算後所得的結果，求這個未知數的
應用題，我們叫做還原問題。
解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關系。
解題規律：從最後結果 出發，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導
出原數。根據原題的運算順序列出數量關系，然後采用逆運算的方法計
算推導出原數。解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減
法，後算乘除法時别忘記寫括号。
例： 某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6
人到二班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數相等，
四個班原有學生多少人？
分析：當四個班人數相等時，應為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調給三班 3 人，
又從一班調入 2 人，所以四班原有的人數減去 3 再加上 2 等于平均數。
四班原有人數列式為： 168 ÷ 4-2 3=43 （人）
一班原有人數列式為： 168 ÷ 4-6 2=38 （人）
二班原有人數列式為： 168 ÷ 4-6 6=42 （人）
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三班原有人數列式為： 168 ÷ 4-3 6=45 （人）。
（10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為内容。凡是研究總路程、株距、段數、棵
樹四種數量關系的應用題，叫做植樹問題。
解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而确定是沿線
段植樹還是沿周長植樹，然後按基本公式進行計算。
解題規律：
a.沿線段植樹
棵樹=段數 1 棵樹=總路程÷株距 1
株距=總路程÷（棵樹-1） 總路程=株距×（棵樹-1）
b.沿周長植樹
棵樹=總路程÷株距
株距=總路程÷棵樹
總路程=株距×棵樹
例： 沿公路一旁埋電線杆 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。後來全部改
裝，隻埋了 201 根。求改裝後每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線杆，要把電線杆的根數減掉一。
列式為： 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）
（11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發展起來的。 他的特點是把一定數量的物品，
平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有餘，一次不足（或
兩次都有餘），或兩次都不足），已知所餘和不足的數量，求物品适
量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。
解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，
再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除後
一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。
解題規律：總差額÷每人差額=人數
總差額的求法可以分為以下四種情況：
a.第一次多餘，第二次不足，總差額=多餘 不足
b.第一次正好，第二次多餘或不足 ，總差額=多餘或不足
c.第一次多餘，第二次也多餘，總差額=大多餘-小多餘
d.第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足
例： 參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組 10 人，則
多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多餘 5 支。求每人 分得幾支？共有多
少支色鉛筆？
分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而
色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。
列式為：（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支）； 10 × 12 5=125 （支）。
（12）年齡問題：将差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡
問題”。
解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、 差倍問題類似，主要特點是随着時間的變化，
年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問
題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。
例： 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？
分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可
知父子年齡的倍數差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從
而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。
列式為： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）
（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各多少隻的一類
應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題
解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全
是“兔”，然後根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。
解題規律：（總腿數－雞腿數×總頭數）÷一隻雞兔腿數的差=兔子隻數
兔子隻數=（總腿數-2×總頭數）÷2
如果假設全是兔子，可以有下面的式子： 雞的隻數=（4×總頭數-總腿數）÷2
兔的頭數=總頭數-雞的隻數
例： 雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少隻？
兔子隻數：（ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （隻）
雞的隻數： 50-35=15 （隻）
（二）分數和百分數的應用
1、分數加減法應用題：分數加減法的應用題與整數加減法的應用題的結構、數量關系
和解題方法基本相同，所不同的隻是在已知數或未知數中含有
分數。
2、分數乘法應用題：是指已知一個數，求它的幾分之幾是多少的應用題。
特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應的實際數量。
解題關鍵：準确判斷單位“1”的量。找準要求問題所對應的分率，然後根據一個數
乘分數的意義正确列式。
3、分數除法應用題：
（1）求一個數是另一個數的幾分之幾（或百分之幾）是多少。
特征：已知一個數和另一個數，求一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾。“一個
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數”是比較量，“另一個數”是标準量。求分率或百分率，也就是求他們的倍
數關系。
解題關鍵：從問題入手，搞清把誰看作标準的數也就是把誰看作了“單位一”，誰和
單位一的量作比較，誰就作被除數。
甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是标準量，用甲除以乙。
甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分
之幾）。關系式：（甲數減乙數）/乙數或（甲數減乙數）/甲數 。
（2）已知一個數的幾分之幾（或百分之幾 ) ,求這個數。
特征：已知一個實際數量和它相對應的分率，求單位“1”的量。
解題關鍵：準确判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成 x 根據分數乘法的意義列
方程，或者根據分數除法的意義列算式，但必須找準和分率相對應的已
知實際數量。
4、百分率：
發芽率=發芽種子數/試驗種子數×100%
小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100%
産品的合格率=合格的産品數/産品總數×100%
職工的出勤率=實際出勤人數/應出勤人數×100%
5、工程問題：是分數應用題的特例，它與整數的工作問題有着密切的聯系。它是探讨
工作總量、工作效率和工作時間三個數量之間相互關系的一種應用題。
解題關鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數，然後根據題
目的具體情況，靈活運用公式。
數量關系：工作總量=工作效率×工作時間
工作效率=工作總量÷工作時間
工作時間=工作總量÷工作效率
工作總量÷工作效率和=合作時間
6、納稅：納稅就是把根據國家各種稅法的有關規定，按照一定的比率把集體或個人收
入的一部分繳納給國家。
繳納的稅款叫應納稅款。
應納稅額與各種收入的（銷售額、營業額、應納稅所得額 ……）的比率叫做稅率。
7、利息：
存入銀行的錢叫做本金。
取款時銀行多支付的錢叫做利息。
利息與本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×時間
第二章 度量衡
一、長度
(一) 什麼是長度：長度是一維空間的度量。
(二) 長度常用單位：公裡(km) 、米(m) 、分米(dm) 、厘米(cm) 、毫米(mm) 、微米
(um)
(三) 單位之間的換算： 1 毫米 ＝1000 微米； 1 厘米＝10 毫米；
1 分米 ＝10 厘米； 1 米 ＝1000 毫米； 1 千米＝1000
米；
二、面積
（一）什麼是面積
面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。
（二）常用的面積單位
平方毫米、 平方厘米、 平方分米、 平方米、 平方千米
（三）面積單位的換算：1 平方厘米＝100 平方毫米； 1 平方分米=100 平方厘米 ；
1 平方米 ＝100 平方分米； 1 公傾 ＝10000 平方米；
1 平方公裡 ＝100 公頃；
三、體積和容積
（一）什麼是體積、容積
體積就是物體所占空間的大小。
容積是指箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。
（二）常用單位
1、體積單位： 立方米、 立方分米、 立方厘米
2、容積單位： 升、 毫升
（三）單位換算
1、體積單位： 1 立方米=1000 立方分米； 1 立方分米=1000 立方厘米；
2、容積單位： 1 升=1000 毫升； 1 升=1 立方米； 1 毫升=1 立方厘米
四、質量
（一）什麼是質量：質量是指表示表示物體有多重。
（二）常用單位： 噸（t）、 千克（kg）、 克（g）
（三）常用換算： 一噸=1000 千克； 1 千克=1000 克
五、時間
（一）什麼是時間：是指有起點和終點的一段時間。
（二）常用單位： 世紀、 年 、 月 、 日 、 時 、 分、 秒。
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（三）單位換算：
1 世紀=100 年；
1 年=365 天（ 平年 ）；
1 年=366 天（ 閏年 ）；
一、三、五、七、八、十、十二是大月；大月有 31 天。
四、六、九、十一是小月小月；小月有 30 天。
平年 2 月有 28 天； 閏年 2 月有 29 天。
1 天= 24 小時；
1 小時=60 分；
1 分=60 秒；
六、貨币
（一）什麼是貨币
貨币是充當一切商品的等價物的特殊商品。貨币是價值的一般代表，可以購買任何别的
商品。
（二）常用單位： 元、 角、 分
（三）單位換算： 1 元=10 角； 1 角=10 分
七、同一類計量單位之間的換算
1、名數：在數的後面附有計量單位的數叫做名數。如：3 厘米，50千克，2.5小時等都是名
數。
（1）單名數：隻帶有一個計量單位的名數叫做單名數。如：8.7 噸，17.3 升等都是單
名數。
（2）複名數：帶有兩個或兩個以上同類計量單位的名數叫做複名數。
如 1 元 5 角；6 平方米 8 平方分米；9 小時 30 分 39 秒等都是複名數。
2、轉換
(1)高級單位→低級單位的方法：高級單位的數×進率
如： 3 立方米=（3000）立方分米； 方法是：3×1000=3000
2.5 立方分米=(2500)立方厘米； 方法是:2.5×1000=2500
（2）低級單位→高級單位的方法：低級單位的數÷進率
如: 4000 立方分米=( 4 ) 立方米； 方法是:4000÷1000=4
1500 立方厘米=( 1.5 )立方分米； 方法是:1500÷1000=1.5
第三章 代數初步知識
一、用字母表示數
1、用字母表示數的意義和作用
用字母表示數，可以把數量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。
2、用字母表示常見的數量關系、運算定律和性質、幾何形體的計算公式
（1）常見的數量關系
路程用 s 表示，速度 v 用表示，時間用 t 表示，三者之間的關系：
s=vt； v=s/t； t=s/v
總價用 a 表示，單價用 b 表示，數量用 c 表示，三者之間的關系:
a=bc； b=a/c ； c=a/b
（2）運算定律和性質
加法交換律：a b=b a；
加法結合律：（a b) c=a (b c)；
乘法交換律：ab=ba ；
乘法結合律：（ab)c=a(bc) ；
乘法分配律：（a b)c=ac bc ；
減法的性質：a-(b c) =a-b-c ；
（3）用字母表示幾何形體的公式
①長方形的長用 a 表示，寬用 b 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。
c=2(a b)
s=ab
②正方形的邊長 a 用表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。
c=4a ； s=a
2
③平行四邊形的底 a 用表示，高用 h 表示，面積用 s 表示。
s=ah
④三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面積用 s 表示。
s=ah/2
⑤梯形的上底用 a 表示，下底 b 用表示，高用 h 表示，中位線用 m 表示，面積用 s 表示。
s=(a b)h/2 ； s=mh
⑥圓的半徑用 r 表示，直徑用 d 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。
c=π d=2π r ； s=π r
2
⑦扇形的半徑用 r 表示，n 表示圓心角的度數，面積用 s 表示。
s=nπ r
2 /360
⑧長方體的長用 a 表示，寬用 b 表示，高用 h 表示，表面積用 s 表示，體積用 v 表示。
v=sh ； s=2(ab ah bh) ； v=abh
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⑨正方體的棱長用 a 表示，底面周長 c 用表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示.
s=6a
2 ； v=a 2
⑩圓柱的高用 h 表示，底面周長用 c 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示.
s 側=ch ； s 表=s 側 2s 底 ；v=sh
○
11 圓錐的高用 h 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示.
v=sh/3
3、用字母表示數的寫法
（1）數字和字母、字母和字母相乘時，乘号可以記作“.”，或者省略不寫，數字要寫
在字母的前面。
（2）當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。
（3）在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。
（4）用含有字母的式子表示問題的答案時，除數一般寫成分母，如果式子中有加号或
者減号，要先用括号把含字母的式子括起來，再在括号後面寫上單位的名稱。
4、将數值代入式子求值
（1）把具體的數代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然後寫出原
式，再把數代入式子求值。字母表示的是數，後面不寫單位名稱。
（2）同一個式子，式子中所含字母取不同的數值，那麼所求出的式子的值也不相同。
二、簡易方程
1、方程：含有未知數的等式叫做方程。
（1）方程是等式，又含有未知數，兩者缺一不可。
（2）方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符号和已知數組成，它表示未
知數。方程是一個等式，在方程裡的未知數可以參加運算，并且隻有當未知數為
特定的數值時，方程才成立 。
2、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。
三、解方程：
求方程的解的過程叫做解方程。
四、列方程解應用題
1、列方程解應用題的意義：用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。
2、列方程解答應用題的步驟：
（1）弄清題意，确定未知數并用 x 表示；
（2）找出題中的數量之間的相等關系；
（3）列方程，解方程；
（4）檢查或驗算，寫出答案。
3、列方程解應用題的方法
（1）綜合法：先把應用題中已知數（量）和所設未知數（量）列成有關的代數式，再
找出它們之間的等量關系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種 思
維過程，其思考方向是從已知到未知。
（2）分析法：先找出等量關系，再根據具體建立等量關系的需要，把應用題中已知數
（量）和所設的未知數（量）列成有關的代數式進而列出方程。這是從
整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。
4、列方程解應用題的範圍
小學範圍内常用方程解的應用題：
A、一般應用題；
B、和倍、差倍問題；
C、幾何形體的周長、面積、體積計算；
D、 分數、百分數應用題；
E、比和比例應用題。
五、比和比例
1、比的意義和性質
（1）比的意義： 兩個數相除又叫做兩個數的比。
“：”是比号，讀作“比”。比号前面的數叫做比的前項，比号後面的數叫做比的後
項。比的前項除以後項所得的商，叫做比值。
同除法比較，比的前項相當于被除數，後項相當于除數，比值相當于商。
比值通常用分數表示，也可以用小數表示，有時也可能是整數。
比的後項不能是零。
根據分數與除法的關系,可知比的前項相當于分子,後項相當于分母,比值相當于分數
值。
（2）比的性質: 比的前項和後項同時乘上或者除以相同的數（0 除外），比值不變，這
叫做比的基本性質。
（3）求比值和化簡比
求比值的方法：用比的前項除以後項，它的結果是一個數值可以是整數，也可以
是小數或分數。
根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，
即前、後項是互質的數。
（4）比例尺:
圖上距離：實際距離=比例尺
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要求會求比例尺:已知圖上距離和比例尺求實際距離；
已知實際距離和比例尺求圖上距離。
線段比例尺：在圖上附有一條注有數目的線段，用來表示和地面上相對應的實際
距離。
（5）按比例分配:在農業生産和日常生活中，常常需要把一個數量按照一定的比來進行
分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然後求出總數的幾分之幾是多少。
2、比例的意義和性質
（1）比例的意義
表示兩個比相等的式子叫做比例。
組成比例的四個數，叫做比例的項。
兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做内項。
（2）比例的性質
在比例裡，兩個外項的積等于兩個兩個内向的積。這叫做比例的基本性質。
（3）解比例: 根據比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數
比例的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。
3、正比例和反比例
（1）成正比例的量: 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩
種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫
做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。
用字母表示: y/x=k(一定）
（2）成反比例的量: 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩
種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，
他們的關系叫做反比例關系。
用字母表示: x×y=k(一定)
第四章 空間與圖形
一、線和角
1、線
（1）直線：直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數條，過兩點隻能畫一條直線。
（2）射線：射線隻有一個端點；長度無限。
（3）線段：線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為
最短。
（4）平行線：在同一平面内，不相交的兩條直線叫做平行線。
兩條平行線之間的垂線長度都相等。
（5）垂線：兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另
一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。
從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。
2、角
（1）從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。
這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。
（2）角的分類
銳角：小于 90°的角叫做銳角。
直角：等于 90°的角叫做直角。
鈍角：大于 90°而小于 180°的角叫做鈍角。
平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角是 180°。
周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是 360°。
二、平面圖形
1、長方形
（1）特征：對邊相等，4 個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。
（2）計算公式： c=2(a b) ； s=ab
2、正方形
（1）特征：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有 4 條對稱軸。
（2）計算公式： c=4a ； s=a
2
3、三角形
（1）特征：由三條線段圍成的圖形。内角和是 180 度。三角形具有穩定性。三角形有三條
高。
（2）計算公式： s=ah/2
（3） 分類
a.按角分：
銳角三角形 ：三個角都是銳角。
直角三角形 ：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為 45 度，它有一條對稱
軸。
鈍角三角形：有一個角是鈍角。
b.按邊分：
不等邊三角形：三條邊長度不相等。
等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。
等邊三角形：三條邊長度都相等；三個内角都是 60 度；有三條對稱軸。
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4、平行四邊形
（1）特征：兩組對邊分别平行的四邊形。
相對的邊平行且相等。
對角相等，相鄰的兩個角的度數之和為 180 度。
平行四邊形容易變形。
（2）計算公式： s=ah
5、梯形
（1）特征：隻有一組對邊平行的四邊形。
中位線等于上下底和的一半。
等腰梯形有一條對稱軸。
（2） 公式：s=(a b)h/2
6、圓
（1）圓的認識
①平面上的一種曲線圖形。
②圓心：圓中心的一點叫做圓心。一般用字母 o 表示。
③半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用 r 表示。
在同一個圓裡，有無數條半徑，每條半徑的長度都相等。
④直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用 d 表示。
同一個圓裡有無數條直徑，所有的直徑都相等。
⑤同一個圓裡，直徑等于兩個半徑的長度，即 d=2r。
⑥圓的大小由半徑決定；
⑦圓的位置由圓心決定。
⑧圓有無數條對稱軸。
（2）圓的畫法：把圓規的兩腳分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；
把有針尖的一隻腳固定在一點（即圓心）上；
把裝有鉛筆尖的一隻腳旋轉一周，就畫出一個圓。
（3）圓的周長：圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。
把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母π 表示。
（計算時π =3.14）
（4）圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。
（5）計算公式： d=2r ； r=d/2 ； c=π d ； c=2π r ； s=π r
2
7、扇形
（1）扇形的認識：
①一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。
②圓上 AB 兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧 AB”。
③頂點在圓心的角叫做圓心角。
④在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關。
⑤扇形有一條對稱軸。
(2)計算公式： s=nπ r
2 /360
8、環形
(1)特征：由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數條對稱軸。
(2)計算公式：s=π (R
2 -r 2 ）
9、軸對稱圖形
(1)特征：如果一個圖形沿着一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱
圖形。
折痕所在的這條直線叫做對稱軸。
等腰梯形有 1 條對稱軸，
扇形有 1 條對稱軸。
長方形有 2 條對稱軸。
等腰三角形有 2 條對稱軸，
等邊三角形有 3 條對稱軸。
正方形有 4 條對稱軸，
菱形有 4 條對稱軸，
圓有無數條對稱軸。
三、立體圖形
（一）長方體
1、特征：六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。
相對的面面積相等，12 條棱相對的 4 條棱長度相等。
有 8 個頂點。
相交于一個頂點的三條棱的長度分别叫做長、寬、高。
兩個面相交的邊叫做棱。
三條棱相交的點叫做頂點。
把長方體放在桌面上，最多隻能看到三個面。
長方體或者正方體 6 個面的總面積，叫做它的表面積。
2、計算公式：s=2(ab ah bh)； V=sh ； V=abh
（二）正方體
1、特征：①六個面都是正方形； ②六個面的面積相等； ③12 條棱，棱長都相等；
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④有 8 個頂點； ⑤正方體可以看作特殊的長方體。
2、計算公式：S 表=6a² ； v=a³
（三）圓柱
1、圓柱的認識：圓柱的上下兩個面叫做底面。
圓柱有一個曲面叫做側面。
圓柱兩個底面之間的距離叫做高 。
2、計算公式 ： s 側=ch ； s 表=s 側 s 底×2 ； v=sh/3
3、進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結果多一些 ，因此，要保留數的時候，
省略的位上的是 4 或者比 4 小，都要向前一位進 1。這種取近似值的方法叫
做進一法。
（四）圓錐
1、圓錐的認識：圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是個曲面。
從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。
把圓錐的側面展開得到一個扇形。
2、測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平闆水平地放在圓錐的頂點上面，豎
直地量出平闆和底面之間的距離。
3、計算公式： v= sh/3
（五）球
1、認識：球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。
球和圓類似，也有一個球心，用 O 表示。
從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用 r 表示，每條半徑都相等。
通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用 d 表示,每條直徑都
相等。
直徑的長度等于半徑的 2 倍，即 d=2r。
2、 計算公式：d=2r
（六）圖形與方位
1、圖形的變換
（1）平移：在平面内，将一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為
平移。平移不改變圖形的形狀和大小。
（2）旋轉：在平面内，将一個圖形繞一定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運
動稱為旋轉。旋轉不改變圖形的形狀和大小。
（3）對稱：兩個圖形，如果沿着某一條直線對折後，它們能完全重合，那麼這兩個圖
形成軸對稱；
（4）軸對稱圖形：如果某一個圖形沿着某條直線對折後能完全重合，那麼這個圖形就
是軸對稱圖形。
2、觀察物體:我們在日常生活中接觸到的大部分立體圖形不是對稱的,從各個角度看到的形狀
也是不同的。要用平面圖形表示出立體圖形的形狀，就需要從各個不同的方向去
觀察物體。
3、确定方位
（1）方向：東、西、南、北、東北、東南、西北、西南、上、下、左、右、前、後。
（2）位置：人或物體在空間的位置以及人與人、人與物體、物體與物體在空間的位置
關系，一般可以用第幾個加以說明，也可以利用直角坐标系把平面上的點
與數對應起來，以确定平面上點的位置。
第五章 簡單的統計
一、統計表
（一）意義：把統計數據填寫在一定格式的表格内，用來反映情況、說明問題，這樣的
表格就叫做統計表。
（二）組成部分：一般分為表格外和表格内兩部分。表格外部分包括标的名稱，單位說
明和制表日期；表格内部包括表頭、橫标目、縱标目和數據四個方面。
（三）種類
1、單式統計表：隻含有一個項目的統計表。
2、複式統計表：含有兩個或兩個以上統計項目的統計表。
3、百分數統計表：不僅表明各統計項目的具體數量，而且表明比較量相當于标準量的
百分比的統計表。
（四）制作步驟
1、搜集數據：
2、整理數據：要根據制表的目的和統計的内容，對數據進行分類。
3、設計草表：要根據統計的目的和内容設計分欄格内容、分欄格畫法，規定橫欄、豎
欄各需幾格，每格長度。
4、正式制表：把核對過的數據填入表中，并根據制表要求，用簡單、明确的語言寫上
統計表的名稱和制表日期。
二、統計圖
（一）意義：用點線面積等來表示相關的量之間的數量關系的圖形叫做統計圖。
（二）分類：條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖。
1、條形統計圖：用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少畫成長短不同的直
條，然後把這些直線按照一定的順序排列起來。
A、優點：很容易看出各種數量的多少。
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B、注意：畫條形統計圖時，直條的寬窄必須相同。
取一個單位長度表示數量的多少要根據具體情況而确定；
複式條形統計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顔色區别開，
并在制圖日期下面注明圖例。
C、制作條形統計圖的一般步驟:
（1）根據圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。
（2）在水平射線上，适當分配條形的位置，确定直線的寬度和間隔。
（3）在與水平射線垂直的深線上根據數據大小的具體情況，确定單位長度表示多少。
（4）按照數據的大小畫出長短不同的直條，并注明數量。
2、折線統計圖：用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然後把
各點用線段順次連接起來。
A、優點：不但可以表示數量的多少，而且能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。
B、注意：折線統計圖的橫軸表示不同的年份、月份等時間時，不同時間之間的距離要
根據年份或月份的間隔來确定。
C、制作折線統計圖的一般步驟:
（1）根據圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。
（2）在水平射線上，适當分配折線的位置，确定直線的寬度和間隔。
（3）在與水平射線垂直的深線上根據數據大小的具體情況，确定單位長度表示多少。
（4）按照數據的大小描出各點，再用線段順次連接起來，并注明數量。
3、扇形統計圖：用整個圓的面積表示總數，用扇形面積表示各部分所占總數的百分數。
A、優點：很清楚地表示出各部分同總數之間的關系。
B、制扇形統計圖的一般步驟：
（1）先算出各部分數量占總量的百分之幾。
（2）再算出表示各部分數量的扇形的圓心角度數。
（3）取适當的半徑畫一個圓，并按照上面算出的圓心角的度數，在圓裡畫出各個扇形。
（4）在每個扇形中标明所表示的各部分數量名稱和所占的百分數，并用不同顔色或條
紋把各個扇形區别開。
（三）可能性
1、可能性：無論在什麼情況下都會發生的事件，是“一定”會發生的事件；
在任何情況下都不會發生的事件，是“不可能” 發生的事件；
在某種情況下會發生，而在其他情況下不會發生的事件，是“可能” 會發生的
事件；
2、可能性的大小：在可能發生的事件中，如果出現該事件的情況較多，我們就說該事件發
生的可能性較大；如果出現該事件的情況較少，我們就說該事件發生的可能性
較小。
3、遊戲規則的公平性
公平性就是隻參與遊戲活動的每一個對象獲勝的可能性是相等的。
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