【分析方法導引】

當幾何問題中出現了等腰三角形中的下列三種條件之一：頂角的角平分線；底邊上的高；底邊的中點或出現了一線端（将其看作是某三角形的一條邊）上的高、中線或所對角的角平分線中的兩條重合在一起時，就可以想到要應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。這時總共可出現六種可能情況，就按每一種情況分别讨論完成基本圖形的添加。就下來就可以根據基本圖形的四個基本性質所具有的兩兩等價性質完成分析。即在這四個基本性質中，隻要有兩個成立，就必定可以推得另外兩個成立。在分析中一般的情況是，四個性質中有一個是要證明的結論，有一個是已經給出的條件，從而要證明結論成立，就應轉而證明另外兩個性質中的一個，隻要其中的一個性質獲證，那就可以根據兩兩等價性推得結論成立。由于在上述分析過程中要在兩個性質中選擇證明一個，所以必然也就出現了分析上的兩種可能性。

例1 如圖3-86，已知：△ABC中，AB=AC，CD是邊AB上的高。求證：∠ BCD=1/2∠A

圖3-86

分析：本題要證明的結論∠BCD=1/2∠A，是兩個角之間的倍半關系，所以可以根據兩個角的倍半關系的定義将大的角兩等分後，證明大的角的一半和小的角相等，于是可作∠BAC的角平分線交BC于E（如圖3-87），問題就轉化為應證∠BAE=∠BCD。

圖3-87

然而在作出了∠BAC的角平分線AE後，由于已知AB=AC，所以就出現了AE是等腰△ABC的頂角的角平分線，所以就可以應用等腰三角形中的重要線段這個基本圖形的性質得AE⊥BC，進一步又可得∠BAE ∠B=90°，而由CD⊥AB，還可得∠BCD ∠B=90°，所以∠BAE=∠BCD就可以證明。

在上述分析中，在得到AE⊥BC，∠AEC=90°後，也可以再由AB⊥DC，∠ADC=90°，得A、D、E、C四點共圓，那麼應用圓周角的基本圖形的性質，也可以直接推得∠BAE=∠BCD。

本題在根據兩個角的倍半關系的定義進行分析時，也可以考慮另一種可能性，就是做出小的角的兩倍角，再證明所得到的角和大的角相等，于是作∠BCE=∠BCD，然後就要證明∠DCE=∠A。在作∠BCE=∠BCD時，當然會遇到一個問題，就是CE應作多長？由于∠BCE和∠BCD是關于BC成軸對稱的，所以可添加一對軸對稱型的全等三角形進行證明，于是根據圖形的軸對稱性可取CE=CD。這樣又出現了它們是兩條具有公共端點的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，而這個等腰三角形目前隻有兩條腰，而沒有底邊，所以應将底邊添上，也就是聯結DE（如圖3-88）。這樣在這個等腰△CDE中，又出現了CB是頂角的角平分線，所以就可以應用等腰三角形中的重要線段的基本圖形，實質上也就是一對軸對稱型的全等三角形的性質進行證明，于是就可以由CD=CE和∠DCB=∠ECB，并設DE與BC的交點為F後，推得CF⊥DF。再由條件∠CDB=90°，所以DF就是Rt△BCD的斜邊上的高，應用直角三角形斜邊上的高的基本圖形的性質，可得∠CDF=∠B，那麼在△ABC和△CDE中，首先它們都是等腰三角形，且它們的底角（∠CDF和∠B）相等，所以它們的頂角也必定相等，分析即可完成。

圖3-88

例2 如圖3-89，已知：平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB的長為半徑作⊙A交BC、AD于E、F，交BA的延長線于G，EG交AD于H。求證：EH=GH。

圖3-89

分析：本題的條件中出現了BG是⊙A的直徑，所以就想到要應用直徑的性質，也就是半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明，于是就可得∠BEG=90°。而已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD∥BC，所以∠AHG=∠BEG=90°。而現在要證的結論是EH=GH，出現了EG邊上的高和中線重合，也就是出現了線段EG的垂直平分線，所以可添加等腰三角形中的重要線段這個基本圖形進行證明，添加的方法是将等腰三角形的腰添上，于是聯結AE（如圖3-90），由于AE和AG都是⊙A的半徑，所以AE=AG，再加上AH⊥EG，當然就可以推得EH=GH。

圖3-90

本題的分析也可以從已知的圓的條件開始，因為圓内不在一直線上的兩條半徑可以組成一個等腰三角形，同時在圖形中過E點的半徑尚未出現，所以可首先将半徑AE添上（如圖3-91），這樣AB和AE這兩條半徑就成為由同一點A發出的兩條相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，又因為條件中給出AD∥BC，就構成了等腰三角形和平行線的組合關系，這樣就必然會出現角平分線，于是由AB=AE，得∠B=∠AEB，由AD∥BC，得∠B=∠GAD，∠AEB=∠EAD，從而進一步推得∠GAD=∠EAD。又因為AG和AE也是同圓的兩條半徑，它們也可以組成等腰△AEG，而AH是頂角的角平分線，所以應用等腰三角形中重要線段的基本圖形性質也可以證明EH=GH。

圖3-91

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