大家好，這是一道初看很簡單，細看還可以，再仔細一想，其實蠻有意思的中考數學填空壓軸題，來自江西2021中考。其中還蘊含有一點高數中連續函數的思想。

如圖，在邊長為6倍根号3的正六邊形ABCDEF中，連接BE，CF，其中點M，N分别為BE和CF上的動點. 若以M，N，D為頂點的三角形是等邊三角形，且邊長為整數，則該等邊三角形的邊長為_______。

分析：(1)首先，我們連接BD，DF，和BF，可以看到，當M，N分别與B，F重合時，三角形MND就是等邊三角形。這是由正六邊形的對稱性以及等邊三角形的判定定理決定的。很容易求得MN=18.

因為三角形BCD是一個底角為30度的等邊三角形，因此它的底邊等于腰長的二分之根号3倍，這些小知識點一定要記牢，中考可以為你節省不少時間。

(2)仔細一看，當點M是對角線DF和BE的交點，點N是對角線BD和CF的交點時，連接MN，此時三角形MND也是等邊三角形，且點N是BD的中點，所以這個等邊三角形的邊長就是整數9.

不過如果你現在就決定答案是18或9的話，那你就上了出題人的當了。接下來才是這道題的重點，精髓所在。

(3)如圖，如果我們繞點D旋轉等邊三角形BDF，使DF的對應邊交BE于點M，BD的對應邊交CF于點N的話。連接MN，三角形MND始終是一個等邊三角形，這一點不難證明，可以通過判定全等三角形來證明。且第二種情形下，DN垂直于CF，使等邊三角形的邊長最短為9。這是因為點到直線的距離，垂線段最短。而當M點與E點重合時，等邊三角形的邊長等于DE，即等于6倍根号3，它約等于10.4，這是等邊三角形MND的最長邊長。

由于旋轉過程中，等邊三角形MND的邊長所表示的函數是一個連續函數，也就是說，從9到6倍根号3内的所有數，都有可能是等邊三角形MND的邊長。所以在這個過程中必有一個等邊三角形MND的邊長等于10. 從而這道題的正确答案是18或9或10。填空題少答是沒有分數的。因此中考的填空壓軸題，要注意多答案這種情況，一定要把所有答案都解出來，才算完成。

事實上，當題目中提到所求的是整數邊的時候，我們就應該想到，等邊三角形MND可能還存在很多非整數邊的情形。當我們求得18或9的結果時，應該意味到還有非整數邊未必發現，其中可能還藏有符合要求的整數邊。

這道題涉及到正六邊形的性質，等邊三角形的判定、旋轉的知識，以及連續函數的思想，并且它可以歸納為雙動點問題，綜合性還是蠻高的，解這樣的題目，對中考複習非常有意義。其解法主要分兩步進行：1、連接對角線BD、BF和DF，找到前兩種情形；2、旋轉等邊三角形BDF，找到蘊藏着的第三種情形。

你覺得這道中考填空壓軸題怎麼樣呢？

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