提到lnx,我們都知道它是eˣ的反函數。而提到eˣ我們要先說說無理數e的意義，(參見以前寫的文章——自然對數的意義 )，這裡對無理數e的意義再作個解釋：

先看下面這個事例：

一個公司年利潤1元，年利潤每年增長50%，那兩年後年利潤為1×(1 0.5)²=2.25元，這是典型的複利計算模型。。

再比如，一個銀行年利率100%，1元存一年本利和為2元。假設利率與時間成比例（一年利率100%，半年利率50%，1/4​​年利率25%……）。存半年本利和變為原來本利和的1 0.5=1.5倍，一定的金額存半年就會變成原金額的1.5倍，存兩次半年（存一次後将本利和再存入），金額會變成原金額的(1 0.5)²​​倍；一定金額存1/3年，會變成原金額的1 1/3=4/3倍，存三次1/3年（每次本利和都再存入），金額會變成原金額的(1 1/3)³倍……

這就說明數列{Xn}是單調增加的，這個數列同時還是有上界的，因為，如果Xn​​的展開式中各項括号内的數用較大的數1代替，得

這說明這個數列的極限是存在的，我們一般用e來表示該極限的值，e≈2.718281828，即

因為若每時每刻銀行都付利息，我們每時每刻又再存入，那一年後的本利和是原金額的e倍，設1元錢這樣存x年後本利和是y，則存兩年y=e²，存x年y=eˣ​​.

我們接着再看這樣一個例子：

如圖：若P、Q兩點分别以相同的初速度（初速度為每秒1個單位長度），在兩具有相同單位長度的數軸上運動。點Q沿數軸CD（C為原點）作勻速運動，設CQ=x；點P沿數軸OB（O為原點）從A點(OA=1)開始運動，它在任何時刻的速度值等于它離O點的距離，設OP=y，設時間為t(單位秒)，易知t與x數值上相等。令P與Q同時分别從A，C出發，我們能否求出y與x的函數關系呢？

我們知道P點的運動特點是在任意時刻以y值為運動速度，t=0時，y=1.能不能求出t=1時y的值呢？

當t=1秒時,CQ=1,将這一秒無限細分成n份，每份1/n​​秒,設第一個1/n​​秒位移值為a₁,第二個1/n​​秒位移值為a₂,……設數列{an}前n項和為Sn​​,t=1時y=S​​n.

類比上面存款模型可知：t=x時y=eˣ​​，這便是以e為底的指數函數，由y=eˣ​​知x=lny(lnx與eˣ互為反函數）。

在P點的路程-時間（s−t/y−x）函數中，每一點的路程為該點處的速度（即每一點的函數值為該點的變化率，速度就是路程對時間的變化率）。

我們再來看看從另一個方向的分析：

如圖，我們如何求出由x=1,x=2,x軸和y=x圍成的曲邊梯形面積?

由定積分知該曲邊梯形面積為

（參見前面寫的文章——怎樣理解定積分）。按照分割、近似代替、求和、取極限的步驟可以求得

按現有數學方法，幾乎無法直接對該式求出結果，但根據牛頓萊布尼茨公式，我們可以先找到1/x​​的原函數再求該曲邊梯形面積。

如圖a從-8 到 0圖象的變化：

可以看出圖象在逐漸接近y=lnx的圖象，這也符合前面的結果(lnx求導是1/x​​)。

我們還可以這樣理解：

根據互為反函數的函數的求導法則：

這個求導法則怎麼理解呢？要知道，導函數表示原函數的變化率，導數值即原函數圖象切線的斜率。兩函數互為反函數，則它們的圖象關于y=x軸對稱，f(x)圖象在(a，b)處的切線與g(x)圖象在(b，a)處的切線也關于y=x軸對稱，則兩切線的斜率互為倒數，（因為兩切線的傾斜角和為90ᐤ或和為270ᐤ，切線斜率代表導數值，所以兩函數的導函數互為倒數。

前面已經分析了y=eˣ​​以自身的函數值為導數值，即(eˣ)′=eˣ，設eˣ=y=f(x)，則f′(x)=f(x)=y，設其反函數lny=x=g(y),

這樣我們也自然得出

到這裡你明白為什麼lnx求導是1/x了嗎？

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