關于單樣本和兩獨立樣本T檢驗的操作方法，我們今天先不談具體的步驟，而是通過案例全方位地将T檢驗和P值的邏輯和思想，掰開揉碎，嘗試用白話再梳理一遍，增進大家的理解，不足之處，歡迎指出讨論。

案例：5年前，全國男性的平均身高是1.75米（普查得到的總體均值），現在我們想知道如今男性的平均身高是否發生了改變。

思路：從全國男性群體中随機抽取1000名樣本，獲得樣本均值和樣本标準差，進行假設檢驗。

此處需要提醒的是，在進行假設檢驗時，我們的關注點在樣本均值上，即我們不太關注原始樣本的情況，而是關注由這個樣本計算的樣本均值了。

現在，在腦海中重複上面的操作：比如我們随機抽取100次，每次都抽取1000名，所以，我們會得到100個樣本均數，将這100個樣本均數放在一起再求均數和标準差，得到的均數會更加接近全國這個總體的均數，而這個标準差就是你聽過的“标準誤”。

然而，現實情況中我們隻會抽取一次，隻會得到一個樣本均數和一個樣本标準差，雖然這一個樣本均數不如上面由100個樣本均數平均後計算地精确，但在數學上仍可以證明，這一個樣本均數也可以用來很好地估計總體均數。所以，問題的關鍵就變成了，不抽取100次，怎麼計算“标準誤”？好在我們也能證明，隻抽樣一次獲得的樣本标準差（S），除以根号N就可以得到“标準誤”的估計值了，于是抽樣一次就可以簡單算出“标準誤”，再次提醒，這個“标準誤”實際上就是均數的标準差。

現在我們正式開始T檢驗的思路。上文提到了，我們關注的随機變量已經不是原始的身高了，而是身高的均數，身高的均數，身高的均數（重要的話，講三遍）。所以，身高均數成為了我們研究的随機變量，它也存在總體與樣本的區分，它也有均值和标準差，而且我們還可以确定無論身高是否真正服從正态分布，身高均值這個變量總是近似服從正态分布（中心極限定理），由此我們就可以利用這些性質進行假設檢驗。

回到上面的問題，5年前全國男子身高的總體均值是1.75米（μ），我們想知道現在是否有變化，其實就是想檢驗，5年後的現在全國男子身高的總體均值是否還是1.75米。因為我們不進行普查，所以我們希望通過随機抽取一個1000人的樣本來進行推斷和檢驗。得到樣本後，我們可以計算出樣本均數、樣本标準差以及标準誤。

假設樣本均數為 1.77，顯然我們不能因為1.77和1.75這兩個數字的不同就判斷說現在全國男子的平均身高要大于5年前了。因為即使現在的身高沒有變化，你随機抽取一個1000人的樣本得到的樣本均數也不可能就恰好等于1.75，這很好理解，抽樣是有誤差的。于是，我們就要搞清楚現在得到的這個樣本均數（1.77）和5年前的總體均數（1.75）的差異僅僅是因為抽樣誤差，還是确實是因為現在人們的平均身高發生了變化，這裡的“變化”用數學的語言表達就是：現在全國男子身高的總體均數到底還是不是1.75，注意這裡是“總體均數”，也就是說我們真正關心的是總體，樣本隻是用來獲得總體信息的一個手段。

我們先假設，現在的總體均數沒有變，仍等于1.75。所以，我們抽取的1000人就認為是在這個總體中抽取的一個樣本。在零假設情況下，這個總體的均數是1.75，而我們獲得的樣本計算出來的樣本均數是1.77，假設檢驗的問題就轉換成了：在一個總體均數為1.75的總體中，抽到如今這個樣本的概率是多少？

很明顯，如果這樣問，答案肯定就是0。在先前的文章中，我們知道一個樣本相當于數軸上的一個點，而從一個數軸中抽取一個點的概率就是0。然後，你就看到了那句“永遠讓人費解的話”：P值是抽取到現有樣本或更極端情況樣本的概率。

如果把樣本割裂來看，抽到一個樣本的概率就是0，而“現有樣本或更極端情況的樣本”中的“或”字表明，P不是指的一個點的概率，而是一個區間的概率，也就是在μ為1.75的總體中，根據抽到的樣本計算的樣本均值比1.77還要大的樣本（比如1.78或1.80），這些樣本合起來的概率就是P，而這些樣本相對均數為1.75的總體而言便是“更極端樣本”了。看到這裡，你可以想想這句話怎麼用概率式子表示出來呢？

最後一個問題就是，如何計算P值？這裡需要的基礎知識是：知道一個變量服從正态分布，怎麼計算這個變量在某個區間上的概率。比如，随機變量X服從均值為2.5，标準差為1.6的正态分布，如何求X<4的概率。這種問題的解法應該都學過，我們簡單回顧一下。首先将X進行标準化處理（即将變量減去均數然後除以标準差），比如将4标準化：(4-2.5)/1.6=0.94，然後查标準正态概率分布表P(Z≤0.94)=0.8264，于是就得到P(X<4)=0.94。

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