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證明直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

生活更新时间:2024-12-19 02:39:59

證明直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?證法1：ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分線n交BC于D，下面我們就來說一說關于證明直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

證明直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

證法1：

ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分線n交BC于D

∴ AD=BD（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）

以DB為半徑,D為圓心畫弧,與BC在D的另一側交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等邊對等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C與C’重合（也可用垂直公理證明：假使C與C’不重合由于CA⊥AB,C’A⊥AB 故過A有CA、C’A兩條直線與AB垂直這就與垂直公理矛盾 ∴假設不成立 ∴C與C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中線且AD=BC/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理。

證法2：

ΔABC是直角三角形,AD是BC上的中線,作AB的中點E,連接DE

∴BD=CB/2,DE是ΔABC的中位線

∴DE‖AC（三角形的中位線平行于第三邊）

∴∠DEB=∠CAB=90°（兩直線平行,同位角相等）

∴DE⊥AB

∴E是AB的垂直平分線

∴AD=BD（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）

∴AD=CB/2

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