一、方程組法的一般步驟及各步的要點：

①設：選設未知數，注意選定未知數的個數；

②列：列方程組——把條件分開，弄清獨立條件數；

用方程表示獨立條件（等量關系），列成方程組；

一般情況，未知數與方程的個數相等，特殊情況不等。

③解：解方程組——聯立，消元；

同解變換，或增解變換；

④答：檢驗，作答。

二、例題：

例題1、已知 sinθ cosθ = 1/5 , θ∈(0,π), 則 cotθ 的值為多少？

解：設 cosθ = x , sinθ = y , 則

x y = 1/5 ,

x^2 y^2 = 1 ,

y > 0 (因為 0 < θ < π )

解得： x = -3/5 , y = 4/5 。

所以：cotθ = x/y = -3/4 。

注：本題是用方程組解決三角問題的範例，解法簡明輕快。

例題2、已知 tanαtanβ = 3, tan[(α-β)/2] = 2 , 求 cos(α β) 的值 。

解題思路：根據三角公式，tanαtanβ ， cos(α-β) ， cos(α β) 都可以用 cosαcosβ ,sinαsinβ 來表示，

所以可設 cosαcosβ = x , sinαsinβ = y ,用方程組法來解。

解：設 cosαcosβ = x ， sinαsinβ = y ，

則由 tanαtanβ = 3 ， 得 y/x = 3 ; ①

由 tan[(α-β)/2] = 2 ，得 cos(α-β) = （1 - 2^2）/(1 2^2) = -3/5 ,

而 cos(α-β) = cosαcosβ sinαsinβ = x y ,

所以 又得 x y = -3/5。 ②

解方程組 ①，② 得 x = -3/20 , y = -9/20 。

所以 cos(α β) = x - y = 3/10 。

注意要掌握兩角和與差的餘弦公式和萬能公式 cos2A =( 1 - tan^2 A）/(1 tan^2 A)。

例題3、四棱錐 S-ABCD 的底面邊長是 a 的棱形 ，側棱 SA = SC = b , SB = SD = c ,求四棱錐的體積。

例題3圖（1）

解：底面棱形 ABCD 的中心為 O ， 易證 SO ⊥底面ABCD 。

設 OS = x , OB = y , OA = z ,則有：

y^2 z^2 = a^2 ①,

z^2 x^2 = b^2② ,

x^2 y^2 = c^2 ③;

聯立解此方程組可得： Vs-ABVD = 2/3 • xyz = 2/3 • √(x^2 • y^2 • z^2)

= 1/6 • √[2(a^2 b^2 - c^2)(a^2 c^2-b^2)(b^2 c^2-a^2)]

注：方程組的①②③是由聯立直角三角形而得的，把代數中的聯立方程的思想類比到幾何中，就開創了幾何的一個解題方法-"聯立三角形法"。這個方法在立體幾何和平面幾何中很有用。

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