将一元函數積分推廣來看對于連續函數 f(x,y) 如何求二重積分. 每個二重積分都可以方便地用定積分的方法分步進行計算.
矩形區域上的二重積分設 f(x,y) 在矩形區域 R: a<=x<=b, c<=y<=d 上有定義. 如果 R 被分别平行于 x 軸和 y 軸的直線網格所劃分成許多小塊面積 ∆ A="∆ x∆ y" . 如下動畫所示
當網格不斷進行細分使 ∆x 和 ∆y 都趨近零時, 則趨于 R 的面積趨近于極限值, 則稱該極限值為 f 在 R 上的二重積分, 記為:
值得注意的是 f 函數的連續性是二重積分存在的一個充分條件, 對于許多不連續的函數, 該極限也存在.
二重積分的性質連續函數的二重積分也有一些代數性質:
當 f(x,y) 為正函數時, 則可以把矩形區域 R 上的 f 函數二重積積分視為曲面為 z=f(x,y) 的棱柱體的體積.
現在 計算 xy 平面内矩形區域 R ： 0<=x<=2， 0<=y<=1 在平面 z=4-x-y 下面的體積。 求其二重積分的過程請看下面的動畫。
也就是說體積可以這樣計算出來: 先固定 x, 将 4-xy 先關于 y 從 y=0 到 y=1, 然後再對所得 x 的表達式關于 x 從 x=0 到 x=2 積分. 則體積可以寫成表達式:
上述表達式稱為二重積分或累次積分(iterated integral).
Guido Fubini(圭多.富比尼) 在1907年證明了矩形域上任意一個連續函數的二重積分都可以用兩種累次積分的任一種次序計算.
函數 f(x,y) 在非矩形區域 R 上的二重積分, 設想被網格覆蓋, 不過在 R 内的小塊面積為紅色, 如下圖所示:
可以看到随着網格不斷細分, R内包含的小矩形方塊越來越趨于零時, S 就會有極限, 則稱該極限為 f 在 R 上的二重積分:
如果 f(x,y) 為正, 且在 R 上連續, 則曲面 z=ff(x,y) 與 R 之間的立體趨于的體積為:
觀看下面的動畫:
在 xy 平面内, 如果 R 是一個由兩條曲線 g1(x) 和 g2(x) 圍城的區域. 則也可以用切片法來求體積. 先計算截面面積 A(x):
然後再對 A(x) 從 x=a 到 x=b 作積分可以求得體積:
觀察下面動畫 A(x) 從 x=a 到 x=b 作積分的過程:
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