每個三角形都有一個外心和一個内心,它們分别是外接圓和内切圓的圓心.四邊形就不同了.通過畫圖可以知道,圓内接四邊形通常沒有内切圓,圓外切四邊形往往又沒有外接圓,很難兩全其美.既有外接圓、又有内切圓的四邊形叫做雙心四邊形.正方形是最常見的雙心四邊形,除此以外,有沒有其他的雙心四邊形呢?答案是:有,而且很多很多,下面介紹一種畫雙心四邊形的簡便方法: 如圖,先任意畫一個圓,設圓心為O,然後在圓O中任意作兩條互相垂直相交的弦EF和GH. 再通過這些弦的端點作圓O的切線,所得切線圍成一個四邊形ABCD ,它的四個頂點A ,B ,C ,D一定在同一個圓周上.
照這方法畫幾幅圖試試,果然靈驗.什麼道理呢?為什麼四邊形ABCD的四個頂點一定共圓? 如圖,連接EH,OE,OG,OF,OH.在 Rt△EHK 中,∠ KEH ∠ KHE = 90°. 因為圓周角等于同弧所對圓心角的一半, 所以 ∠ FOH ∠ GOE = 180°. 再看四邊形OFBH,因為切線垂直過切點的半徑, 所以 ∠ OFB =∠ OHB = 90°. 四邊形的内角和為 360°, 所以 ∠ FOH ∠ B = 180°. 同理,從四邊形 OEDG 得 ∠ GOE ∠ D = 180°. 由以上各式推出 ∠ B ∠ D = 180°. 我們知道,圓内接四邊形對角互補;反過來,對角互補的四邊形内接于圓.所以,從∠B與∠D互補,知道 ABCD 是圓内接四邊形.
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