教學反思：直線和圓的位置關系

在前面學習了點和圓的位置關系之後，研究直線和圓的位置關系，方法是類似的，即确定不同位置中各元素間的數量關系。教學設計采用常規教學，使用了一體機上的希沃白闆5和班級優化大師，這幾乎是常态課的标配，分别用于闆書和點評。

一、課堂複盤

導入部分就是太陽在海平面升起的截圖，然後将太陽和海平面分别抽象成數學中的圓和直線，提出第一個問題，直線和圓總共有幾種位置關系？依據是什麼？

學生在課堂上表現基本在意料之中，回答有三種，以公共點的個數來判斷，這符合提問初衷，在引入階段，直觀認知的确是以公共點的個數來判斷的，如下圖：

那麼，直線和圓的位置關系能否用數量關系來判斷呢？這需要分解整個關系中的各元素，對于圓來講，圓心确定圓的位置，半徑确定圓的大小，因此它自身包含兩個元素：圓心和半徑，再加上直線，三個元素。

在引例一中，直線是固定的，半徑是固定的，變化的隻是圓心的位置，在這種情況下，我們需要關注的是圓心到直線的距離，即d的值；

三種結果：直線與圓相交時，d<r，直線與圓相切時，d=r，直線也圓相離時，d>r，反之亦然。

然後給出引例二，如下圖：

現在動的是直線，圓心和半徑相對确定。但是在拖動直線的過程中，除了提問直線與圓的位置關系之外，還多問了幾個問題。

第一個問題：當直線從與圓O相離的位置平移，然後與圓相切，再與圓相交，繼續平移，出現第二次相切，第二次相離，這是為什麼？

很快便有學生回答，因為圓是軸對稱圖形，這個認知大體是正确的，經過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸，既然是平移，那麼經過圓心且平行于這條直線的直線，就是圓的一條對稱軸，在對稱軸的一邊發生過的事情，在另一邊同樣會發生，所以會出現第二次相切和第二次相離，更進一步，直線與圓相交後，弦的長度也有同樣的規律。

第二個問題：改變直線的傾斜角度，再次重複上述過程，依然會有同樣的結論，又是為什麼？

沉默片刻之後，有學生回答，因為經過圓心的任何一條直線是圓的對稱軸，很精彩，圓繞着圓心旋轉任意角度，都能和自己重合。

這兩個小問題，說明學生對于圓的基本概念掌握還是合格的。

引例三，圓心和直線确定下來，改變圓的半徑，再次體會三種不同的位置關系，如下圖：

三個引例，分别确定三個元素（圓心、直線、半徑）中的兩個，達到動态的效果，這也是未來和圓有關的壓軸題經常用到的思路，埋下這個伏筆，以後好作文章。

新增一個環節是作圓的一條切線，因為在練習本上畫切線，内涵是十分豐富的，盡管在後續章節還要深入研究切線，但這節課不妨作個嘗試，或鋪墊。

經過圓外一點作切線，在沒有學習切線判定定理之前，本節課隻需要根據定義作圖，提示使用工具為直尺。

很快，學生便找到了方法，如下圖：

讓直尺經過點P，然後“靠”在圓上，作出一條圓的切線，至于為什麼作出的直線是切線，留待下節課處理，會作圖是第一步，又多問了一句，可以作幾條？

很快便有了第二條，結論也得到了，經過圓外一點作切線，可以作兩條；

經過圓上一點呢？是否也和剛才一樣直尺就足夠？

仔細看，這三次擺放直尺的位置都不同，然而卻“看上去像”切線，如果此時提問，經過圓上一點可以作幾條切線，相信有一部分學生真的認為可以作無數條。

然而思考之後，真相出來了。

我們依舊回到直線和圓相切的概念中，當d=r時，顯然點P在圓上，連接OP就得到半徑，那如何讓OP也成為d呢？繼續從概念入手，d是指圓心到直線的距離，距離，顧名思義，是一條垂線段，即直線與OP垂直，這就找到突破口了，過點P作OP的垂線，得到結果。可見沒有半徑OP的輔助，作圖誤差會大大增加。

這實質上也是下節課要進行的一項活動，提前預演，讓學生多思考概念間的聯系，也有一定幫助。

在練習環節，完成教材上的習題之後，增加了兩道題，分别如下：

嚴格來講，第一道題叙述上還存在一點小漏洞，即OE是否垂直于CD，需要說明，畢竟學生此時還沒有學習切線定理。

這道題主要目的是讓學生經曆直線和圓相切，可以從兩個方向分别相切，學會以後遇到類似問題，要分情況讨論；

第二道題含參數k，利用了含30°角的直角三角形的三邊數量關系，後期可進一步改編為三角函數相關綜合題。

課堂小結中，再次回顧本節課涉及到的概念如割線、切線、切點等，強調數學概念的記憶，不是背誦，而是做到腦中有圖。

二、教學反思

作為直線與圓的位置關系的第一課時，重點是理解這種位置關系，會判斷，能識圖。三個基本元素給出其中兩個，能根據需要判斷不同的位置關系，這個部分的習題，再怎麼變化，都在這個框架内。

在第2課時中，引入就相對容易得多，由于第1課時已經作過圓的切線，并且從幾何直觀上有初步的認知，現在到了該“知其所以然”的時候，在深入思考的過程中，展開第2課時的教學。

在第1課時的作業中，反映出來學生能夠将比較d與r作為判斷位置關系的依據，出現的錯誤主要存在于辨識d與r，這又涉及到前面圓的基本概念關于半徑的描述：一個端點在圓心，另一個端點在圓上的線段，以及距離的描述。

從作業中反饋出來，學生對距離的認知層次上，最容易判斷的是兩點之間的距離，較難判斷的是點到直線的距離。畢竟作垂線段，要求比連兩點，操作上會多一點。

在作圓的切線時，第1課時要求并不多，通常情況下，學生拿直尺比一下，觀察到隻有一個公共點，就作出了切線，但這種作圖經不起深究，所以設計問題，留下“隐患”下節課來解決，隻有進一步學習了切線相關定理，才會返回來重新認識拿“直尺比一下”操作背後的數學原理，由知其然，到知其所以然。

本課結束時，學生能更進一步認知到，直線和圓的位置關系，可以用公共點個數來區分，同樣也可以用d和r的數量關系來區分，那麼教學目标已經圓滿實現了。

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