高等數學應用非常廣，基本上涉及到函數的地方都要用到微積分，還有在幾何方面也是如此，計算機的應用讓我們能簡單快速處理各種高等數學中的計算，比如極限、導數、積分、微分方程等的計算。
實驗目的使用 Python 通過計算與作圖，加強對極限、導數、積分等概念的理解，并掌握它們計算方法，以及求微分方程和方程組解析解的方法。
實驗原理與數學模型1. 函數極限的求解和兩個重要極限
在這個實驗中我們通過對簡單的函數進行單側極限的求解，并且分析兩個重要極限。
例 1：考慮函數
解：編寫Python代碼如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp
# 求函數 y=arctan(1/x) 的左右極限
x = sp.Symbol('x')
fr = sp.atan(1 / x)
xl = sp.limit(fr, x, 0, dir='-')
xr = sp.limit(fr, x, 0, dir=' ')
print('%s 左極限是：%s' % (fr, xl))
print('%s 右極限是：%s' % (fr, xr))
# 繪制函數 y=arctan(1/x) 的圖像
x = np.arange(-6, 6, 0.01)
y = np.arctan(1 / x)
plt.title('y=arctan(1/x)')
plt.plot(x, y)
plt.show()
運行代碼輸出結果和繪制圖像：
atan(1/x) 左極限是：-pi/2
atan(1/x) 右極限是：pi/2
根據計算結果和繪制的圖像分析求得出題中函數的左右極限分别為 -pi/2 和 pi/2 。
例 2：兩個重要極限的驗證。
解：編寫Python代碼如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp
# 分析兩個重要極限
x = sp.Symbol('x')
f1 = sp.sin(x) / x
f2 = (1 1 / x) ** x
x1 = sp.limit(f1, x, 0)
x2 = sp.limit(f2, x, 'oo')
print('%s 第一重要極限的值：%s' % (f1, x1))
print('%s 第二重要極限的值：%s' % (f2, x2))
# 繪制函數圖像分析兩個重要極限
x1 = np.arange(-3, 3, 0.01)
x2 = np.arange(0.01, 100, 0.1)
y1 = np.sin(x1) / x1
y2 = (1 1 / x2) ** x2
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(121)
plt.title('y=sin(x)/x')
plt.plot(x1, y1)
plt.subplot(122)
plt.title('y=(1 1/x)**x')
plt.plot(x2, y2)
plt.show()
運行代碼輸出結果和繪制圖像：
sin(x)/x 第一重要極限的值：1
(1 1/x)**x 第二重要極限的值：E
根據上圖變化趨勢理解函數極限和程序得出的答案，驗證兩個重要極限。
2. 導數與微分的研究
在這個實驗中，我們探究導數概念及其幾何意義，高階導數，隐函數導數，參數方程定義的函數導數，以及求解多元函數偏導數和全微分。
例 1：求 f(x)=2x^3 3x^2-12x 7 的導函數，并作出該函數圖形和在 x=-1 處的切線。
解：編寫Python代碼如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp
# 導數與微分
x = sp.Symbol('x')
f = 2 * x ** 3 3 * x ** 2 - 12 * x 7
d = sp.diff(f)
print('%s 的導函數為：%s' % (f, d))
y_d = d.evalf(subs={x: -1})
y_h = f.evalf(subs={x: -1})
print('将x=-1代入導函數求解為：%d' % y_d)
print('将x=-1代入原函數求解為：%d' % y_h)
f_d = y_d * (x 1) y_h
print('得出切線方程為：%s' % f_d)
# 繪制函數圖和切線圖
x = np.arange(-4, 3, 0.01)
y1 = 2 * x ** 3 3 * x ** 2 - 12 * x 7
y2 = 8 - 12 * x
plt.title('函數y=2*x**3 3*x**2-12*x 7以及當x=-1時的切線')
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.plot(x, y1, x, y2)
plt.show()
運行代碼輸出結果和繪制圖像：
2*x**3 3*x**2 - 12*x 7 的導函數為：6*x**2 6*x - 12
将x=-1代入導函數求解為：-12
将x=-1代入原函數求解為：20
得出切線方程為：8.0 - 12.0*x
最後執行便在同一個坐标系内作出了函數 f(x) 的圖形和它在 x=-1 處的切線（直線為切線）。
注：此兩行代碼是為了解決在繪圖中顯示中文亂碼的問題。
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
例 2：求函數 y=x^{10} 2(x-10)^9 的1階到11階導數。
解：編寫Python代碼如下：
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
y = x ** 10 2 * (x - 10) ** 9
for n in range(1, 12):
y = d = sp.diff(y)
print('第-階導數為：%s' % (n, d))
輸出即為題中要求所得函數高階導數。
例 3：求由方程 2x^2-2xy y^2 x 2y 1=0 确定的隐函數的導數。
解：編寫Python代碼如下：
import sympy as sp
x, y = sp.symbols('x y')
z = 2 * x ** 2 - 2 * x * y y ** 2 x 2 * y 1
d = -sp.diff(z, x) / sp.diff(z, y)
print('原方程導數為：%s' % d)
運行代碼輸出結果：
原方程導數為：(-4*x 2*y - 1)/(-2*x 2*y 2)
該實驗根據隐函數求導公式 dy/dx=-Fx/Fy 求得，然後再根據一般求導公式即可求出結果。
例 4：求由參數方程 x=e^tcos(t), y=e^tsin(t) 确定的函數的導數。
解：編寫Python代碼如下：
import sympy as sp
t = sp.Symbol('t')
x = sp.exp(t) * sp.cos(t)
y = sp.exp(t) * sp.sin(t)
d = sp.diff(y, t) / sp.diff(x, t)
print('原參數方程導數結果為：%s' % d)
d = sp.simplify(d)
print('原參數方程導數化簡為：%s' % d)
運行代碼輸出結果：
原參數方程導數結果為：(exp(t)*sin(t) exp(t)*cos(t))/(-exp(t)*sin(t) exp(t)*cos(t))
原參數方程導數化簡為：tan(t pi/4)
根據參數方程求導法則最後求得由參數方程确定函數的導數。
例 5：設 z=sin(xy) cos^2(xy) ，求偏導數（省略數學公式，點擊閱讀原文查看）。
解：編寫Python代碼如下：
import sympy as sp
x, y = sp.symbols('x y')
z = sp.sin(x * y) (sp.cos(x * y)) ** 2
d1 = sp.diff(z, x)
d2 = sp.diff(z, y)
d3 = sp.diff(z, x, 2)
d4 = sp.diff(sp.diff(z, x), y)
print('第一偏導數為：%s' % d1)
print('第二偏導數為：%s' % d2)
print('第三偏導數為：%s' % d3)
print('第四偏導數為：%s' % d4)
運行代碼輸出結果：
第一偏導數為：-2*y*sin(x*y)*cos(x*y) y*cos(x*y)
第二偏導數為：-2*x*sin(x*y)*cos(x*y) x*cos(x*y)
第三偏導數為：y**2*(2*sin(x*y)**2 - sin(x*y) - 2*cos(x*y)**2)
第四偏導數為：2*x*y*sin(x*y)**2 - x*y*sin(x*y) - 2*x*y*cos(x*y)**2 - 2*sin(x*y)*cos(x*y) cos(x*y)
以上為多元函數偏導數的結果。
3. 定積分與不定積分以及重積分的研究
在這個實驗中，我們研究定積分與不定積分的計算，以及多重積分的計算，深入理解曲線積分、曲面積分的概念個計算方法。
例 1：計算 \int{\sqrt{4-x^2}dx} 和 \int_1^2{\sqrt{4-x^2}} 。
解：編寫Python代碼如下：
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
y = sp.sqrt(4 - x ** 2)
i1 = sp.integrate(y, x)
i2 = sp.integrate(y, (x, 1, 2))
print('不定積分的結果為：%s' % i1)
print('定積分的結果為：%s' % i2)
運行代碼輸出結果：
不定積分的結果為：x*sqrt(4 - x**2)/2 2*asin(x/2)
定積分的結果為：-sqrt(3)/2 2*pi/3
使用 Python 求解不定積分時，會省略積分的常數。
例 2：計算三重積分 \iiint{(x^2 y^2 z)dxdydz} ，其中由曲面 z=\sqrt{2-x^2-y^2} 與 z=\sqrt{x^2 y^2} 圍成。
解：編寫Python代碼作出區域曲面圖形，如下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3D
x = np.arange(-1, 1, 0.05)
y = np.arange(-1, 1, 0.05)
x, y = np.meshgrid(x, y)
z1 = np.sqrt(x ** 2 y ** 2)
z2 = np.sqrt(2 - x ** 2 - y ** 2)
ax = Axes3D(plt.figure())
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
ax.set_title('三重積分曲面')
ax.plot_surface(x, y, z1)
ax.plot_surface(x, y, z2)
plt.show()
将方程轉換為柱坐标計算，然後确定積分限，編寫Python代碼：
import sympy as sp
r, s, z = sp.symbols('r s z')
f = (r ** 2 z) * r
i = sp.integrate(sp.integrate(sp.integrate(f, (z, r, sp.sqrt(2 - r ** 2))), (r, 0, 1)), (s, 0, 2 * sp.pi))
print('三重積分計算結果為：%s' % i)
運行代碼輸出結果：
三重積分計算結果為：2*pi*(-5/12 8*sqrt(2)/15)
4. 求微分方程的解析解
在這個實驗中，我們用通過 Python 來求解微分方程的通解，在初始條件下的特解，以及微分方程組在初始條件下的特解。
例 1：求微分方程 y' 2xy=xe^{-x^2}
解：編寫Python代碼如下：
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
f = sp.Function('f')
y = f(x)
d = sp.Eq(y.diff(x) 2 * x * y, x * sp.exp(-x ** 2))
diff = sp.dsolve(d, y)
print('微分方程的通解為：%s' % diff)
運行代碼輸出結果：
微分方程的通解為：Eq(f(x), (C1 x**2/2)*exp(-x**2))
例 2：求微分方程 xy' y-e^{-x}=0 在初始條件 y(x=1)=2e 下的特解。
解：編寫Python代碼如下：
import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
f = sp.Function('f')
y = f(x)
d = sp.Eq(x * y.diff(x) y - sp.exp(-x), 0)
diff = sp.dsolve(d, y, ics={f(1): 2 * sp.exp(1)})
print('微分方程的特解為：%s' % diff)
運行代碼輸出結果：
微分方程的特解為：Eq(f(x), ((1 2*exp(2))*exp(-1) - exp(-x))/x)ga
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