不得不承認，微積分是老胡遇到的最好的東西。它是一個工具，教我抽象的想法，并向我展示了一個簡單的方法，使我的生活中的問題更容易管理。正是微積分使肯尼迪所說的“我們選擇登月”成為可能。讓阿姆斯特朗說出：“一個人的一小步就是人類的一大步。”，讓菲利克斯·鮑姆加特納能夠說：“我現在要回家了！”

當盧修斯·福克斯為蝙蝠俠設計蝙蝠衣時，也是在計算。正是這一數學分支使得人們喜愛的動畫像人一樣行動；正是這種計算讓母親們知道了嬰兒的性别或健康狀況；正是微積分使我們能夠在微波爐裡加熱東西；它幫助人們在高德地圖上到達目的地。愛因斯坦把他的方程式寫在筆記本上以改變世界，這就是微積分。它把數學、科學和社會學結合起來，幫助創造了我們生活的現代世界。這就是為什麼伏爾泰把微積分稱為“精确計算一種無法想象其存在的事物的藝術”。

• 上圖：愛因斯坦1936年發表的科學論文的附言。資料來源：匹茲堡大學。下圖：伏爾泰的《關于英國的信件》，第152頁

根據伏爾泰的觀點：

“這個荒謬的、陳腐的問題在一次著名的集會上引起了騷動，這是不久以前的事了。誰是最偉大的人呢，卡薩爾或亞曆山大，塔默蘭或克倫威爾嗎？有人說那一定是艾薩克·牛頓爵士。這個人當然是對的。”

所有我們想用數學術語來理解的東西，我們都是通過微積分來理解的。不幸的是，大學裡的老師讓微積分看起來既困難又乏味。對于許多大學一年級的學生來說，微積分是一個讓他們充分享受生活的障礙。一開始，就好像有人買了一輛有引擎問題的新車。然而，一旦你開始修複它，它就會變得很容易使用。

微積分是一種使不可見的東西變得可見的工具。它是好奇心和解決方案之間的聯系。換句話說，它是回答問題和揭示科學奧秘的最佳工具。當數學家們緻力于一個項目去建立一些新的東西時，他們也會受到數學的啟發。此外，将現代數學思想應用于現實世界可能需要數年時間。然而，微積分是數學中少有的源于物理學的領域之一。

例如，如果你把一塊磁鐵放在你的桌子上，把填滿磁鐵的鐵搖一搖，你會注意到，填滿的東西會開始沿着不同的線排列，在磁鐵周圍形成完美的圖案。你還會看到磁場向各個方向延伸。今天，我們知道這種科學美是磁場的結果。

• 鐵屑在紙上。下面有一塊磁鐵。

然而，大約200年前，邁克爾·法拉第并不知道這一點。他隻是憑直覺接近這個想法，并相信由于鐵屑産生的運動，磁鐵周圍應該有一種看不見的力量。代數、英語或其他語言不足以解釋或證明他關于磁場的激動人心的想法；因此，法拉第需要使用不同的方法，如數學。雖然他是一位優秀的物理學家，但他的數學知識不足以描述他的思想。此外，他對将要看到的東西一點也不知道。

在這段時間裡，研究磁場的物理學家越來越多。蘇格蘭物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋就是其中之一。他決定走另一條路，用微積分來改進法拉第的磁場研究。即便如此，麥克斯韋是如何用微積分來解釋一些與物理學有關的東西的呢？首先，他把所有關于磁場的知識轉化成數學方程式。然後，麥克斯韋開始使用微分學并得到了新的方程。他最初得到了20個方程。最後，他把它們結合起來，成功了！

麥克斯韋揭示了磁力的奧秘！他使用的語言隻是微積分，這是他唯一的聲音。

• 上圖 ：邁克爾·法拉第，1861 |下圖：詹姆斯·麥克斯韋傳記物理學家(1831-1879)

• 詹姆斯·克拉克·麥克斯韋，《倫敦皇家學會哲學會刊》，1865年1月1日出版。

微積分把好奇的人召集起來，告訴他們：“如果你想了解宇宙，就利用我吧！”不久之後，尼古拉·特斯拉跟随麥克斯韋的腳步，用麥克斯韋方程做出了第一台收音機。愛德華·布蘭利發明了第一個真正的無線電波探測器——相幹器。馬可尼在幾百英裡外發送了一條無線信息。

仍然有人認為是馬可尼發明了第一台收音機。然而，美國最高法院裁定馬可尼的無線電專利無效，并在特斯拉死後6個月，即1943年6月21日，将無線電牌照授予特斯拉。

• 尼古拉·特斯拉(1856 - 1943)

後來，艾倫·圖靈破解了德國的密碼，從而把二戰縮短了2到4年，在這期間他拯救了數百萬人的生命。微積分的其他用途可以從發明電視的菲羅·範斯沃斯身上看到。他使20億人得以觀看1994年7月17日意大利對巴西的世界杯決賽。他讓我有機會觀看了1986年世界杯半決賽馬拉多納對陣英格蘭打進的“世紀進球”。

• “ 世紀進球”，其在馬拉多納1986年世界杯半決賽對陣英格蘭

• 羅伯特·巴喬在1994年世界杯決賽中罰失點球的精彩畫面。

無論如何，我需要回到微積分。今天，Loon公司正在設計氣球，為世界各地的人們帶來免費的無線技術。所有這些發現和發明一直在告訴我們關于宇宙的一些獨特的東西。順便說一句，我并不是說微積分讓羅伯特·巴喬錯過了讓巴西成為1994年世界杯冠軍的點球。微積分讓無形變得有形。否則，我怎麼能見證那些難忘的時刻呢?

在費曼、麥克斯韋、特斯拉和Loon的例子中，你可能會注意到聰明人對變化感興趣。要麼他們想要理解它，要麼他們想要追求它。為了實現他們的目标或夢想，這些美麗的頭腦都使用了微積分。我們可以說，微積分關注的是事物随時間的變化。數學本身創造變化。

數學變化的概念出現于5000年前。古希臘哲學家對事物變化的概念思考得非常深刻。例如，古希臘哲學家芝諾(Zeno)是第一個提出瞬時速度概念的人。我們可能聽過他的著名的芝諾悖論——阿基裡斯和烏龜之間的賽跑——但是，他的阿羅悖論可能比其他的更重要，因為它是微積分的入門。芝諾說飛行中的箭總是處于靜止狀态。你可能會問自己:“移動的箭頭怎麼可能不移動呢?”“然而，如果我們在那個特定的時刻拍下太空箭的快照，它必須是靜止的。由于時間是許多實例的集合，我們可以說箭從不移動，因此變得自相矛盾，因為箭是移動的。

在芝諾之後，第一個研究微積分的人是柏拉圖的學生歐多克索斯。在此期間，幾乎每個人都能計算正方形、長方形和三角形等規則形狀的面積。他們負責發展我們對形狀及其特征的理解。然而，現在是革命的時候了！他們需要計算一個曲面的面積，比如一個圓，但是這對他們來說是相當困難的。圓不可以畫線，然後分成三角形。相反，他們必須找到更複雜的東西。我們的曆史資料顯示，歐多克索斯使用了一種窮竭法，這是一種精确的計算方法。他發現一個圓錐體的體積是相應圓柱體積的三分之一。

窮竭法是一種求形狀面積的方法，其方法是在一個形狀内嵌入一系列多邊形，這些多邊形的面積收斂于包含該形狀的面積。——維基百科

歐多克索斯之後，阿基米德接過了微積分的旗幟。阿基米德癡迷于數學，常常忘記吃飯。此外，當他死于羅馬士兵之手時，他告訴羅馬士兵不要打擾他，因為他正在沙灘上畫一個圓圈。甚至他的墓碑上也刻着一個球體的圖形，球體被一個圓柱體包圍着，圓柱體的容積比為2:3。當伽利略提到阿基米德時，他總是說:“超越人類的阿基米德，獨一無二的阿基米德是神聖的阿基米德。”

• 阿基米德，由何塞·德裡貝拉繪畫，1630 | 阿基米德之死，1815年

兩千兩百年前，阿基米德的癡迷于曲線。他找到了一種計算曲面物體面積和體積的方法。他把筆記抄在一張紙莎草紙上，然後把它放在一張羊皮紙上。在他的筆記被轉移之後，發生了一件非常有趣的事情。不知怎麼的，700年前，一個和尚需要紙把他的祈禱寫在什麼東西上，然後随便在書架上選一本書。不幸的是，他手裡拿着阿基米德的筆記，像用自己的筆記一樣使用這本書。然而，在2000年之後，數學家發現這本書決定繼續研究。這導緻了阿基米德方法“方法”的面世。

• 阿基米德重寫本| PBS裡面

像任何二維形狀一樣，圓也有面積。阿基米德通過發明一種叫做“啟發式”的數學方法，來得出一個圓的面積的結論，這種方法可以加速得到一個滿意解的過程。雖然啟發式方法不能完美地從數學上證明某件事，但它是實用的，足以總結他的工作。阿基米德還進一步發展歐多克索斯的“窮竭法”，以計算抛物線下的面積，球的表面積和體積，或證明圓的面積等于πr^2。

阿基米德求圓面積的第一個方法是如此簡單，但它隻能來自天才的頭腦！隻有有天賦的人才能在任何情況下找到簡單的方法。就像約翰·克魯伊夫說的那樣：“足球很簡單，但很難踢簡單的足球。”不管怎樣，阿基米德将正多邊形内嵌在一個圓内，直到正多邊形有如此多的邊，以至于它們實際上變成了圓本身。這樣，多邊形的面積就越來越接近圓的準确面積。然而，多邊形需要有無數條邊才能有一個與圓相同的面積。今天，我們說在無窮大的極限下，多邊形的面積等于圓的面積，其中n代表多邊形的邊數。然而，在這一時期，希臘人并沒有完全掌握極限的概念。

阿基米德用同樣的方法求抛物線段的面積。他把曲線形狀變成了三角形的組合。由于這種方法，斯蒂芬·斯特羅加茨教授在他的最後一本書《無限的力量：微積分如何揭示宇宙的秘密》(第37頁)中稱阿基米德是第一位像畢加索那樣的立體派藝術家。

• 《無限的力量：微積分的故事——宇宙的語言》作者:斯蒂文·斯特羅加茨

• 巴勃羅·畢加索《公牛》1945年

首先，阿基米德把最大的三角形放在曲線下。然後，他把兩個較小的三角形放在左邊和右邊。當曲線下有一點空間時，他試着放更多的小三角形。他能夠将曲面面積轉換成三角形的組合，因為他知道如何找到該形狀的面積。這種方法使他認識到一個有趣的事實，抛物線段的面積與第一個大三角形的面積之比是4/3。4/3的比例非同尋常，因為在音樂中，它被稱為“完美的四分之一”。

用三角形做抛物線段是一個獨特的想法，因為它是微積分無形存在的一個非凡例子。當我們去電影院看電影的時候，我們看到的人物就像真人一樣，但實際上，他們是由數百萬個規則多邊形組成的。我們隻是沒有注意到這裡的微積分。我們可以用三角形來表示任何光滑的表面，這已經成為阿基米德的想法，這是微積分(微分學)背後的另一種優秀表現，通過直線來近似彎曲的物體。

阿基米德的第二個非凡的方法是找到一個圓的面積。在開始的時候，找到一個圓的面積對他來說是件頭疼的事。他需要找到不同的方法來解決這個問題。幸運的是，在古代，當人們處理任何類型的問題時，他們試圖通過将它們分解成不同的部分，以使其變得更小，以便以後單獨處理它們。因此，他們的問題将比原來的問題容易處理得多。然後，當他們解決了所有小塊的問題，他們會把答案重新組合在一起，形成一個整體。這種數學方法是人類曆史上最令人難以置信的布局之一。

為了在我們的腦海中描繪阿基米德的方法，先畫一個半徑為r的圓，然後把它切成四塊。現在我們有四個相等的四分之一。順便說一下，我們的圓的周長将2πr。如果像下面的圖一樣重新排列四分之一，我們将得到一個新的形狀。此外，底部的扇形邊緣的長度将為圓周的一半，即πr（π乘以r）。

• 摘自Steven Strogatz |《推向極限》

這裡我們有一個簡單的想法，如果我們能計算出新形狀的面積，那麼我們就會知道圓的面積。但是，我們的新形狀可能看起來更複雜，因此我們應該嘗試使用更多切碎的碎片将圓更改為我們知道面積的形狀。

我們可以試着用8個相等的部分組成這個圓，然後重新排列它們，得到下面這個平行四邊形的更好的形式。如果我們仔細觀察，我們會發現它正試圖變成我們認識的形狀。寬度越來越垂直，底部的扇形邊緣越來越直。

• 如何顯示一個圓的面積是2πr

因此，如果你直覺地接近這個想法，你會注意到我們可以用更小的部分來構建一個圓。例如，如果我們構建另一個有32段的圓并重複這個過程，我們會發現這個圓慢慢地開始看起來有點像一個矩形，這使得找到它的面積變得非常容易。

• 圓面積計算的視覺證明

現在我們可以得出結論，當我們把圓分成越來越多的小塊時，形狀就變成了長方形。如果你這樣做無窮次，你會得到無窮多的碎片，形成一個完美的矩形。随着數量的增加，形狀會變得更加精确。因此寬度的長度仍然πr，邊的長度相當于圓的半徑，仍然“r。

今天，在現代微積分中，我們把問題切成無數小塊，然後把它們加在一起，就像阿基米德2200年前做的那樣。換句話說，微積分就是讓難題變得更容易處理。

雖然幾乎所有關于微積分的教科書都有1000頁，但微積分真正想要達到的是簡單。

然而，切分問題并不是微積分的主要思想。我們不斷地進行運算，不管是微分運算還是積分運算，這可能是有史以來最關鍵的數學技術。這兩個概念都涉及到這樣一種思想：我們可以做一些無限的事情來得到一個有限的答案。由于微積分是變化的數學，根據定義，微積分必須是連續的。連續性是微積分的本質。

積分就是求出水平軸上一條直線下的面積。例如，速度-時間圖下的面積就是實際走過的距離。積分可以通過将面積分割成無限小的矩形，然後将矩形的所有面積相加得到曲線下的準确面積來實現。通過無限小矩形的極限，可以求出曲線下的精确面積。

微分是關于事物移動或變化的速度(變化率)。它被用來求速度曲線的切線。一條曲線可以看作是改變方向，運動可以看作是改變位置。

這兩個概念都涉及到處理無限小或無限接近的事物。

有趣的是，在阿基米德被士兵殺死後，微積分的發展立即停止了，并停滞了1500多年。人類必須等到17世紀才能走得更遠。微積分是在那個時代正式被發現的，它使數學家和工程師能夠真正理解我們周圍世界的運動和動态變化，比如行星的軌道和流體的運動。在微積分發明之後，科學革命正式開始了，這并非巧合。在這個時期，人們發現了許多偉大的數學思想、公式和證明。

17世紀30年代，德國數學家開普勒、意大利數學家卡瓦列裡和伽利略分别改進了阿基米德的窮竭法，使其成為現代版本。這種技術被稱為“無限分割法”。

• 上：伽利略伽利略|中：約翰内斯開普勒|下：博納文圖拉卡瓦列裡

無限分割法的基本思想是通過畫無窮多條平行線，得到無窮多個矩形，直到矩形的寬度不能再細分為止，從而确定任意圖形的大小。之後，每個矩形的面積之和将等于開始時圖形的大小。這種方法與積分法非常相似。

在卡瓦列裡之後，包括勒内·笛卡爾、皮埃爾·德·費馬、布萊斯·帕斯卡、艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨在内的許多數學家開始研究微積分。這些數學家中沒有一個人知道，他們即将創造曆史上最不可思議的裡程碑之一。然而，隻有牛頓和萊布尼茨能夠完成他們的工作并發表它。這兩個天才通過向世界介紹微積分永遠地改變了數學和科學。它還導緻大學裡平均多開設了20門數學課程。學生們現在接觸到一個涉及數學的更加多樣化的環境。

• 艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨

在萊布尼茨和牛頓于17世紀發表了他們的發現之後，數學的力量得到了自希臘時代以來最顯著的增長。值得慶幸的是，他們的原始著作記錄了微積分的發現，至今仍保存在劍橋大學圖書館，我們有機會看到他們重新發現微積分的數學之旅。

• 數學寶藏：萊布尼茲關于微積分的論文

• 牛頓論文：《自然哲學的數學原理》|來源:劍橋大學數字圖書館

今天，當我們放下手機，開始談論一些物理問題時，我們很可能會提到三位科學家的名字，愛因斯坦，費曼和牛頓。既然我們提到了牛頓，我們也必須談談萊布尼茨。然而，牛頓，當然還有萊布尼茨為未來的物理學家和數學家打開了大門。

一方面，牛頓想要解釋哥白尼、開普勒和伽利略的天文系統，以描述引力是如何工作的。另一方面，萊布尼茨想把邏輯規則正式化，使數學推理系統化。他一生緻力于使所有的推理過程機械化。牛頓和萊布尼茨在微積分的幫助下都取得了成功。

牛頓是那種什麼都想知道的人。他想看到神秘事物背後的真相，并向世界各地的人們解釋它們。

一個蘋果從來沒有落在牛頓的頭上，但他想知道為什麼月亮是站在天上，而不是下落。

在此之前，成千上萬的人已經一次又一次地看到過天上的月亮，但隻有牛頓問過為什麼月亮不會落到地球上。這個問題對他來說是個轉折點，也是全人類的轉折點。它會促使他去發現許多他熱衷的事情，在某種程度上，它甚至讓他着迷。例如，當他癡迷于煉金術時，他對把鉛變成金子不感興趣。

他還癡迷于重力。當他意識到重力的存在時，他想要計算出在任何給定時間下落物體的速度。他知道，如果你讓一個物體下落，它的速度會在每一刻增加，直到它落到地面。因此，物體在任何時刻都必須有一定的速度。他不知道有什麼數學方法可以充分計算出這些瞬時速度。

因此，他需要提出某種動态數學系統來幫助解釋他的萬有引力情況。首先，他掌握了笛卡爾求切線的方法。然後，他意識到随着曲線的正割越來越小，斜率就變成了一個精确的點，我們可以在這一點畫一條切線。在那一刻，他發現了一個非凡的數學概念，瞬時變化率，這就是我們今天看到的微分學。

當他發現自己最癡迷的東西時，他很高興。他感到一陣自由。然而，有一天，天文學家埃德蒙·哈雷坐在椅子上喝着茶，特别問牛頓太陽是如何在不可見的情況下控制行星的。他花了好幾年的時間來回答這個問題，但當他終于能夠解釋時，他第一次明确指出，引力是所有行星圍繞太陽運行的力量。在那一刻，他完全理解了開普勒。

幸運的是，他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》一書中把自己的筆記結合了起來。通過這本書，他将笛卡爾、伽利略、開普勒和哥白尼的工作統一為一個數學上的健全體系。這是自亞裡士多德以來，歐洲的自然哲學家第一次有了一個單一的系統來理解事物是什麼和怎樣的。然而，要完全理解《原理》幾乎是不可能的，因為數學太深奧了。他必須從幾何學的角度來讨論微積分，因為以前沒有人聽說過微積分!他稱自己的發現為“運動的數學”。在接下來的三個世紀裡，他的書将主導科學界對宇宙的看法。

• 牛頓的《自然哲學原理》第一版的個人副本在劍橋大學圖書館展出。

你可以看出，牛頓發展了一個新的動态數學系統，微積分，以擁有他需要的工具來解決和解釋物理問題。顯然，微積分是随着代數的不足而出現的。在接下來的過程中，将會使用代數方法來求解事件的微分方程，從而得到快速發展。

萊布尼茨獨立發現了微積分，今天，我們使用他的微積分。萊布尼茨的微積分方法是從形而上學的角度出發的，這就是為什麼萊布尼茨的微積分是一個推理系統。他主要研究當代數學問題。當他發現無限個矩形的和的概念時，他頓悟了。他的感覺是，他剛剛發現了形成一個全新的數學體系的潛力，這個體系将來會被稱為微積分。

1684年，萊布尼茨獨立于艾薩克·牛頓發表了他的著作。數學家們能夠很快理解微分和積分的概念，因為他還發明了一個強大而靈活的符号。萊布尼茨在曆史上第一次用“積分的概念”來求函數曲線下的面積。在此過程中，他做了必要的記号，包括微分的“d”和積分的“long S - summa”。這就是為什麼我們今天仍然使用萊布尼茲符号。

此外，萊布尼茨對“變化的概念”的描述與牛頓非常不同。對于萊布尼茨來說，變化是在一個稱為無窮小的無限接近值序列範圍内的差異。無窮小就是那些小的量，比如那些小矩形，沒有任何方法可以測量它們。後來，數學家們把它描述為極限。

• 極限的定義

希臘數學家考慮的是無窮和極限。哲人芝諾曾說過，如果一個人要接近一堵牆的一半，他就不可能朝牆走去，也不可能碰到它。首先，它們要穿過半個房間，然後是半個房間，然後是半個房間，以此類推。因為這個剩餘的距離可以被無限次分成兩半，它們永遠到不了那堵牆。

科學家和哲學家每周進行讨論，并從一開始就贊成牛頓，從而對牛頓和萊布尼茲的案子進行了不公平的辯論。牛頓是皇家學會的主席，但從來沒有給萊布尼茲一個捍衛自己的機會。最終，牛頓被認為是第一個發現者。直到去世，萊布尼茲一直在努力證明自己是在沒有查閱牛頓筆記的情況下發明微積分的。他從來沒有真正得到過應得的榮譽，因此，萊布尼茲的英文著作仍然沒有完整版！

我希望牛頓，這個已經發現了萬有引力定律的人，能表現出善意，把微積分留給萊布尼茨，但他沒有！

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