1. 輕繩模型

繩或光滑圓軌道的内側，如圖所示，它的特點是：在運動到最高點時均沒有物體支撐着小球。下面讨論小球(質量為m)在豎直平面内做圓周運動(半徑為R)通過最高點時的情況：

(1) 臨界條件

小球到達最高點時受到繩子的拉力恰好等于零，這時小球做圓周運動所需要的向心力僅由小球的重力來提供。根據牛頓第二定律得，

這個速度可理解為小球恰好通過最高點或恰好通不過最高點時的速度，也可認為是小球通過最高點時的最小速度，通常叫臨界速度。

(2) 小球能通過最高點的條件：

當v>√Rg時，小球能通過最高點，這時繩子對球有作用力，為拉力。

當v＝√Rg時，小球剛好能通過最高點，此時繩子對球不産生作用力。

(3) 小球不能通過最高點的條件：

當v<√Rg時，小球不能通過最高點，實際上小球還沒有到達最高點就已經脫離了軌道。（如圖）

2. 輕杆模型

杆和光滑管道，如圖所示，它的特點是：在運動到最高點時有物體支撐着小球。下面讨論小球(質量為m)在豎直平面内做圓周運動(半徑為R)通過最高點時的情況：

(1) 臨界條件

由于硬杆的支撐作用，小球恰能到達最高點的臨界速度是：v_臨界＝0。

此時，硬杆對物體的支持力恰等于小球的重力mg。

(2) 如上圖所示的小球通過最高點時，硬杆對小球的彈力情況為：

當v＝0時，硬杆對小球有豎直向上的支持力F_N，其大小等于小球的重力，即F_N＝mg.

當0<v<√Rg時，杆對小球的支持力豎直向上，大小随速度的增加而減小，其取值範圍為0<F_N<mg.

當v＝√Rg時，F_N＝0.這時小球的重力恰好提供小球做圓周運動的向心力。

當v>√Rg時，硬杆對小球有指向圓心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。

3. 兩種模型分析比較如下：

4. 分析物體在豎直平面内做圓周運動時的易錯易混點

（1）繩模型和杆模型過最高點的臨界條件不同，其原因是繩不能有支撐力，而杆可有支撐力。

（2）對杆模型，在最高點有時不知是支撐力或拉力，此時可用假設法，然後根據結果的正負再确定。

（3）解答豎直平面内的圓周運動時，首先要搞清楚是什麼模型，對不同模型的臨界條件分析受力，找到向心力的來源。

5. 豎直面

内圓周運動的求解思路

【典例探究】

1. 輕繩模型

【典例1】如圖所示，有一長為L的細線，細線的一端固定在O點，另一端拴一質量為m的小球。現使小球恰好能在豎直面内做完整的圓周運動。已知水平地面上的C點位于O點正下方，且到O點的距離為1.9L。不計空氣阻力。

(1)求小球通過最高點A時的速度v_A；

(2)若小球通過最低點B時，細線對小球的拉力F_T恰好為小球重力的6倍，且小球經過B點的瞬間細線斷裂，求小球的落地點到C點的距離。

【典例2】 為了研究過山車的原理，某物理小組提出了下列的設想：取一個與水平方向夾角為θ＝60°，長為L₁＝2√3m的傾斜軌道AB，通過微小圓弧與長為L₂＝√3/2 m的水平軌道BC 相連，然後在C 處設計一個豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道D，如圖所示。現将一個小球從距A 點高為h ＝0.9 m 的水平台面上以一定的初速度v₀ 水平彈出，到A 點時速度方向恰沿AB 方向，并沿傾斜軌道滑下。已知小球與AB和BC 間的動摩擦因數均為μ＝√3/3。g取10 m/s²，求：

(1) 小球初速度v₀的大小；

(2) 小球滑過C點時的速率v_C；

(3) 要使小球不離開軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應該滿足什麼條件。

2. 輕杆模型

【典例3】如圖甲所示，輕杆一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面内做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，杆與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F－v²圖象如圖乙所示，則( )

【典例4】如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道内做圓周運動，内側壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法正确的是( )

A. 小球通過最高點時的最小速度 v_min＝√g(R r)

B. 小球通過最高點時的最小速度v_min＝0

C. 小球在水平線ab以下的管道中運動時，内側管壁對小球一定無作用力

D. 小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力

【針對訓練】

1. 如圖所示，質量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學拿着該盒子在豎直平面内做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，則( )

A．在最高點小球的速度水平，小球既不超重也不失重

B．小球經過與圓心等高的位置時，處于超重狀态

C．盒子在最低點時對小球彈力大小等于2mg，方向向上

D．該盒子做勻速圓周運動的周期一定等于2πg√R/g

2.(多選)如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r ＝0.4 m，最低點處有一小球(半徑比r小很多)，現給小球一水平向右的初速度v₀，則要使小球不脫離圓軌道運動，v₀ 應當滿足(g ＝10 m/s² )( )

3.(多選)如圖所示，長為l的細繩一端固定在O點，另一端拴住一個小球，在O點的正下方與O點相距 1/2 的地方有一枚與豎直平面垂直的釘子；把小球拉起使細繩在水平方向伸直，由靜止開始釋放，當細繩碰到釘子的瞬間，下列說法正确的是( )

A．小球的線速度不發生突變 B．小球的角速度不發生突變

C．小球的向心加速度突然增大到原來的2倍 D．繩子對小球的拉力突然增大到原來的2倍

4.在質量為M的電動機飛輪上，固定着一個質量為m的重物，重物到轉軸的距離為r，如圖所示。為了使電動機不從地面上跳起，電動機飛輪的轉動角速度不能超過( )

5.用長L ＝ 0.6 m的繩系着裝有m ＝ 0.5 kg水的小桶，在豎直平面内做圓周運動，成為“水流星”。G ＝10 m/s²。求：

(1) 最高點水不流出的最小速度為多少？

(2) 若過最高點時速度為3 m/s，此時水對桶底的壓力多大？

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