因式分解中十字相乘法詳解過程?十字相乘法是運用完全平方公式不能因式分解時需要優先考慮的又一種基本方法，其依據是根據由乘法恒等式——，下面我們就來聊聊關于因式分解中十字相乘法詳解過程?接下來我們就一起去了解一下吧!

因式分解中十字相乘法詳解過程

十字相乘法是運用完全平方公式不能因式分解時需要優先考慮的又一種基本方法，其依據是根據由乘法恒等式——

(x a)(x b)=x^² (a b)x ab

演變過來的公式——

x^² (a b)x ab=(x a)(x b)．

從某種意義上來說，十字相乘法也是運用公式法，它是針對二次項系數為1的二次三項式x^² px q進行分解的第三種基本方法．運用這種方法的思路是尋找兩個數a，b，使得它們的積ab等于常數項q，和等于一次項系數p．一旦找到了這樣的兩個數，那麼就可以把多項式x^² px q分解為(x a)(x b)．

例如，分解x^² 10x 16因式時，由于它是二次三項式，所以我們首先想到的是能否運用完全平方公式？經過驗證可知這種方法是不能的，因此考慮十字相乘法，尋找兩個數，使得它們的積等于16，且和等于10．要尋找這樣的兩個數，我們一般隻需要先考慮正整數就可以．

由于乘積等于16的兩個正整數隻有1和16，2和8，4和4這三組，所以接下來隻需要驗證哪一組的和等于10即可．顯然，在這三組數中，隻有2 8=10，所以2和8就是我們尋找的兩個數．

因此，x^² 10x 16可分解為(x 2)(x 8)．

為什麼把這種因式分解的方法叫做十字相乘法呢？這是因為在尋找這樣兩個數時，為了方便與直觀，我們一般通過畫如下簡易的交叉“十字”圖，把二次項x^²分解為x乘以x，把常數項16分解為所有可能兩個整數的相乘，然後再尋找和等于一次項系數10的一組．由于這個“十字圖”的緣故才把這種因式分解的方法叫做十字相乘法．

例如，用十字相乘法分解x^² 7x-18因式時，通過畫“十字圖”可以較快地找到我們想找的兩個數．

由于常數項是負數，所以分解為乘積的兩個整數是一正、一負，驗證一次項系數時要注意符号．經過幾次嘗試與驗證，我們尋找的兩個數是9和-2.

所以x^² 7x-18=(x 9)(x-2)．

再如，因式分解：x^²-18x 56．

見到常數項56，我們馬上想到的是“七八五十六”，由于一次項系數是負數，于是自然會想到乘積等于56的兩數是-7和-8,．但是，-7與-8的和是-15，不等于一次項系數-18，告這一方案失敗．

再對乘積等于56的兩個數繼續嘗試，一定會找到-4和-14，滿足乘積等于56，和等于-18，

所以x^²-18x 56=(x-4)(x-14).

顯然，運用十字相乘法進行多項式x^² px q因式分解的關鍵是找到兩個數a與b，使得a b=p，ab=q．而能否快速找到這兩個數，雖然是“三分靠運氣”，但大多還是靠實力，經過不斷嘗試總能成功的．

運用十字相乘法因式分解時需要注意以下幾點：

（1）上述方法針對的是二次項系數為1的二次三項式，如果二次項系數不是1，其分解思路也是一樣的．

比如，因式分解：3x^²-7x-6．

把3x^²分解為x與3x的積，-6分解為1與-6，-1與6，2與-3，-2與3，然後驗證交叉乘積的和是否等于一次項-7x?

易知，在這些方案中，隻有x·2 3x·(-3)=-7x，

然後把同行的x與-3相加，得(x-3)，3x與2相加，得(3x 2)，再把(x-3)與(3x 2)相乘即可．即：

3x^²-7x-6=(x-3)(3x 2)．

（2）二次項帶負号“-”時，先提取負号“-”再分解．

例如，因式分解：-x^² 3x-2．

解：原式=-(x^²-3x 2)

=-(x-1)(x-2)．

（3）如果多項式有公因式仍然需要先提取．

例如，分解因式：3ax^³-39ax^²x-42ax．

解：原式=3ax(x^²-13x-14)

=3ax(x-14)(x 1).

（4）别忘了完全平方公式．

對于二次三項式的分解因式，不要因為有了十字相乘法而忘了完全平方公式．

例如，分解因式：x^²-6x 9．

解析：該多項式滿足完全平方公式條件，可用公式法直接得到：

原式=(x-3)^²．

如果用十字相乘法，則容易寫成(x-3)(x-3)，此時應再化為(x-3)^²，否則就不夠完美了．

（5）要有整體思想的意識．

例如，因式分解：(a-b)^² 5(a-b)-50.

解析：把(a-b)作為整體，則易得：

原式=(a-b 10)(a-b-5)．

（6）雙字母的二次三項式仍可運用十字相乘法．

例如，分解因式：x^²-3xy-4y^²．

解析：視y為1，分解x^²-3x-4=(x-4)(x 1)，然後将因式中的-4，1作為原式分解因式中y的系數，得：

原式=(x-4y)(x y).

（7）分解後因式要計算、化簡與整理，之後能繼續分解的要繼續分解．

例如，分解因式：(2x 3)^²-12(2x 3) 35.

解析：把2x 3作為整體，用十字相乘法分解後會出現2x 3與35分解出來的數相加減，此時需要計算化簡，整理後還要看看能否繼續分解？

原式=[(2x 3)-5][(2x 3)-7]

=(2x-2)(2x-4)

=4(x-1)(x-2).

（8）運用十字相乘法分解後仍然需要再考慮每個因式是否能繼續分解？

例如，分解因式：x^⁴ 5x^²-6.

解析：把x^²作為整體，原式可視為關于x^²的二次三項式，運用十字相乘法分解後，每個因式都是二次式，應再考慮能否繼續分解？

原式=(x^²)^² 5x^²-6

=(x^²-1)(x^² 6)

=(x 1)(x-1)(x^² 6)．

（9）有時需要先計算再分解．

例如，分解因式：(x-1)^²-3(x 1)-4.

解析：如果不先計算、化簡，顯然是無法分解的．因此，隻能是先計算，再看看能用什麼方法分解？

原式= x^²-2x 1-3x-3-4

= x^²-5x-6

=(x-6)(x 1)．

練習：把下列多項式因式分解：

（1）x^²-12x 32．

（2）4m³ 12mn 8mn^².

（3）x^⁴ 2x^²-3．

（4）(x-1) ^² 4(1-x) 3.

（5）a^⁴-5a^² 4.

（6）(a 1)^²-4(a-1)-8.

（未完待續）

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