上方超級數學建模可加關注

傳播數學幹貨，學會理性的方式去思考問題

上一期還沒介紹完說好的16篇就斷了，今天勢必介紹完再睡

7.集合論

對中學生讀者來說，也許這是全書中最新穎的一篇。 集合可以分為有限集與無限集， 而我們通常所熟悉的自然數集隻是最簡單的一個無限集，即所謂的“可數的無限集”。 德國數學家康托爾發現，還存在“不可數的無限集”， 比如實數集。這裡一個基本的概念是集合的勢， 它是集合大小的度量，并允許我們比較任意兩個集合的大小。 比如，我們說實數集比自然數集大，就是在下述意義下： 實數集的勢大于自然數集的勢。 在這裡，康托爾提出了著名的連續統問題：是否存在一個集合， 其勢比自然數集大，但比實數集小？這後來被希爾伯特列為著名的23個數學問題之首， 最終在1963年被科恩(P. J.Cohen)解決，答案是：在通常的 Z‐F 公理體系内，其真僞不能判定。

8.幾個組合學的問題

9.華林問題

這是數論中有名的問題，對此已有許多優秀的通俗文章， 特别的，我們在此特别推薦筆者與北京交通大學博士生鄭豪合寫的文章。托普利茲與拉德梅徹在書中詳細證明了著名的拉格朗日定理：每個正整數都可以寫成四個自然數的平方和。

10.封閉自交曲線

11.數的素因子分解是否唯一？

算術（數論）一直是本書的一個主題，算術的基本定理斷言：每個大于1的正整數可以唯一分解為素數的乘積。例如

12.四色問題

13.正多面體

這一篇用前一篇歐拉關于多面體的公式

14.勾股弦數與費馬定理

也許最能簡要體現出數與形之間的和諧關系的，當屬勾股定理（國外稱畢達哥拉斯定理）：一個直角三角形的勾股弦三邊長滿足 。根據勾股定理的逆，滿足的三個正數構成一個直角三角形的勾股弦。滿足的三個正整數稱為勾股弦數（國外稱畢達哥拉斯三元數組）。古巴比倫數學家求出了所有的勾股弦數。

作者介紹了這一解法，并介紹了費馬對

所作的不存在正整數解的著名論斷（Fermat 最後定理， 1994年被英國數學家懷爾斯證明）。 作者介紹了費馬對

無窮下降法是基于這樣的想法：在自然數的有限集合中，不可能存在一個遞減的無限序列。一個通俗的說法是：如果你銀行卡上的錢是有限的，而且每天至少花掉一塊錢但永遠沒有存入，那麼存款遲早是要花完的。

15.算術與幾何平均定理

16.有限點集的生成圓

這一篇與華林問題那一篇是筆者最喜歡的。本篇的結果歸功于德國數學家 Heinrich Jung，在最簡單的情況（平面情形），它斷言：給定平面上一個有限點集（更一般的，對緊集也成立），如果該點集中兩點之間的距離最大值為d（稱為該集合的直徑），那麼存在一個半徑為

17.用有理數逼近無理數

18.以連杆裝置産生直線運動

19.完全數

20.素數無窮的歐拉證法

歐拉對素數序列的無窮性給出了一個高明的分析證法。他隻用到三個事實：

第一，算術基本定理；

第二，等比數列的無窮和公式（可以認為阿基米德已經了解這一結果）：

第三，調和級數

是發散的。 後一事實已經為歐拉的前輩雅各布·伯努利（JacobBernoulli）所知。

有鑒于這個證明的簡潔優美，我們這裡用現代記号複述一遍。

假定隻存在有限多個素數

這就與調和級數發散的結論矛盾！當然，這裡我們跳過了一些涉及無窮和的微妙細節，不過本質上這就是歐拉的思路。為避開無窮和對中學生可能引起的困難，隻要考慮有限的部分和即可。

上述這個證明的要點在于，通過算術基本定理， 将求和與連乘積聯系起來。事實上，這個想法可以給出著名的歐拉乘積公式：

由此可以看到左邊的級數（黎曼

21.極值問題的基本原理

這一篇強調了某些最大值問題可以有更簡單的解法， 但因為作者在全書中都沒有提到函數的概念，所以 他們并沒有指出這樣一個一般的原理。 現在的中學生早已接觸函數的概念，所以我們不妨在這裡稍作補充。

事實上，在許多極值問題的背後，隐藏着一個凸（凹）函數，于是，極值問題的求解成了著名的 Jensen 不等式的直接應用。對此我們稍作展開。

區間

其幾何含義是，函數的圖像始終落在圖像上兩點連線的下方。類似的，如果函數的圖像始終落在圖像上兩點連線的下方，即滿足反向的不等式，則稱為凹函數。例如，不難驗證

對于凸函數，丹麥數學家 J.Jensen 在 1906 年發現了一個重要的不等式：

Jensen 不等式：設是

如果是上的凹函數，則相反的不等式成立。

現在根據 Jensen 不等式，不難推出，對于

這個不等式就是“圓的所有内接n邊形中，以正n邊形的面積最大”這一幾何事實的解析表達。

Jensen 不等式應用具體的凸（凹）函數可推導出許多著名的不等式， 例如第15篇的算術‐幾何均值不等式。

22.定周長之圖形的最大面積

這是著名的等周問題，因為作者考慮到本書是為高中生程度的讀者寫的，所以僅僅滿足于證明： 在所有給定周長的平面圖形中，如果存在一個面積最大的圖形，那麼該圖形必定是圓。于是整個問題歸結為證明最大值的存在性， 要說清楚這一點勢必超出了中學生的理解水平， 因而作者隻是點到為止（這在更高的水平上可以得到滿意的處理）。\

23.循環小數

我們知道，分數可以化成有限小數或無限循環小數。 問題是：什麼樣的分數對應着有限小數； 而對于可以化成無限循環小數的分數，其循環節的長度是多少？對這些問題的回答，

需要用到初等數論。 作者在這一篇推導出著名的費馬小定理以及歐拉的推廣。

24.圓的特征性質

25.固定寬度的曲線

26.圓規在幾何作圖中之不可缺少性

這一節講述了意大利數學家馬歇羅尼（Mascheroni）的一個著名結果：用直尺和圓規作出的圖，隻需用圓規就可以作出。作者介紹了這個抽象結果的證明，不過有點遺憾的是，他們沒有提供一個具體的例子。也許一個合适的例子是：僅用圓規将一個圓周四等分，據說這個例子就是馬歇羅尼本人所解決的。我們留給有興趣的讀者。

27.數 30 的一個性質

28.一個改進的不等式

結語

我們以當代著名數學家蓋伊（R. K.Guy）發表于30年前的《數學情報員》（MathematicalIntelligencer）的一篇題為《你是多好的數學工作者？》的文章中的一段話結束本文：

你是否讀過并鼓勵其他人讀過這些書，比如 Courant 和 Robbins 的《數學是什麼》， Steinhaus 的《數學萬花筒》（Mathematical Snapshots）; Rademacher 和 Toeplitz 的《數學欣賞》，Berlekamp,Conway 和 Guy 的《穩操勝券》（Winning Ways for yourMathematical Plays）， Rouse Ball 的《數學遊戲與欣賞》（Mathematical Recreations Essays）， Martin Gardner 的著作，Dolciani 叢書，以及 the New Mathematical Library？ 你是否曾将這些書作為禮物或獎品贈予對它們可能有興趣的中學生或大學生？

via：林開亮老師(西北農林科技大學)

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