纏綿之結,這是一個3.6米高的雪雕,建于科羅拉多州的布雷肯裡奇,這裡有一個扭轉了3次的莫比烏斯環。就這個環本身來說,我們并不關注它的形狀,對于數學家來說,莫比烏斯環與橡皮筋并沒有本質上的區别,都不過是一個環罷了,我們也不去關注它的橫截面,或者是看它有沒有翻折過,我們隻關注環的中軸線,因為中軸線定義了這個結的本質。
讓我們找來兩個三葉結看一下,很明顯可以看出其中一個是莫比烏斯環而另一個不是。那麼我們首先來搞清這個三葉結是否翻轉過,我們從這個大圈上方,朝向前方的這一面開始,然後我慢慢将我的手指滑下來,到達這隻腳的下方,我的手指現在來到了前沿,再過來繼續靠着這隻腳的上方移動,再繼續前進就回到了開始的地方,仍然在同一面,所以這個三葉結是有兩個面的,我們可以将一面塗成綠色,然後把另一面塗成紅色。現在我們來将它和另一個莫比烏斯環對比一下,我現在仍然從同一點出發,仍然在面朝前方的這一面,最後我的手來到了背面,也就是來到了另一面,如果我繼續移動手指,還是從這裡滑下去,最後終于回到了原始點,但是我要繞這個圈兩次才行,所以這是個莫比烏斯環。而且在我繞圈的過程中會将所有的地方都塗成綠色,我無法在顔料不混在一起的情況下将兩面塗成不同顔色,這就是我要說的重點,這也就是莫比烏斯三葉結的概念。
現在我們拿出一個形狀有些不同的模型,這個模型還挺像三葉結的,不過它在一開始橫截面大緻是長方形的。現在我們将中間镂空,将這個結切開,而因為它是一個莫比烏斯環,當我這麼做的時候,我得到的這個結實際上并沒有完全分開,這就是為什麼他們給雕塑命名為纏綿之結。這就像是一個過山車一樣,如果你從這個大圈的這一面開始,然後你沿着軌道行進了一整圈,當你第一次回到高處的時候,你已經到了另一面,這樣你就必須再沿着過山車的軌道,在完整的繞上一圈,才能回到原來的位置,所以本質上,這不過是一根自我糾纏繞在一起的線罷了。當它是完整的,橫截面沒有被镂空時,它隻是個簡單的三葉結,現在它就變成了一個複雜得多的結,這個東西有多少交叉點呢?
這實際上沒那麼容易看出來,但令我驚訝的是,在MSRI,有個7歲左右的小孩,當我給他看這個結,幾秒内他就告訴我:12個。他意識到,原來的三葉結中的每一個交叉點,在新的結中已被切割開,變成了四個交叉點。我們得到了這樣的一種結構,所以這個孩子确實是對的,現在我們就有了3*4個交叉點,也就是12個交叉點的結,因此它在紐結列表中排在非常靠後的位置。在列表的這個位置有上千種不同的紐結,而這個紐結隻是其中一種,那麼過山車軌道是紐結嗎?
它們其中一部分是的,因為紐結式軌道會非常好玩,很多軌道擁有8字形的結構,并且是沿着環形循環的,于是你就得穿梭于這些8字型中間。如果你經過并回到8字型中央好幾次的話很有可能這個軌道就打了結。事實上你可以在網絡上搜索到,很多看起來很複雜的紐結,比如當你搜索複雜的平凡結時,你會搜到很多真正的紐結的玩意,但實際上它們并不是。,
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