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星三角分析

圖文更新时间:2025-02-28 15:19:31

纏綿之結，這是一個3.6米高的雪雕，建于科羅拉多州的布雷肯裡奇，這裡有一個扭轉了3次的莫比烏斯環。就這個環本身來說，我們并不關注它的形狀，對于數學家來說，莫比烏斯環與橡皮筋并沒有本質上的區别，都不過是一個環罷了，我們也不去關注它的橫截面，或者是看它有沒有翻折過，我們隻關注環的中軸線，因為中軸線定義了這個結的本質。

星三角分析（數學家為你揭秘解釋莫比烏斯環的神秘面紗）1

讓我們找來兩個三葉結看一下，很明顯可以看出其中一個是莫比烏斯環而另一個不是。那麼我們首先來搞清這個三葉結是否翻轉過，我們從這個大圈上方，朝向前方的這一面開始，然後我慢慢将我的手指滑下來，到達這隻腳的下方，我的手指現在來到了前沿，再過來繼續靠着這隻腳的上方移動，再繼續前進就回到了開始的地方，仍然在同一面，所以這個三葉結是有兩個面的，我們可以将一面塗成綠色，然後把另一面塗成紅色。現在我們來将它和另一個莫比烏斯環對比一下，我現在仍然從同一點出發，仍然在面朝前方的這一面，最後我的手來到了背面，也就是來到了另一面，如果我繼續移動手指，還是從這裡滑下去，最後終于回到了原始點，但是我要繞這個圈兩次才行，所以這是個莫比烏斯環。而且在我繞圈的過程中會将所有的地方都塗成綠色，我無法在顔料不混在一起的情況下将兩面塗成不同顔色，這就是我要說的重點，這也就是莫比烏斯三葉結的概念。

星三角分析（數學家為你揭秘解釋莫比烏斯環的神秘面紗）2

現在我們拿出一個形狀有些不同的模型，這個模型還挺像三葉結的，不過它在一開始橫截面大緻是長方形的。現在我們将中間镂空，将這個結切開，而因為它是一個莫比烏斯環，當我這麼做的時候，我得到的這個結實際上并沒有完全分開，這就是為什麼他們給雕塑命名為纏綿之結。這就像是一個過山車一樣，如果你從這個大圈的這一面開始，然後你沿着軌道行進了一整圈，當你第一次回到高處的時候，你已經到了另一面，這樣你就必須再沿着過山車的軌道，在完整的繞上一圈，才能回到原來的位置，所以本質上，這不過是一根自我糾纏繞在一起的線罷了。當它是完整的，橫截面沒有被镂空時，它隻是個簡單的三葉結，現在它就變成了一個複雜得多的結，這個東西有多少交叉點呢？

星三角分析（數學家為你揭秘解釋莫比烏斯環的神秘面紗）3

這實際上沒那麼容易看出來，但令我驚訝的是，在MSRI，有個7歲左右的小孩，當我給他看這個結，幾秒内他就告訴我：12個。他意識到，原來的三葉結中的每一個交叉點，在新的結中已被切割開，變成了四個交叉點。我們得到了這樣的一種結構，所以這個孩子确實是對的，現在我們就有了3*4個交叉點，也就是12個交叉點的結，因此它在紐結列表中排在非常靠後的位置。在列表的這個位置有上千種不同的紐結，而這個紐結隻是其中一種，那麼過山車軌道是紐結嗎？

星三角分析（數學家為你揭秘解釋莫比烏斯環的神秘面紗）4

它們其中一部分是的，因為紐結式軌道會非常好玩，很多軌道擁有8字形的結構，并且是沿着環形循環的，于是你就得穿梭于這些8字型中間。如果你經過并回到8字型中央好幾次的話很有可能這個軌道就打了結。事實上你可以在網絡上搜索到，很多看起來很複雜的紐結，比如當你搜索複雜的平凡結時，你會搜到很多真正的紐結的玩意，但實際上它們并不是。

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