不著一字，盡得風流。從畢達哥拉斯的數形圖、趙爽弦圖，到1977年美國發射的旨在尋覓茫茫太空中地球外文明的太空船上所攜帶的禮物，一幅幅看似簡單的圖形，卻承載着豐富的信息。

阿貝爾，挪威數學家，在很多數學領域做出了開創性的工作。阿貝爾被視為挪威民族英雄，挪威皇宮有其一尊雕像，這是一個大無畏的青年形象。

阿貝爾從下面圖形中得到應用廣泛的阿貝爾恒等式。

拼圖（或分割圖形），即把所給圖形以不同方式拼成新的圖形。把圖形面積用不同形式的代數式表示，若拼圖前後圖形面積相等，則相應代數式的值也相等。

拼圖形象地揭示了代數式的關系，展示了數與形的聯系，其直觀作用體現為：驗證代數等式、不等式、證明幾何定理。

無言的圖形，形象的直觀，創造的源泉。著名數學家阿達瑪寫道："在創造階段，科學家的思維載體往往是各種各樣的，因人因事而異的符号、圖标或其他形象，亦即此時的思維方式是形象的和直覺的，而不是邏輯的。"

1824年，22歲的挪威數學天才阿貝爾（1802一1829）證明了一般的五次及五次以上的一元方程不可能有根式解，終結了近300年的疑問。

根據幾何圖形的排列規律和構成特點，并結合圖形的性質，構造方程組解拼圖問題。 他也是橢圓函數領域的開拓者，阿貝爾函數的發現者。盡管阿貝爾成就極高，卻在生前沒有得到認可，他的生活非常貧困，去世時隻有27歲。我們可體會華羅庚常說的"數無形時少直觀，形少數時難入微"的要義。

衆所周知，諾貝爾是沒有數學獎的。很長時間以來，大家最熟悉的權威數學獎項可能是菲爾茨獎（Fields Medal），四年一次，用以表彰四十歲以下的傑出數學家。但其實，以挪威數學家 Niels Henrik Abel 命名的阿貝爾獎（Abel prize）與諾貝爾獎更接近，它每年評選一次，以獎勵為數學界作出卓著貢獻的開拓者。今年的阿貝爾獎表彰了兩位領路人——Hillel Furstenberg （左）和 Gregory Margulis （右）。

"算兩次"就是把同一個量用兩種不同的方法表示出來，即将一個量算兩次，為了得到一個方程，須把同一個量以兩種不同的方法表示出來；對同一圖形，從不同角度計算面積可推得， "算兩次"原理也稱"富比尼"（G.Fbini）原理。

波利亞在其論著中多次提到"你能用不同方法推導出結果嗎？""試着換一個角度探索下去……"。這都屬于"算兩次"的原理。另外，更廣義上講，"算兩次"也是對同一個問題，用兩種及其以上的方法解答出來，即對同一問題解兩次，得到相同的結果，體現為殊途同歸，一題多解。

橫看或豎看，從局部到整體，"算兩次"方法在檢驗計算結果、布列方程、推導代數等式、幾何證明等方面應用廣泛。

1998年第23屆國際數學家大會在德國的柏林召開，右圖是德國郵政發行的紀念郵票，郵票的主圖是"矩形求方"問題的一種解法，襯底圖案和正紙上都是無理數π的小數形式.

1923年，有人提出如下問題：一個矩形能否被分割成一些大小不等的正方形？

1925年，數學家莫倫首先成功把一個33×32的矩形分割成9個小正方形（稱9階），這種矩形稱為"完美矩形"。

1938年，劍橋大學的四位大學生也開始研究這類問題，他們把"完美矩形"與電路網絡中的基爾霍夫定律聯系起來，并借助于圖論方法尋找，奠定了這個問題研究的理論基礎.

"完美矩形"的存在，誘發人們去尋找完美正方形，1978年，荷蘭數學家杜依維斯廷利用計算機找到21階的完美正方形，并證明了：低于21階的完美正方形并不存在。

1982年，杜伊維斯廷證明了：不存在低于24階的混完美正方形。

1992年，布卡姆和杜伊維斯廷給出了21~25階全部207個純完美正方形。

至此，完美正方形的研究告一個段落，但是數學的研究依舊在繼續……

1．（甯波中考題）如圖，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個正方形和2個長方形後仍是中心對稱圖形．若隻知道原住房平面圖長方形的周長，則分割後不用測量就能知道周長的圖形的标号為（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【解析】：如圖1，設圖形①的長和寬分别是a、c，圖形②的邊長是b，圖形③的邊長是d，原來大長方形的周長是l，

則l＝2（a 2b c），

根據圖示，可得a＝b d，(1); b＝c d,(2)；

（1）﹣（2），可得：a﹣b＝b﹣c，∴2b＝a c，

∴l＝2（a 2b c）＝2×2（a c）＝4（a c），或l＝2（a 2b c）＝2×4b＝8b，

∴2（a c）＝1/2，4b＝1/2，

∵圖形①的周長是2（a c），圖形②的周長是4b，1/2的值一定，

∴圖形①②的周長是定值，不用測量就能知道，圖形③的周長不用測量無法知道．∴分割後不用測量就能知道周長的圖形的标号為①②．故選：A．

變式1.如圖，一塊呈平行四邊形的菜地，被分割成3個菱形和2個平行四邊形後仍是中心對稱圖形．若隻知道原平行四邊形菜地的周長，則不用測量就能知道分割後的圖形的周長的圖形标号為（　　）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③

【解析】如圖1，設圖形②的長和寬分别是a、c，圖形③的邊長是b，圖形①的邊長是d，原來大平行四邊形的周長是l，則l＝2（a 2b c），

根據圖示，可得a＝b d，(1); b＝c d,(2)；

①﹣②，可得：a﹣b＝b﹣c，∴2b＝a c，

∴l＝2（a 2b c）＝2×2（a c）＝4（a c），或l＝2（a 2b c）＝2×4b＝8b，

∴2（a c）＝1/2，4b＝1/2，

∵圖形②的周長是2（a c），圖形③的周長是4b，1/2的值一定，

∴圖形③②的周長是定值，不用測量就能知道，圖形①的周長不用測量無法知道．

∴分割後不用測量就能知道周長的圖形的标号為③②．故選：C．

變式1．（2019秋•鄞州區期末）如圖，大長方形被分割成4個标号分别為（1）（2）（3）（4）的小正方形和5個小長方形，其中标号為（5）的小長方形的周長為a，則大長方形的周長為（　　）

A．3a B．4a C．5a D．6a

【解析】：設标号為（5）的小長方形長為y，寬為x，

∵（1）（2）（3）（4）的小正方形，

∴（1）（2）的邊長均為x，（3）（4）的邊長均為y，

∴大長方形的邊長可表示為2x y，2y x，

∴周長為2（2x y 2y x）＝6（x y），

∵（5）的小長方形的周長為a，∴2（x y）＝a，

∴6（x y）＝3a，故選：A．

變式2．（2019春•西湖區校級月考）一個大長方形按如圖方式分割成十二個小長方形，且隻有标為A，B，C，D的四個小長方形為正方形，在滿足條件的所有分割中，若知道十二個小長方形中n個小長方形的周長，就一定能算出這個大長方形的面積，則n的最小值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】：如圖所示：∵A，B，C，D的四個小長方形為正方形，∴A和B的周長相等，C和D的周長相等．

設A的周長為：4a，則A的邊長為a，A和B的周長相等；

設C的周長為：4b，則C的邊長為b，C和D的周長相等；

設E的周長為：2b 2c．故大矩形的邊長分别為：a a b b＝2a 2b，a b c，

故大矩形的面積為：2（a b）（a c），其中a，b，c都為已知數，故n的最小值是3．

故選：B．

變式3．如圖，十三個邊長為正整數的正方形紙片恰好拼成一個大矩形（其中有三個小正方形的邊長已标出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．

【解析】：已有三個小正方形的邊長為x，y，z，我們通過x，y，z表示其餘正方形的邊長依次填在每個正方形中，

它們是x y，x 2y，x 3y，4y，x 7y，2x y，2x y z，4x 4y﹣z，4x 4y﹣2z及5x﹣2y z．

因矩形對邊相等，

所以得11x 3y＝7x 16y﹣z及8x 8y﹣3z＝6x 5y z．

化簡上述的兩個方程得到z＝13y﹣4x，4z＝2x 3y，消去z得18x＝49y．

因為18與49互質，所以x、y的最小自然數解是x＝49，y＝18，此時z＝38．

以x＝49，y＝18，z＝38代入矩形長、寬的表達式11x 3y及8x 8y﹣3z，

得長、寬分别為593和422．

此時得最小面積值是593×422＝250246．

3．（2019秋•吳興區期末）将大小不一的正方形紙片①、②、③、④放置在如圖所示的長方形ABCD内（相同紙片之間不重疊），其中AB＝a．小明發現：通過邊長的平移和轉化，陰影部分⑤的周長與正方形①的邊長有關．

（1）根據小明的發現，用代數式表示陰影部分⑥的周長．

（2）陰影部分⑥與陰影部分⑤的周長之差與正方形______（填編号）的邊長有關，請計算說明．

【解析】：（1）陰影部分⑥的周長＝2AB＝2a．

（2）設②的邊長是m．∴陰影部分⑤的周長是2（a﹣m），

∴陰影部分⑥﹣陰影部分⑤＝2a﹣2（a﹣m）＝2m．故答案為②．

變式1．已知7張如圖1所示的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD内，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S．設BC＝t

（1）用a、b、t的代數式表示S

（2）當BC的長度變化時，如果S始終保持不變，則a、b應滿足的關系是什麼？

（3）在（2）的條件下，用這7張長為a，寬為b的矩形紙片，再加上x張邊長為a的正方形紙片，y張邊長為b的正方形紙片（x，y都是正整數），拼成一個大的正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），則當x y的值最小時，求拼成的大的正方形的邊長為多少（用含b的代數式表示）？并求出此時的x、y的值．

【解析】：（1）左上角陰影部分的長為AE＝t﹣a，寬為AF＝3b，右下角陰影部分的長為PC＝t﹣4b，寬為a，

∴陰影部分面積之差S＝AE•AF﹣PC•BF＝3b（t﹣a）﹣a（t﹣4b）＝3bt﹣at ab；

（2）∵BC是變化的，S始終保持不變，

∴S＝t（3b﹣a） ab，3b﹣a＝0，a＝3b；

（3）由題意得：拼成一個大的正方形的面積＝7ab a2x b2y，

由（2）知：a＝3b，

則當x y的值最小時，拼成的大的正方形的邊長為7b，此時的x為3，y為1．

變式2．（新疆中考題）張師傅在鋪地闆時發現，用8塊大小一樣的長方形瓷磚恰好可以拼成一個大的長方形，如圖1．然後，他用這8塊瓷磚又拼出一個正方形，如圖2，中間恰好空出一個邊長為1的小正方形（陰影部分），假設長方形的長y，寬為x，且y＞x．

（1）請你求出圖1中y與x的函數關系式；

（2）求出圖2中y與x的函數關系式；

（3）在圖3中作出兩個函數的圖象，寫出交點坐标，并解釋交點坐标的實際意義；

（4）根據以上讨論完成下表，觀察x與y的關系，回答：如果給你任意8個相同的長方形，你能否拼成類似圖1和圖2的圖形？說出你的理由．

∴2x﹣y＝﹣1不成立，∴2x﹣y＝1，即y＝2x﹣1；

（3）交點坐标（3，5），實際意義解答不唯一

例①：瓷磚的長為5，寬為3時，能圍成圖1，圖2的圖形；

例②：當瓷磚長為5，寬為3時，圍成圖2的正方形中的小正方形邊長為1．

4．（2019秋•宿豫區期末）閱讀：将一個量用兩種方法分别計算一次，由結果相同構造等式解決問題，這種思維方法稱為"算兩次"原理，又稱"富比尼原理"，比如我們常用的等積法是其中的一種．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E是CD的中點，動點P從點A出發，以每秒1cm的速度

數與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關的代數三角問題；而某些幾何問題也往往可以通過數量的結構特征用代數的方法去解決。因此數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

①"由形化數"：就是借助所給的圖形，仔細觀察研究，提示出圖形中蘊含的數量關系，反映幾何圖形内在的屬性。

②"由數化形" ：就是根據題設條件正确繪制相應的圖形，使圖形能充分反映出它們相應的數量關系，提示出數與式的本質特征。

③"數形轉換" ：就是根據"數"與"形"既對立，又統一的特征，觀察圖形的形狀，分析數與式的結構，引起聯想，适時将它們相互轉換，化抽象為直觀并提示隐含的數量關系。

其間我們應充分考慮是否需要借助分類思想整體代換方式的簡化應用，以此正确完滿求解問題。

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