讀後感：這本書實在太有趣，這數學實在太美麗

書中摘記：

第一部分 形　狀1 奇妙的羅馬花椰菜2 測量海岸線的長度3 有趣和有效的肥皂泡4 波洛克的畫裡有數學嗎5 科赫雪花6 你生活在第四維空間嗎7 造出更好的傳送帶8 鞋帶與DNA的數學聯系9 地鐵線路圖遺漏了什麼10 日本折紙藝術11 繩結背後的數學12 自行車齒輪為什麼大小不同13 雨滴與淚珠的形狀是不同的14 交通标志為什麼有不同的形狀15 五角大樓為什麼是五角形16 三角形17 井蓋為什麼是圓的18 樂高積木19 會飛的四邊形20 疱疹和食鹽有什麼共同點21 高爾夫球表面為什麼有凹痕22 高斯與比薩23 短程線穹頂24 數學幻想小說25 足球不隻是一個球26 魯比克魔方——玩具還是數學奇迹27 紙張尺寸28 用地圖描繪地球的不同方式29 M＆M巧克力豆30 七巧闆31 天鵝絨繩的數學問題32 吊橋是如何承重的第二部分 行　為33 公交車為什麼成群出現34 讓你在賭場不再輸錢35 怎樣讓電影赢得奧斯卡獎36 如何不被雨淋37 最快的結賬排隊法38 怎樣準備圖靈測試39 六分儀40 分攤房租41 公平切蛋糕42 讓包裹配送更高效43 算法對互聯網體驗有什麼影響44 解釋蒙提霍爾問題45 抛球雜耍背後的數學46 納什均衡47 椋鳥群背後的數學48 讓堆放井然有序49 法庭中的數學50 40%的降水概率究竟是什麼意思51 基于數學的應試策略52 免疫系統也會做數學53 谷歌翻譯的工作原理54 不要緊跟前車行駛55 巴西果效應56 路多不代表流量少57 一張紙能折多少次58 真的有更好的登機方法第三部分 圖　案59 鋪嵌60 領帶的177 147種打法61 音樂與數學鮮為人知的關聯62 圍棋63 棋盤與麥子64 漢諾塔65 鴿巢原理66 迷宮67 解開數獨需要幾條線索68 梵高畫裡的數學圖案69 穿過一個房間堪稱數學壯舉70 信息論71 社交媒體的嫉妒72 錄音如何變成數字音樂文件73 一張地圖需要幾種顔色74 數學創造了孩子最喜歡的電影75 糖果消消樂76 你是否呼吸過恺撒的最後一口氣77 計算機的工作原理78 同一天生日的概率79 教堂鐘與數學80 貝葉斯統計81 棒球與自責分率82 細菌分裂83 星盤84 休止角第四部分 特殊數字85 讓人大驚小怪的π86 質數87 網絡安全88 無窮性的奇迹和挫敗89 自然中的斐波那契數90 杜威十進分類法91 随機數真的是随機的嗎92 十的次方93 公制單位94 阿秒95 藝術與建築中的黃金比例96 DNA 的黃金比例97 孩子的玩具來畫外次擺線98 尋找外星人的數學原因99 蟬會用數學保護自己的物種嗎100二進制

可以假設蟬每隔6年破土而出，由于6可以被1，2，3和6除盡，生命周期包含這幾個數字的動物将與蟬的生活保持同步，這樣一來，每一代初生的蟬更容易遭到攻擊。

費米悖論

物理學家恩利克·費米（1901—1954年）對地外文明也深感興趣，他提出了所謂的費米悖論。根據費米的計算，目前為止，地外文明應該已經跟人類聯系上了。但現在并沒有，費米不禁問道：“他們都在哪兒呢？”

1961年，搜尋地外文明計劃的創始人之一法蘭克·德雷克博士提出了一個方程式，給出了搜尋能夠發射人類在地球上可以檢測到的信号的地外文明時應當考慮的所有因素。德雷克提出的方程如下：N＝Rfpneflfif其中，N———整個銀河系中，發射人類能檢測到的電磁信号的地外文明總數R———能夠支持智慧生命的恒星形成率fp———能夠支持智慧生命的恒星中，有行星環繞的恒星比例ne———每個恒星周圍能實際支持生命的行星比例fl———能支持生命的行星中，實際有生命的行星比例fi———有生命的行星中，有智慧生命的行星比例fc———發射人類能檢測到的信号的文明所占的比例L———這些文明向太空發射信号的時長在這個例子中，數學語言的使用讓集體的構思有了成果，并且闡明了項目的參數。

尋找外星人的數學原因數學概念：概率此刻，位于舊金山北部的一組巨型望遠鏡正在搜尋太空中地外文明的蹤迹。

玩萬花尺可以讓我們加深對外次擺線、内次擺線和旋輪線的認識。

很多人相信，幾千年來，人們一直在藝術和建築中應用黃金比例。然而，有些數學家提出，沒有證據可以證明這一點，而吉薩金字塔、萬神廟甚至列奧納多·達·芬奇畫裡的黃金比例都隻是傳說。(測量？)

黃金比例是1∶1．618（第二個數字其實是無窮無盡的，而且永不重複，這裡為了方便才取這個近似值。如果在小數點後多加幾位數，它将是1．61803398874989…）。

閃電俠

閃電俠是一個可以以光速奔跑并且能感知持續時間不超過1阿秒的事件的漫畫英雄，當然，這些事件出現的時間不會超過我們一眨眼的工夫。

下面是公制單位目前的前綴表：堯　1024，1000的8次方澤　1021，1000的7次方艾　1018，1000的6次方拍　1015，1000的5次方太　1012，1000的4次方吉　109，1000的3次方兆　106，1000的2次方千　103，1000毫　10－3，1／1000微　10－6，1／106納　10－9，1／109皮　10－12，1／1012飛　10－15，1／1015阿　10－18，1／1018仄　10－21，1／1021幺　10－24，1／1024

阿秒究竟有多短？1阿秒等于1／1000000000000000000秒（10－18秒）

這段時間到底有多短？1阿秒内，光可以走過3個氫原子的距離。理解這段短得驚人的時間的另一種方法是類比：1阿秒之于1秒，相當于1秒之于320億年（接近宇宙年齡的3倍）。

在最基本的層面上，數學研究的是數，其中有的數讓人覺得非常不可思議。例如，人類測量過的最短時間是多少？

其他基本的公制單位還有電流單位安培，熱力溫度單位開爾文，物質數量單位摩爾，以及發光強度單位坎德拉。公制單位最吸引人的一點是，究竟如何定義基本單位。

随機數和

随機數發生器不隻是科學家和數學家的工具。如果你喜歡玩，可以利用幾個生成随機号碼的網站，不過切記，那不一定會讓你中獎。

科學家們轉而靠計算機來生成随機數，但計算機本質上還是确定性機器（它們遵守規則），所以計算機生成的随機數也不是真正随機的。如果某個人把握了計算機挑選數字的算法，知道了它的種子，或者說初始值，理論上，這個人就能預測出生成的數列。這個數列貌似是随機的，但其實并不是。因此，基于計算機的随機數發生器也被稱作僞随機數發生器。

然而，通過利用研究無線電噪音、光子的量子行為、熱放射等物理現象的設備，科學家們又向生成真正的随機數走近了一步。這些現象可以決定各自的随機性，而無須使用人為創造的算法。随着我們越來越依賴互聯網，也越來越依賴随機數，我們需要我們能得到的一切真正的随機數。

需要傳送敏感信息，需要靠生成随機數來建立安全的連接（參見第87章）。當一組數沒有可辨别的規律，無法預測一個數後面的另一個數是什麼時，就是随機數。擲骰子得到的數也是随機的，但由于網上交易量太大，對随機數的需求太多，擲骰子———用帽子抽簽或抽撲克牌———都是行不通的。

醫學測量所使用的數字可以量化我們的健康狀況（如血壓和膽固醇水平），讓我們更實際地了解自己身體難以感知的部分；還有的數字被用于歸類和排列，比如書脊上的數字，它們屬于杜威十進分類法。

蘋果樹的葉序比是2∶5，黑莓樹和榛樹的葉序比是1∶3。

用數學來考察世界，你将發現，自然中到處都蘊藏着斐波那契數。

這個數列的有趣之處在于，數列裡的數變大得相對較快。斐波那契數列的另一個特征更值得注意：令人驚訝的是，自然中似乎也蘊藏着斐波那契數。

有窮論并不是所有的數學家都接受無窮的概念。數學哲學有一個分支被稱為有窮論，它的擁護者堅信，隻有有窮的物體才是真實的，正如數學家利奧波德·克羅内克所說：“上帝隻創造了自然數，其餘都是人做的工作。”

雖然無窮性令人着迷，但和很多與數學相關的概念一樣，它也讓我們覺得困惑和沮喪。

無窮的概念也激發了一些聽起來有些古怪的想法。在19世紀晚期和20世紀初期，數學家喬治·康托爾提出可能存在不同大小的無窮性，自然數（1，2，3，4，…）和實數（包括π，1／3和45．6778765等）都是無窮的，但實數的無窮性大于自然數。對無窮性的思考有助于我們理解其他一些與直覺相反的概念。你可能覺得，1英尺長的線段上的點肯定比無限長的直線上的點少，但其實兩條線上的點都是無窮的。

藝術中也存在無窮。M．C．埃舍爾曾畫過螞蟻沿着一條莫比烏斯帶，在沒有終點的旅程中爬行。在名為《巴别塔圖書館》的短篇小說中，作者豪爾赫·路易斯·博爾赫斯想象那裡有無窮無盡的書，包含了每一種可能的字母和标點組合，收藏着每一本已經出版和将要出版的書。

無窮有時被當成一個可能很大的數，這種理解并不準确。無窮并不是一個數，而是一個概念，表示無限、無盡和無邊，它在數學裡反複出現。我們說，π小數點後的數是無窮的，1除以3的商也是如此。在幾何學中，我們說，一條直線上有無窮個點，直線向兩端無限延展。在數學領域，無窮既是一個“本地人”，又是一個“外來戶”。

比特币是第一種要依賴加密系統的貨币，為了使用你的比特币，你必須有兩個密鑰：一個是公開密鑰，另一個是私人密鑰，就像個人識别碼和用戶密碼。這兩個密鑰在數學上是相互聯系的。(就像QQ賬号和密碼)

目前來看，電子商務以及網上銀行和聯機通信總體上還是安全的，隻希望有哪些數學家能設計出一個更新、更安全的加密系統。

過去幾年裡，一直有謠言稱RSA加密系統并沒有我們想象的那麼安全。這個系統的安全性取決于随機質數的生成，但負責生成随機質數的程序———随機數發生器，好像不一定總能生成完全随機的數字。于是，這個差異就給了黑客可乘之機，讓他們發現兩個質數的相似性，從而盜走敏感信息。

但不要忽略了另外一個數論事實：想要對兩個大質數的乘積進行因式分解是極其困難的。

是什麼阻止網絡大盜攔截和盜取這個号碼的呢？是數學。網絡安全或者說公開密鑰加密的基礎是質數，一種隻能被1和它本身除盡的特殊數。

費馬質數

有些質數甚至更奇怪。例如，費馬質數是具有形式22n＋1的費馬數，目前僅知的費馬質數是n等于0，1，2，3，4時的結果———3，5，17，257和65537。

第一步：我們來造一個數，姑且稱為“喬治”，假設它是所有質數的乘積加上1（不要忘了，我們假定質數是有限的），我們知道，喬治要麼是質數，要麼是質數的乘積，我們可以立馬發現，如果喬治是一個質數，我們已經發現了一個原本沒有的質數———喬治！我們現在可以停下來自豪一下了，因為我們的發現是站得住腳的，不論已經有了多少個質數。

假設是另外一種情況：如果喬治不是一個質數，那麼，它必然是兩個或多個質數的乘積，但是我們已知的質數沒有一個能滿足條件，因為如果把它們相乘，最後總有一個餘數1。因此，必然還有一些質數是我們還沒有發現的，當它們相乘，就能得到喬治。我們再一次發現，對于任何一個質數集合，總會有一些質數不在這個集合内。這隻是證明數學推理的力量和魅力的一個例子而已。

1．首先記住，任何一個數要麼是質數，要麼是若幹質數的乘積。2．其次，我們要用的證明方法是反證法：我們将假定要證明的問題的反面。

質數的有趣之處在于，它們像是其他數的最基本的構成元素，其實，質數有時也被稱作數學的原子，但質數的出現并不符合任何規律。根據基本的運算法則，任何一個比1大的數要麼是質數，要麼是若幹質數的乘積。

有些數是很特别的，其中最特别的要數質數。質數隻能被1和它本身除盡。

對數學極客來說，3月14日是個特殊的日子，這一天是π日，慶祝活動從下午1：59開始（月、日和時刻共同組合成3．14159這個數字），π日是由美國舊金山的科學、藝術和人類曆史實踐博物館探索科學博物館發起的。

我大約是它的2倍高，可是越測量越發現，很難得到一個精确的數字”。這個問題怎麼會沒有一個确切的答案呢？這就是π令人困惑的地方。

被稱作π，它是個希臘字母，但名稱并不重要，就算叫它“弗蘭克”“山姆”或者“弗雷西亞”也無所謂。真正重要的是它在我們的世界裡有多麼常見———每個圓都離不開它，多麼奇怪呀！

這裡說的相同是指比率，或者說比較差異。

這個特征是普遍的，适用于任何時間、任何地點的圓（假定我在這裡說的圓都是平面的）。

食鹽的休止角是32°，其他物料的休止角可能更大，比如樹皮和椰子片的休止角是45°；也可能更小，比如濕黏土的休止角是45°。人們甚至可以利用休止角來計算一堆物料，如沙礫，是不是會崩塌。

下次家庭聚會的時候，試試把鹽從鹽罐裡倒出來吧，告訴其他人你是在做數學實驗！

其實，所有顆粒物料，包括沙子和石塊，都有休止角，甚至是山崩時從山上滾落的巨石。另外，休止角并不是随機的，它每次出現時都不會變化，而是取決于一些因素的組合，包括顆粒的大小、顆粒是光滑的還是有尖突的、顆粒之間是否有水分（可能讓顆粒黏在一起），以及下表面有多粗糙。

你可以在任何地方找到數學，甚至是你的餐桌上，比如在一張紙上倒一堆鹽，它會形成一個錐體，雖然看着不美觀，但也能體現一個數學現象———休止角，即鹽堆表面與桌子的水平面所成的角。

星盤手表戴上一隻星盤手表（網上有賣），讓别人看看你對數學的癡迷吧，不過它可能太小了，一點也不實用！

總而言之，沒有立體投影，就沒有海上導航或者星座命運預測，這一切都是因為數學。

●星盤上還有一個測高儀，幫助觀測者測量天體的高度

●星盤頂部邊緣處還有一個圓環，方便用繩子将它挂起來（輔助計算）。

科學家對細菌是如何複制的了解得越多，就越有助于他們開發出新一代的抗生素。如果你下次生了病能迅速康複的話，可能要感謝數學的功勞！

（通過實驗，科學家了解了這個過程，但尚不清楚具體的步驟）

生物學家費了很大工夫也沒弄清楚細菌複制機制的内在原理，反倒是數學幫助解決了這個問題。

但是，還有一個工具不容忽視，那就是數學，它有助于判斷細菌的生命周期，從而促進人類的健康。

在每個人的生命中，最确定的事要數死亡和納稅，或許除了細菌的存在以外。

自責分是由投手而不是其他運動員的失誤導緻的。

可以看看這名投手赢過多少場比賽。

隻看比賽成敗并不能判斷某個投手的技能。

或許沒有什麼體育項目像棒球那樣與數學有着如此密切的聯系了。統計涉及棒球運動的方方面面，從安全打，到防守，再到投球，沒有基本的數字知識，研究棒球者将寸步難行。可是，人們是怎樣計算這些數字的呢？

貝葉斯推斷的一個經典例子是看太陽升起的新生兒，這名嬰兒每天早上都觀察到太陽升起，所以越來越相信太陽實際上是在早上升起，而且未來的早上也一定會升起。在這個例子中，嬰兒每天的觀察就是不斷更新的信息，最終成為影響嬰兒對未來日出的預期的一個因素。

不過，貝葉斯統計不僅可以幫你計算赢牌的概率，還可以挽救生命。舉個例子，它曾被用來尋找2013年在長島沿海的捕蝦船上落水的漁民約翰·奧爾德裡奇。海岸警衛隊估算了奧爾德裡奇落水最可能的時間，利用搜救優化計劃系統（SAROPS）這個計算機程序分析了風流和洋流，找到了他最可能的位置。

此外，根據貝葉斯統計，随着新信息的不斷出現，應該不斷調整概率。在21點遊戲中，你不應該隻考慮拿到3的概率，或者純粹地分析數據，也要考慮哪些牌已經派出去了以及莊家的牌技，随着新信息的出現，不斷修正概率。

假如你正在玩21點，手裡有一張9和一張K，你可以利用頻次統計來計算自己下一輪湊齊21點的概率。

9月16日

根據美國國家公共廣播電台數據記者馬特·斯蒂爾斯的調查，9月16日是年齡在14～40歲的美國人最常見的生日。他發現，7月和9月是最常見的生日月份，最不常見的生日是2月29日，其次是12月25日。

下次當你身處一大群人中時，不妨調查一下其他人的生日，看看結果怎樣。

但不要忘了，不隻是你在跟其他人對比生日，其他人也在相互對比！

現在，解釋一條常在數學思考中發揮作用的原理：要證明某件事是真的，可以證明它的反面是假的。

程師懂得如何利用邏輯門這種實際的物理形式來表示這些連接詞，最終，這些邏輯門被集成到了晶體管和計算機芯片中，支撐着計算機每天所做的基本運算。所有運算的基礎都是以電子形式的“真”或“假”為基礎的。所以說，在精緻的計算機屏幕下面，跳動着的是數學的心髒。

布爾的創新之處在于，他發現我們可以用數學符号來表示命題的邏輯論證。

答案在于數學。計算機電路是根據1815—1864年英國數學家喬治·布爾提出的原理構造的，布爾因為将代數方法應用到邏輯學（一個研究人們在假設的基礎上得出結論的規則的學科）而聲名鵲起，邏輯論證（通過一系列陳述和推理建立論點）的一個經典例子與古希臘大哲學家蘇格拉底有關：凡是人都會死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會死。這種論證形式被稱為三段論，它很有趣，因為隻要前兩個前提是真的，結論就一定為真。

假設在上述計算中，我們做了一系列（合理的）假設。實際上，假設在整個數學領域中發揮着重要作用，例如，歐幾裡得的幾何推理就是基于五個假設而做出的，其中一個是：在任何兩點之間都可以畫一條直線，另一個是：所有直角都相等。

《數盲：數學無知者眼中的迷惘》

坦率地說，數學有時能揭示人類經驗中令人驚駭的一面。舉個例子，你剛才吸入的分子是某個生活在幾千年前的人垂死時呼出的最後一口氣，這個概率有多大？數學可以回答這個問題，而且它的精确度高得驚人。怎麼可能？

問題歸約法

研究者通過問題歸約法來分析糖果消消樂背後的數學，也就是說，如何把一個問題轉換成另一個問題。問題歸約法可以幫助數學家确定，要解決的問題究竟有多難。如果新問題可以被轉化成初始問題，說明兩個問題的難度相當。

計算機科學家和數學家很想一勞永逸地确定NP問題和P問題在根本上是否相同，也就是說，容易檢驗的問題是不是也容易解答。P＝NP問題被美國克雷數學研究所确定為千禧年大獎難題，能夠解答這個問題的人将獲得100萬美元的大獎。

過去幾年裡，數學家們發現，我們今天在Facebook和移動設備上經常玩的遊戲糖果消消樂，實際上反映了數學當中一個最難的問題。數學大師們已經證明，這個遊戲是一個所謂的NP問題，也就是說，它沒有簡單、直接的解法，盡管它的解法很容易檢驗。NP問題不同于P問題，後者可以很快找到答案。

這個例子是為了提醒大家要經常備份。

皮克斯公司也發明了新的數學技術，來讓銳利的邊緣顯得平滑。

皮克斯公司利用算法（一系列指令）來設計複雜的物體和行為，他們知道，他們将需要一套全新的算法來設計梅莉達的頭發，而這套算法将包含10萬個不同的元素。這個問題有多難呢？根據組合學的原則，如果有n個元素，将有n2種方式讓這些元素相互碰撞，所以有100億種方式讓所有頭發相互接觸。

格勒奇定理德國數學家赫伯特·格勒奇證明了四色定理的一個拓展問題：根據格勒奇定理，在一張平面圖中，隻要不存在三角形（不存在有三個頂點的點），隻需要三種顔色就可以得到一樣的結果。

四色定理：盡管這是一項有着重要意義的成就，卻在數學界引起了争議，因為這項證明利用了計算機。

讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅裡葉傅裡葉變換是以1768—1830年的法國數學家讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅裡葉的名字命名的。他在研究固體間傳熱的時候提出了傅裡葉變換。

傅裡葉變換也出現在建築中，尤其是在地震頻發的區域。和其他物體一樣，小鎮或城市裡的每棟建築也都以各自的自然頻率振動。如果城市裡的一棟建築受到地震的影響，并且地震引起的振動與建築的振動頻率一樣，建築的振動将會被放大，被毀壞的概率也更大（振動的頻率和強度是兩個不同的度量）。

為了預防建築被毀壞，工程師可以利用傅裡葉變換分析特定位置的地震頻率，“調整”建築的頻率，确保它的頻率不會和可能在該區域發生的地震的頻率相同。理論上，數學可以防止城市毀于一旦。

人耳也可以進行傅裡葉變換。那個單一波被分解成了不同的部分，讓我們可以分辨單一的頻率和聲音，從而更好地與世界交流。

誰知道iPod和數學有着密切的聯系呢？事實上，當你把歌曲下載到電腦上，或者在MP3播放器上播放數字音樂文件時，都是在利用被稱為傅裡葉變換的數學公式。可以把它想象成一個工具：大體上，它可以将複雜波分離成簡單波，将簡單波合并為複雜波，這些波幾乎可以是任何形式的波，包括聲波和光波。

取樣偏差

這個例子中的樣本———洞穴裡的遺迹，使結論出現了扭曲。

人們開始缺乏信心：為什麼自己的生活沒有朋友的那麼好呢？這種現象一般被稱為友誼悖論。1991年，社會學家斯考特·費得在研究社交網絡（當時社交還與計算機和互聯網無關）的時候發現，在任何一個朋友網絡中，甲的朋友總是比甲有更多的朋友，或者說，你朋友的朋友總比你的朋友多。為什麼呢？如果我是你的朋友，你是我的朋友，那麼我們兩個各有一個朋友，這樣看來，友誼似乎是平衡的。友誼悖論的原因在于朋友網絡的結構。在任何一個網絡中，部分人比其他人更受歡迎，這些人往往比同一網絡中的其他人有更多的朋友。因此，從這個網絡中随便選一個人，他是這些受歡迎的人的朋友的概率很大。畢竟，受歡迎就意味着有很多朋友，比起那些隻有兩個朋友的人，你更可能是一個有40個朋友的人的朋友，你是40個朋友當中的一個的概率比是兩個朋友中的一個的概率要大。這個理論适用于同一網絡中的大部分人，而之所以會出現友誼悖論，是因為友誼的本質和計算的原因。

這些和社交媒體有什麼關系呢？友誼悖論不僅适用于面對面的網絡，同樣适用于電子網絡。因此，有很大概率你在Twitter上關注的人的關注者比關注你的人要多，你在Facebook上的大部分朋友比你有更多的朋友。根據兩名科學家最近的一項調查，友誼悖論被進一步拓寬了———你的朋友不僅比你有更多的朋友，而且他們可能比你更富有，更幸福。法國圖盧茲大學的翁永昊和芬蘭阿爾托大學的喬杭玄分析了科學家的網絡，隻要一起寫過研究論文的科學家就被放在一個網絡中，翁永昊和喬杭玄發現，在任何一個學術網絡中，科學家甲的朋友總是比甲有更多的朋友，他們還發現，甲的朋友的被引用量和出版量也比甲多。翁永昊和喬杭玄确定了這類網絡的數學特征，并且發現，如果一個悖論出現在一個網絡中，當這些特征滿足特定條件時，這個悖論将不僅适用于網絡的一個特征，也就是說不僅适用于朋友或被引量的多少，财富和幸福也滿足這樣的條件。所以說，下次浏覽社交媒體感到不自信時，切記其他大部分人都跟你有一樣的感覺。

從專業上講，密碼是一個完善的信息編碼方式。一個例子是代用密碼，一些字母以規律的方式代替其他字母。有些代用密碼甚至使用多重字母表。20世紀初期，出現了電機密碼，如德國的英格瑪密碼機，它由機器而不是人來執行替換。

香農也将比特和熵的概念，即特定信息中包含的信息量，聯系了起來。下面是他提出的一個有名的方程式：H（X）＝－∑p（x）logp（x）下次發電子郵件的時候，不要忘了克勞德·香農。

有了他的研究，信息論才得以建立，有了信息論，數字計算機、互聯網和光碟才成為可能。同時，他推廣了“比特”這個術語，即“二進制數字”的縮寫，換句話說，香農讓未來成為可能。

每過不久，就會出現一個改變曆史的數學家，克勞德·香農就是其中之一。

直到最近，數學家們才解決了這個問題。從椅子旁到門口的距離可以用下面這個收斂數列來表示：1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32＋…數學家們已經證明，雖然這個數列是無窮長的，但它最終會收斂為一個有窮的數字———1。實際上無窮個小單位可以組成一個有窮的整體這一概念正是微積分的基礎，它可以讓我們計算曲線下部的面積。

亞裡士多德指出，兩點之間的距離并非由實際的無窮個點組成，而隻是一種潛無窮。

這個方程是他在利用統計學研究湍流時提出的。梵高畫筆的旋轉中竟然蘊含着如此深刻的意義。

盡管湍流很常見，但用數學來描述它卻是十分困難的。要描述湍流，數學家們首先要理解納維斯托克斯方程的解，它誕生于19世紀，是用來描述流體運動的。（有一個關于湍流和物理學家維爾納·海森堡的故事，當被問及如果有機會遇見上帝，會對他說些什麼，海森堡回答說：“要是見到上帝，我會問他兩個問題：為什麼有相對論？為什麼有湍流？我相信他一定知道第一個問題的答案。”）

NP完全問題2002年，數學家們宣稱數獨是NP完全的（NP表示非确定性多項式時間）。什麼意思呢？實際上，數獨沒有快速簡單的解法，即便确定已知的解法是否正确很簡單。

都柏林大學的蓋裡·麥克奎爾領導的一個數學團隊發現，要讓一個數獨有唯一的解，最少需要17條線索，如果少于17條，數獨的解将不是唯一的。但麥克奎爾及其團隊未能找出證明方法，相反，他們隻是利用計算機計算出所有的可能性。事實上，他們在都柏林的愛爾蘭高端計算中心花了約700萬小時的運算時間，用上了所有的計算機，因為數獨可能的解的數量是個龐大的數字———6670903752021072936960。好在這些研究人員根據不同的解在數學上相等的原則，設計了一個算法，在這個算法的基礎上，将這個數字縮小到了可控的大小。

歐拉将橋、島和河岸抽象成了一個隻有節點和棱線的網絡，最後證明這樣的路線根本不存在。

如果将迷宮想象成一個抽象的物體，忽略它的迂回彎曲、牆的高度以及腳下土地的質地，它就像一條通道，在某些點上出現，指向新方向的岔路。我們可以将這些點稱為節點，将連接相鄰兩個節點的通道稱為棱線。從高處俯瞰一個迷宮，我們可以做筆記，再畫成隻有節點和棱線的圖。給節點标上号之後，我們可以更清楚地看到走出迷宮的路線。

對迷宮的研究屬于圖論和拓撲學領域，這兩個領域主要以圖的形式來研究物體。

我們也可以利用鴿巢原理來證明紐約人當中一定有兩個人頭上的頭發數量完全一樣。每個人的頭上約有10萬根頭發，生活在紐約的人約有800萬，一個人的頭發數量有10萬種可能，可以說相當于10萬個鴿巢，而紐約的800萬人口相當于800萬隻鴿子。所以說，我們有10萬個鴿巢和800萬隻鴿子，因此我們可以确定，至少有兩隻鴿子（或兩個人）是在同一個鴿巢裡，或者說至少有兩個人頭上的頭發數量是一樣的。

可以假設有N個格子和M個物體，且M大于N，那麼，其中一個格子容納的物體必然多于一個。

實際上，超實數是一套新的數，就像有理數和整數，是我們在數軸上通過一系列上下或左右移動而得到的數。歐米伽即是一個特别大的超實數，它被定義為在數軸上向右無限移動，最後得到的數（歐米伽是最小的超實數，但大于所有的實數）。總之，圍棋是推動我們發現數學的動力，對全世界數百萬人而言，它都是一場數學盛宴。

圍棋與數學的關系密不可分。舉個例子，圍棋的點數超過2×10170個，這聽起來是個十分巨大的數字，已知宇宙中的原子數才不過1084個。拿圍棋和國際象棋相比，也會出現巨大的數字，當計算機程序下國際象棋的時候，它最多可以提前七個回合預測每一步的結果，但如果讓計算機程序來下圍棋，它很快就會超載。下國際象棋的時候，計算機可以篩選分析每一回合的600億種可能，可要在圍棋中預測七手的結果，計算機就要篩選分析10萬億種可能。

思考音程的比率有助于我們揭示每天聽到的音樂背後的數學。

最動聽的一個雙音階組合（或者說音程）是八度音程，即兩個間隔一個或半個八度的音的組合。

從另一種意義上說，音樂的數學性又不是顯而易見的，但數學仍是全世界所有音樂的基礎。這種不可思議的數學特征正是音程的特征，在鋼琴上同時彈奏兩個音階，彈出的音階組合要麼悅耳要麼難聽，要麼飽滿要麼尖細。

如果簡化表示打法的形式語言，将領帶一端繞另一端的次數從8次增加到11次，可能的打法将有177147種。他和同伴共發現了2046種纏繞的方法，需要11步才能完成。下次如果你厭煩了現在打領帶的方法，不要忘記你有太多種選擇，可能一輩子都用不完！

對數學的啟發可能來自任何地方。

鋪嵌也成了數學的肥沃土壤。幾百年來，數學家們發現，鋪嵌有着獨特的形式：●有些鋪嵌是周期性的，或者說圖形是會重複的；有些是非周期性的，或者說圖形不會重複。●有些鋪嵌是規則的，由一個規則的多邊形（即所有的邊長和夾角相等，如正方形）不斷重複而成的。●還有些鋪嵌是半規則的，也就是說，它們是由一種以上的規則多邊形組成的。

對鋪嵌的分析還可以更進一步。1891年，俄國結晶學家伊娃格拉夫·費德洛夫證明出，周期性的鋪嵌有17種，半規則的鋪嵌有8種。

考慮到計算公式的随機性，目前尚不清楚不分配座位這種方法是否更有效。

她是先計算了這麼對折需要多長的紙，然後才開始對折的，而且隻朝一個方向對折。

巴西果效應數學概念：顆粒對流當你買了一罐堅果，會發現，好像有魔法一樣，大的堅果總在上面———這是不可避免的。早餐麥片也是這樣：大的顆粒，如美味的果仁塊，總是在罐子上層，中部和底部則根本沒有。這就是所謂的巴西果效應。通俗的假設認為，巴西果效應與顆粒（包括堅果、麥片、鵝卵石、彈子及其他可以混合在一起的物體）的大小有關。當一堆顆粒相互擠撞的時候，它們會上下移動，盡管距離很短。此時，顆粒之間出現了空隙，而容器邊緣的其他顆粒可以移動到這裡，填滿空隙。但是，大顆粒不能填滿小顆粒留下的空隙，結果，它們一直向上移動，直到最上層。一旦它們移動到最上層，就會停留在那裡，而小顆粒則先移動到容器邊緣，再落到容器底部，這個過程被稱為顆粒對流（如果你看過沸騰的開水的話，就親眼見過對流現象。溫度升高時，水分子上升；溫度下降時，水分子下沉）。這就是一罐堅果裡的數學，對吧？

巴西果與雪崩

如今，爬雪山的人可以穿上遇雪崩自動膨脹的設備，使人和裝備的體積變大，當被壓在雪堆下時，更可能浮到表面。這種救人性命的設備就是充分利用了巴西果效應。

蓋德嚴重度指數（GSI）是衡量汽車碰撞對車内人員的傷害嚴重度的一個指數，它的公式如下：GSI＝a5／2（tA）其中，a———加速度t———時間（單位：秒）人的頭部能承受的GSI值最大為1000，前提是持續時間很短（隻能以毫秒計算）。

通過計算可以發現，如果前車突然爆胎了，你隻有1秒的反應時間。因此，緊跟前車行駛絕對不是個好主意。

車開得越快，越容易發生事故。在高速狀态下，對其他車輛做出反應的時間縮短了，車輛碰撞的嚴重度則加重了。但是，時間究竟縮短了多少，嚴重度究竟加重了多少？數學能給出确定的答案，這可能會鼓勵你更安全地開車。

信息論被用于破解密碼和通過手機、計算機傳遞信息。沒有信息論背後的數學原理，你口袋裡的手機就變成了一塊磚頭，利用基于網絡的計算來翻譯的神奇功能也會變成天方夜譚。

統計型機器翻譯發源于信息論———研究信号處理、數據壓縮和語言的一門應用數學。

通過掃描數以億計的文件，尋找它們的規律，研究詞語通常是怎麼翻譯的。這一過程完全不依賴已知的定義和語法，被稱為統計型機器翻譯。

人工免疫系統的一個主要方向是探索如何利用自然現象，如免疫系統的記憶，來解決數學和工程問題。概括來說，人工免疫系統屬于人工智能領域，能激發更多的靈感和創新。

計算機模拟結果顯示，當白細胞面對十個病毒或細菌時，它們攻擊和吞噬這些入侵細胞的路線隻比最短路線長12%。對于比針尖還小的細胞來說，這真是令人歎服！

在《數學如何幫助你的生活》一書中，數學家詹姆斯·D．斯坦提出了一種策略，他宣稱這一策略能讓你的分數提高一個等級[1]（當然，前提是你上了課，學了相關内容）。第一步是了解考試的賦分規則，每個問題的分數一樣嗎？是不是像學業能力傾向測驗那樣答錯了會扣分？如果答錯不扣分，你應該盡力回答每個題目，即使作答的次序是随機的（斯坦的策略隻适用于特定類型的試題：判斷題、單項選擇題和解答題，比如數學和理科考試的題型）。斯坦建議，第一遍先做最有把握和知道怎麼找答案的題目，如果一道題所花的時間超過一兩秒，應該停下來，跳到下一道題。然後，數數還有幾道題，考試還剩多長時間，兩下相除，算出每道題應該花的平均時間。另外，絕對不要先答最難的題目，否則，在幾道題上花了大把時間，分數卻不高，完全可以抓緊時間多答幾道容易的題，從而提高分數。單項選擇題别人可能跟你說過，做單項選擇題，如果不知道答案的話，那就一直選“C”。這可能不是最好的技巧，尤其是當老師深知這一情況，從而讓題目的選項均勻分布的時候。最好還是縮小選項的範圍，在所學知識的基礎上猜答案。不過，如果隻有四個選項，就算瞎蒙，選對的概率也有25%。

這個問題非常難。目前為止，數學家們最多隻發現19張餅的Pn值是22。事實上，還沒有人能給出一個一般的方程式，來計算調整n張餅的次序所需的最大翻轉數。

但數學家們總想找出适用于任何數量和任何擺放的一般規律。

數學甚至還會研究你的早餐。

博弈論的一個核心内容是以納什自己的名字命名的———納什均衡，指在博弈中，每個參與者即使知道了其他參與者的博弈策略，也不會選擇改變自己的策略。換句話說，納什均衡是指沒有人會因為改變策略而從博弈中獲益。

量子力學（研究物質最小組成部分的物理學分支）

旅行推銷員問題也被搬上了銀幕。2012年的電影《旅行推銷員》聚焦于四位數學家，他們要決定該不該給美國軍方提供P＝NP問題（參見第75章）的解決方法，因為他們知道，這關乎他們的道義責任，一旦軍方掌握了這種方法，就能破解世界上的任何密碼，為他們提供前所未有的力量。

事實上，兩個人分蛋糕，理想的分法必須滿足三個條件：1．任何一方都不想要對方的蛋糕，這種方法被稱為無妒忌。2．不可能再讓任何一方更滿意，否則就要讓其中一方不滿意，這是效率。3．分配是公平的，也就是說，對于任何一方來說，他們得到的蛋糕具有相同的價值（舉例來說，假如是三個人分蛋糕，而且每個人都喜歡糖霜上的花朵圖案，那麼，公平的分法就是每個人得到的那一塊都有一個花朵圖案）。

當你面臨兩個選擇———左手邊的隊列還是右手邊的隊列，有的人相信，左手邊的隊列移動得更快，因為近90%的人習慣用右手，所以會本能地選擇右手邊的隊列。這種觀點純屬無稽之談，但如果下次在主題公園裡排起了長隊，不妨試試左手邊的隊列。

恰好有一個數學分支是研究這個問題的，那就是排隊論，它是專門研究排隊行為的（研究排隊論的數學家被稱為排隊論研究者）

同樣，由于一個人的正面面積總是相同的，雨滴下降的速度也是恒定的，所以，不論一個人在雨中是走還是跑，打在他身上的雨水體積都是一樣的。

由于你與避雨處的距離不會改變，唯一能盡量少被淋濕的方法是，盡可能減少在雨中的時間，而唯一的方法就是，跑得越快越好。

在其他變量相同的情況下，在雨中奔跑隻能讓你少淋濕10%。所以，在1987年發表于《歐洲物理雜志》的一篇論文中，他總結道：最好還是走，因為兩者的差異并不明顯，不值得浪費體力。

公交車成群出現體現了混沌理論———研究最初的微小差異如何導緻最終的顯著差異的數學分支。

你在物理課上可能學過，纜索可以将道路和車輛産生的下向壓力轉移到索塔上，然後再引向地面

不可能完全将球形轉換成二維圖形。所以，地球或者其他球體的所有地圖在一定程度上都會失真。

一刀是什麼意思

對于普通人來說，一刀可能是個陌生的概念。一刀紙是指24或25張大小完全一樣的紙，相當于一令紙（400或500張紙）的1／20。

為什麼不管我們千防萬防，生活中還是有這麼多東西會自己纏成結呢？

從某種意義上說，折紙和數學似乎有着相同的概念元素，用自己的雙手來做出一個形狀，從而更好地掌握數學概念，這樣的效果是最好的。丢掉鉛筆和繪圖計算器吧，花點時間在折紙中發現數學！

在拓撲學中，新形狀必須能通過一個連續的動作恢複到初始形狀。隻要可以，按照拓撲學的術語來說，這兩個形狀就是等量的。

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