阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希臘)是有史以來最偉大的數學家之一。他與牛頓、高斯并稱為三大數學家。
定理定義如右圖所示,AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是弧ABC的中點,則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點,即CD=AB BD。
定義:從圓周上任一點出發的兩條弦,所組成的折線,我們稱之為該圖的一條折弦。
驗證推導方法1:補短法1
如圖,延長DB至F,使BF=BA
∵M是弧ABC的中點
如圖,延長DB至F,使BF=BA
∴∠MCA=∠MAC=∠MBC
∵MBAC四點共圓
∴∠MCA ∠MBA=180°
∵∠MBC ∠MBF=180°
∴∠MBA=∠MBF
∵MB=MB,BF=BA
∴△MBF≌△MBA
∴∠F=∠MAB=∠MCB
∴MF=MC
∵MD⊥CF
∴CD=DF=DB BF=AB BD
方法2:補短法2
延長AB到E,使BE=BD
∵M是弧AB中點,
∴∠MBC=∠MAC=∠MCA
∵M,B,A,C四點共圓
∴∠MCA ∠MBA=180°
∵∠MBE ∠MBA=180°
∴∠MCA=∠MBE
∴∠MBC=∠MBE
∵BE=BD,MB=MB
∴△EBM≅△DBM
∴∠E=∠MDC=90°,ME=MD
又∵MA=MC
∴△MEA≅△MDC
∴DC=AE=AB BE=AB BD
方法3:截長法1
如圖,在CD上截取DG=DB
∵MD⊥BG
∴MB=MG,∠MGB=∠MBC=∠MAC
∵M是弧ABC的中點
∴∠MAC=∠MCA=∠MGB
即∠MGB=∠MCB ∠BCA=∠MCB ∠BMA
又∠MGB=∠MCB ∠GMC
∴∠BMA=∠GMC
∵MA=MC
∴△MBA≌△MGC(SAS)
∴AB=GC
∴CD=CG GD=AB BD
方法4:截長法2
如圖,在CD上截取CG=AB
∵M是弧ABC的中點
∴MA=MC
∵∠BAM=∠BCM
∴△MBA≌△MGC(SAS)
∴MB=MG
∵MD⊥BG
∴BD=DG
∴CD=CG GD=AB BD
方法5:垂線法
如圖,作MH⊥射線AB,垂足為H。
∵M是弧ABC的中點
∴MA=MC
∵MD⊥BC
∴∠MDC=90°=∠H
∵∠MAB=∠MCB
∴△MHA≌△MDC(AAS)
∴AH=CD,MH=MD
又∵MB=MB
∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)
∴HB=BD
∴CD=AH=AB BH=AB BD
方法6:圓周角法
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