阿基米德(Archimedes，公元前287~公元前212年，古希臘)是有史以來最偉大的數學家之一。他與牛頓、高斯并稱為三大數學家。

如右圖所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB BD。

定義:從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

方法1：補短法1

如圖，延長DB至F，使BF=BA

∵M是弧ABC的中點

如圖，延長DB至F，使BF=BA

∴∠MCA=∠MAC=∠MBC

∵MBAC四點共圓

∴∠MCA ∠MBA=180°

∵∠MBC ∠MBF=180°

∴∠MBA=∠MBF

∵MB=MB,BF=BA

∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB

∴MF=MC

∵MD⊥CF

∴CD=DF=DB BF=AB BD

方法2：補短法2

延長AB到E，使BE=BD

∵M是弧AB中點，

∴∠MBC=∠MAC=∠MCA

∵M,B,A,C四點共圓

∴∠MCA ∠MBA=180°

∵∠MBE ∠MBA=180°

∴∠MCA=∠MBE

∴∠MBC=∠MBE

∵BE=BD,MB=MB

∴△EBM≅△DBM

∴∠E=∠MDC=90°,ME=MD

又∵MA=MC

∴△MEA≅△MDC

∴DC=AE=AB BE=AB BD

方法3:截長法1

如圖，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

∵M是弧ABC的中點

∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

即∠MGB=∠MCB ∠BCA=∠MCB ∠BMA

又∠MGB=∠MCB ∠GMC

∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC

∴△MBA≌△MGC(SAS)

∴AB=GC

∴CD=CG GD=AB BD

方法4:截長法2

如圖，在CD上截取CG=AB

∵M是弧ABC的中點

∴MA=MC

∵∠BAM=∠BCM

∴△MBA≌△MGC(SAS)

∴MB=MG

∵MD⊥BG

∴BD=DG

∴CD=CG GD=AB BD

如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H。

∵M是弧ABC的中點

∴MA=MC

∵MD⊥BC

∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCB

∴△MHA≌△MDC(AAS)

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB

∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)

∴HB=BD

∴CD=AH=AB BH=AB BD

方法6：圓周角法

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