幾何問題在國聯考的行測考試中出題頻率較高，2020年遼甯省考10道題中考查了3道幾何問題，因此學好幾何問題是十分必要的。今天我們就來探讨一下幾何問題中如何求極值。

一、題型特征：

幾何極值問題一般在設問中都有“最大”、“最小”字樣。平面圖形一般讨論周長和面積的關系，立體圖形往往讨論表面積和體積的關系。

二、解題方法：

一般此類題型可以通過均值不等式或幾何極值性質來解題。

均值不等式可表示為：

，當a=b時成立。

幾何的極值性質可歸納為：

1.周長相等的平面圖形，越接近圓，面積越大。2.面積相等的平面圖形，越接近圓，周長越小。3.表面積相等的立體圖形，越接近球，體積越大。4.體積相等的立體圖形，越接近球，表面積越小。

對于幾何的極值性質大家可以分成平面和立體兩個方面記憶，盡量發揮想象力理解記憶，避免記錯記混。

三、題型考法：

1.利用幾何極值性質求解最大面積或體積。

【例1】用18厘米長的警戒線圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是厘米數，則圍成的長方形的面積最大是多少？

A. 18平方厘米

B. 20平方厘米

C. 25平方厘米

D. 40平方厘米

【思路點撥】由題意知周長一定，要使長方形的面積盡可能大，則要使形狀更加接近圓，也就是讓長方形更加接近正方形。長＋寬＝9厘米，則要求長和寬盡量接近，可使長＝5厘米，寬＝4厘米，此時面積最大，最大面積為4×5＝20（平方厘米）。因此，選擇B選項。

【例2】設a、b、c、d分别代表四棱台、圓柱、正方體和球體，已知這四個幾何體的表面積相同，則體積最小與體積最大的幾何體分别是：

A. d和a

B. c和d

C. a和d

D. d和b

【思路點撥】根據幾何最值理論。表面積一定的立體圖形，越接近球體，體積越大。立體越對稱，越接近球體，則四棱台、圓柱、正方體和球體中，體積最小的是四棱台，體積最大的是球體。因此，選擇C選項。

2.利用均值不等式最大面積：

【例3】要建造一個新的矩形雞圈，如圖所示，該雞圈一面靠圍牆，另外三面共使用了200米長的鐵絲網，問如果想讓雞圈的面積最大，雞圈的長和寬比值應為多少?

A. 1∶1

B. 2∶1

C. 3∶2

D. 7∶3

【思路點撥】本題并不能應用幾何的極值性質進行解題，因為長方形的周長并不是固定的，需要利用均值不等式解題。設長為x米，寬為y米，則x＋2y＝200。長方形的面積為xy，根據均值不等式定理，當且僅當x＝2y時

，

取得最大值，此時長方形的面積最大。當x＝2y時，雞圈的長和寬的比值為2︰1。因此，選擇B選項。

四、題型小結：

幾何的極值性質其實是均值不等式的簡化版，隻要多加練習就一定能夠熟練掌握。

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