常用知識點:

一、常見函數的定義域總結如下:

y,kx，b(1)一般形式的定義域:x?R 2y,ax，bx，c

k(2) 分式形式的定義域:x?0 y,x

(3) 根式的形式定義域:x?0 y,x

(4) 對數形式的定義域:x,0 y,logxa

二、函數的性質

1、函數的單調性

f(x)當時，恒有，在所在的區間上是增加的。 x,xf(x),f(x)x，x121212

f(x)當時，恒有，在所在的區間上是減少的。 x,xf(x),f(x)x，x1212122、 函數的奇偶性

y,f(x)Dx,D,x,D定義:設函數的定義區間關于坐标原點對稱(即若，則有)

f(x)f(,x),f(x),x,D(1) 偶函數——，恒有。

f(x)f(,x),,f(x),x,D(2) 奇函數——，恒有。 三、基本初等函數

(,,,，,)y,c1、常數函數:，定義域是，圖形是一條平行于軸的直線。 x

uy,x2、幂函數:， (是常數)。它的定義域随着的不同而不同。圖形過原點。 uu3、指數函數

x定義: ， (是常數且a,0，a,1).圖形過(0,1)點。 y,f(x),aa

4、對數函數

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定義: ， (是常數且，)。圖形過(1,0)點。 a,0a,1y,f(x),logxaa

5、三角函數

y,sinx(1) 正弦函數:

D(f),(,,,，,)f(D),[,1,1]， ， 。 T,2,

(2) 餘弦函數: . y,cosx

D(f),(,,,，,)f(D),[,1,1]， ， 。 T,2,

(3) 正切函數: . y,tanx

,f(D),(,,,，,)， ， . T,,D(f),{x|x,R,x,(2k，1),k,Z}2(4) 餘切函數: . y,cotx

D(f),{x|x,R,x,k,,k,Z}f(D),(,,,，,)， ， . T,,

5、反三角函數

,,y,arcsinxD(f),[,1,1](1) 反正弦函數: ，，。 f(D),[,,]22

D(f),[,1,1]f(D),[0,,](2) 反餘弦函數: ，，。 y,arccosx

,,D(f),(,,,，,)(3) 反正切函數: y,arctanx，，。 f(D),(,,)22

D(f),(,,,，,)f(D),(0,,)y,arccotx(4) 反餘切函數: ，，。

極限

一、求極限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函數在某點的極限，等于該點的函數值。”因此遇到大部分簡單題目的時候，可以直

接代入進行極限的求解。

2、傳統求極限的方法

(1)利用極限的四則運算法則求極限。 (2)利用等價無窮小量代換求極限。 (3)利用兩個重要極限求極限。

(4)利用羅比達法則就極限。

二、函數極限的四則運算法則 limu,Alimv,B設， ，則 x,,x,,

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(1) lim(u,v),limu,limv,A,Bx,,x,,x,,

(2). lim(u,v),limu,limv,ABx,,x,,x,,

推論

(a)， (為常數)。 lim(C,v),C,limvCx,,x,,

nn(b) limu,(limu),,,,xx

limuuA,x,(3)lim， (). B,0,,,x,vlimvBx,,

nn,1P(x)(4)設為多項式， 則 P(x),ax，ax，？，alimP(x),P(x)n001x,x0

P(x)P(x)0P(x),Q(x)Q(x),0(5)設均為多項式， 且， 則 lim,x,x0Q(x)Q(x)0三、等價無窮小

ln(1，x)~x常用的等價無窮小量代換有:當時，，，，，，x,0sinx~xarcsinx~xtanx~xarctanx~x

1x2e,1~x1,cosx~x，。 2

對這些等價無窮小量的代換，應該更深一層地理解為:當? ,0時，sin? ~? ，其餘類似。

四、兩個重要極限

sinxlim,1重要極限I 。 x,0x

sin? lim,1它可以用下面更直觀的結構式表示: ? ,0?

x1,,lim1，,e重要極限II 。 ,,x,,x,,

? 1,,，,elim1其結構可以表示為: ,,? ,,? ,,

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八、洛必達(L’Hospital)法則

'()()fxfx0,,“”型和“”型不定式，存在有(或)。 limlim,,A'x,ax,a0,()gx()gx一元函數微分學

一、導數的定義

y,f(x),設函數在點的某一鄰域内有定義，當自變量在處取得增量(點仍在該鄰域内)時，相xxx，,xxx000

,y應地函數取得增量。如果當時，函數的增量與自變量的增量之比的極限 y,x,0,x,y,f(x，,x),f(x)00

f(x，,x),f(x),y00,limlim== 注意兩個符号和在題目中可能換成其他的符号表示。 ,xf(x)x00,x,0,x,0,x,x

二、求導公式

1、基本初等函數的導數公式

,(C),0(1)C (為常數)

,,,1,(2)(為任意常數) (x),,x,

xxxx,,(a,0,a,1)(3) 特殊情況 (a),alna(e),e

111,,(x,0,a,0,a,1)(logx),loge,(lnx),(4)， aaxxlnax

,(sinx),cosx(5)

,(cosx),,sinx(6)

1'(tanx),(7) 2cosx

1'(cotx),,(8) 2sinx

1'(,1，x，1)(arcsinx),(9) 21,x

1'(arccosx),,(,1，x，1)(10) 21,x

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1'(11)(arctanx), 21，x

1'(12)(arccotx),, 21，x

2、導數的四則運算公式

,,,[u(x),v(x)],u(x),v(x)(1)

,,,[u(x)v(x)],u(x)v(x)，u(x)v(x)(2)

,,[ku],ku(3)(為常數) k

,,,，，u(x)u(x)v(x),u(x)v(x)(4) ,,,2v(x)v(x)，，

y,f(u)u,,(x)f(u),(x)y,f[,(x)]3、複合函數求導公式:設, ，且及都可導，則複合函數的導數為

dydydu',。 f(u).(x),,,,dxdudx

三、導數的應用

1、函數的單調性

'f(x)(a,b)則在内嚴格單調增加。 f(x),0

'f(x)(a,b)則在内嚴格單調減少。 f(x),0

2、函數的極值

'f(x)的點——函數的駐點。設為 xf(x),00

''f(x)(1)若時，;時，，則為的極大值點。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000

''f(x)(2)若時，;時，，則為的極小值點。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000

'(3)如果在的兩側的符号相同，那麼不是極值點。 xf(x)f(x)003、曲線的凹凸性

''(a,b)y,f(x)，則曲線在内是凹的。 f(x),0

''(a,b)y,f(x)，則曲線在内是凸的。 f(x),0

4、曲線的拐點

''''y,f(x)f(x),0(1)當在x的左、右兩側異号時，點(x,f(x))為曲線的拐點，此時. f(x)0000

''y,f(x)(2)當在x的左、右兩側同号時，點(x,f(x))不為曲線的拐點。 f(x)0005、函數的最大值與最小值

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