命題：若橢圓的焦點為
，離心率為
為橢圓上任意一點，則有
。證明：如圖1，橢圓的準線方程為
和
。由橢圓的第二定義得
，化簡即得說明：若橢圓的焦點在
軸上，則有
。我們把橢圓上的點到兩焦點的距離
稱為焦半徑，而
（或
）、
（或
）稱為焦半徑公式。
巧用焦半徑公式能妙解許多問題，下面舉例說明。
一、用于求離心率例1如圖
為橢圓的兩個焦點，以線段為直徑的圓交橢圓于
四點，順次連結這四點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，則離心率
。分析：如圖，連
，則
，由焦半徑公式得
，即
。所以
，所以
。
二、用于求橢圓離心率
的取值範圍例2已知為橢圓的焦點，若橢圓上恒存在點，使，求離心率的取值範圍。分析：設的坐标為
，則
由得
故
，即
，又
。所以
。 三、用于求焦半徑的取值範圍例3若是橢圓
上的點，為橢圓的焦點，求
的取值範圍。分析：不妨設為橢圓的左焦點，而
，則
。故
。所以
。 四、用于求兩焦半徑之積
的最值例4若為橢圓
的左、右焦點，為橢圓上任意一點，求的最值。分析：易知
由
知
，所以的最小值為
，最大值為
。 五、用于求三角形的面積例5 若是橢圓
上一點，為橢圓的左、右焦點，且
，求
的面積S。分析：易知
。由餘弦定理得
。解得
。所以
六、用于求點的坐标例6 若為橢圓
上的點，為橢圓的焦點，且，則的橫坐标為_________。分析：由
，
及得
，解得
，所以
。 七、用于證明定值問題例7已知
為橢圓上兩點，
為橢圓的頂點，F為焦點，若
成等差數列，求證：
為定值。分析：不妨設
，由成等差數列得
，即
。化簡得
，
所以為定值。
八、用于求角的大小例8 如圖3，設橢圓
與雙曲線
有公共焦點，為其交點，求
。
分析：設的坐标為
，橢圓與雙曲線的離心率分别為
，則
，
，消去
得
，
。所以
所以
。 九、用于求線段的比。例9過橢圓
的左焦點作與長軸不垂直的弦
的垂直平分線交
軸于
，則
。分析：如圖4，設
的坐标分别為
，AB的中點為
，則
。
由
兩式相減并化簡得
。
所以
。
所以AB的垂直平行線方程為
。令
，則
，故N的坐标為
所以
，所以
。
--END--
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