前段時間寫了一篇關于第一個重要極限lim(x->0)sinx/x=1的文章，裡面介紹了用夾逼定理（或稱極限的迫斂性）的證明方法，并用指明，因為用極限定義證明太過麻煩，所以一般不建議用定義證明。

結果就有網友和老黃較真，問老黃：到底是用極限的定義不能證明，還是很難證明，但能證明？老黃說能證明，且老黃已經證明出來了，但理解起來很困難。這位網友似乎不太相信，又繼續追問，并且要求老黃分享證明的方法。老黃見這位網友轉粉，覺得不能讓自己的粉絲失望，所以決定分享這個證明方法。晚點還會拍成視頻，和大家分享。

這個證明方法的靈感來自于上面提到的利用極限的迫斂性證明的方法。如果大家還不懂得如何利用夾逼定理證明，可以搜索老黃之前的作品，圖文和視頻都有介紹，視頻的時代比較久遠，是前兩年分享的。好了，廢話不多說，直接進入正題：

利用ε-δ定義證明：lim(x->0)sinx/x=1。

證：先證0<x<π/2的情形，（就是先證右極限，由于極限是x無限趨近于0的情形，所以隻需要證明x=0附近極小的區域，因此可以限定x小于任何一個定數，這裡選擇二分之π，是因為 後面涉及三角函數和反三角函數，保證在它的一個周期内的單調區域做探究）

對任給的正數ε<1(正數ε可以限定在一個比較小的區域間)，要使|sinx/x-1|=1-sinx/x<ε, (因為當x>0時，x>sinx，且上面限定了0<x<π/2，所以sinx>0，其實不做限定，對這一步也沒有影響，隻需sinx/x<1，就可以得到這個關系。一般用ε-δ定義證明極限時的一般方法是先給一個δ，不過老黃的方法與衆不同，都是先不給δ，後面再直接推出這個δ)。

∵sinx/x>sinx/tanx=cosx, （這是因為當x>0時，tanx>x），∴ 1-sinx/x<1-cosx=2(sin(x/2))^2 ,

即要使 2(sin(x/2))^2≤ε=2(sin(2arcsin(根号ε /2)/2)), （就是把ε化為與左邊一模一樣的形式，這一步很關鍵，隻要不等式成立，那麼|sinx/x-1|<ε就成立）

隻要使δ=2arcsin根号ε(就是說，在符合條件的比較小的區間上，任意ε，都能找到這樣的一個正數δ) , 則當x<δ時, 就有|sinx/x-1|<ε,(這就符合了右極限存在的條件)

∴ lim(x->0 )sinx/x=1.

又由sinx/x是偶函數,∴ lim(x->0-)sinx/x=1.（即左極限也存在，且兩個單側極限相等）

∴ lim(x->0)sinx/x=1. 得證！

大家覺得這個證明怎麼樣？有沒有漏洞呢？歡迎指導讨論！

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