概率：

該劃随機事件發生的可能性大小的數量指标是一個客觀存在的量。

概率是該劃随機事件發生等可能大小的數量指标。

事件A的概率記為P（A）。

頻率：

定義：在相同條件下，進行了n次試驗，事件A發生了m次，稱比值fn（A）=m/n.

頻率從一定程度上反映了事件發生等可能的大小。它随着試驗的次數、試驗者的變化會有所不同。

頻率具有穩定性：在一定條件（意義）下，頻率穩定于某個常數。

頻率的不确定性：不會随試驗次數的增大，趨于特定常數。

頻率與概率的關系：

頻率不是概率，但在某種意義下，頻率穩定于概率。

fn（A）=m/n 頻率具有事前不可預言性

頻率性質：

（1）對任意事件A，有0=<fn（A）<=1

（2）fn（s）=1

古典概率：

定義：設E是一個随機試驗，若它滿足以下兩個條件：

（1）僅有有限多個基本事件

（2）每個基本事件發生的可能性相等。

則稱E是古典概型的試驗。

定義：設試驗E為古典概型試驗，Ai，i=1,2，......,n是基本事件，則由

p（A）=A所含的基本事件個數/基本事件總數=A所含樣本點的數目/樣本空間的樣本點總數

所确定的概率為事件A的古典概率。

古典概率的性質與頻率的性質相類似

概率的客觀性和唯一性：

人們尋求建立一種數量指标——概率，用來刻畫随機事件發生的等可能性大小。

試驗條件确定的前提下，随機事件發生的等可能性大小是一個客觀存在的量。

概率是随機事件發生等可能性大小的客觀度量。

概率應具有客觀性和唯一性。

一旦試驗條件确定，一個随機事件發生的概率值不能因人因時而異，更不能因計算方法的不同而改變。

概率計算方法分析：

怎樣客觀度量随機事件發生等可能大小？

1.頻率，不确定，不可預言

2.古典概型，局限性，要求随機事件唯一且各個基本事件發生的概率等可能

3.幾何測度和幾何概率 突破古典概率的局限性 但要求樣本點在樣本空間的分布具有均勻性，實際試驗很難滿足，幾何概率定義也有明顯的局限性。

概率的公理化抽象：

沒有嚴格的概率定義，嚴重阻礙概率論的進一步發展和應用。

追求概率的嚴格數學定義，具有客觀性和唯一性的同時，還具有普适性及科學性。

可驗證以上概率具有定義的共同屬性：

（1）對任意事件A，有0=<P(A)<=1;

（2）p（s）=1；

（3）或A1，A2，...，An互不相容，則它們和事件的概率等于各事件概率之和。

定義 設随機試驗E的樣本空間為S，若對于E的每一事件A都賦予一個實數P（A），其對應規則滿足以下三條

（1）非負性 對任意事件A，有0=<P（A）<=1;

（2）規範性 P（S）=1；

（3）可列可加性 對于互不相容的事件列，它們的和事件的概率等于各事件概率之和。

稱P（A）為事件A的概率。

概率公理化的科學性：

概率的公理化定義是科學的公理化結構：

（1）無矛盾，即公理化結構中的三個條件不相互矛盾；

（2）完備的，可由結構中三條用邏輯推理出概率的其它性質，該定義具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性。

注：規範性是抽象過程中的人為規定，合乎常識且反映了直觀實際背景。

1.不可能事件概率為0，p（∅）=0；

證明：

∵∅=∅∪∅U..,

p（∅）=p（∅∪∅U..）

由可列可加性 =p（∅） p（∅） ..

∴p（∅）=0

2.有限可加性

3.對任意對立事件A，B有P（A） P（B）=1

4.單調性，若随機事件A和B滿足A⊂B，則，P（A）<=P（B），P（B-A）=P（B）-P（A）

5.概率加法概率，對任意兩個随機事件A和B有

P（AUB）=P（A） P（B）-P（AB）

重重之重，可列可加性。

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