知識要點
整數解問題是競賽、自主招生和強基計劃中的熱點和難點内容，解題時用到的知識不多，但方法靈活.下面的内容初中生和高中生、家長和數學教師都可以學習. 涉及整數的問題，常常用到兩種基本思路：第一是運用整數的整除性；第二是運用因式分解、配方以及不等式的知識.
一、質數與合數
對于正整數可以按照它們的正約數的個數分為三類：一類是隻有一個正約數的數，它就是1；一類是隻有兩個正約數的數，這兩個正約數隻能是1和它本身，例如2，3，5，7，這樣的數叫做質數（也叫素數）；第三類是有兩個以上正約數的數，例如12就有6個正約數：1，2，3，4，6，12，這樣的數叫做合數.因此，正整數是由1，質數和合數三部分組成的.
顯然，2是最小質數，也是唯一的偶質數（既是偶數又是質數的數稱為偶質數）.除2以外，其他的質數都是奇數.
如果一個正整數a的一個約數p是質數，則約數p稱為a的質約數.
關于質約數有下面兩個重要性質：
性質1 一個大于1的正整數a的大于1的最小約數一定是質數.
性質2 如果a是合數，那麼a的最小質約數一定不大于a的算術平方根.
二、整除的判定
1.能被2整除的數的特征
若一個整數的末位能被2整除，則這個數能被2整除.
2.能被3整除的數的特征
若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除.
3. 能被4整除的數的特征
若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除.
5. 能被5整除的數的特征
若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。
6. 能被8整除的數的特征
若一個整數的末尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
7.能被9整除的數的特征
若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除.
8.能被11整除的數的特征
若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除.
9.連續整數的乘積
對于兩個連續整數a和a＋1，其中必有一個偶數，因此乘積a(a＋1)能被2整除；對于三個連續整數，其中必有一個偶數，也必有一個數能被3整除，因而乘積a(a 1)(a 2)一定能被6整除；可以證明：n個連續整數的乘積能被n(n－1)×…×3×2×1整除.
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