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電磁感應的物理過程

圖文 更新时间:2025-01-31 05:21:55

電荷和電場

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)1

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從這一期電動力學專題,我們将開始正式地對電磁世界進行探索,各位小夥伴請緊握扶手,我們出發咯!

(因為鹹魚作者本身是物理本科在讀,所以對一些内容掌握的也有所欠缺,更新不穩定是因為在寫的時候一些不熟練的地方還需要多看一下,物理很有趣但也需要嚴謹地對待,希望大家體諒一下,謝謝大家)


庫侖定律

1785年,庫侖通過實驗發現,真空中靜止點電荷Q對另一個靜止點電荷Q'的作用力F滿足:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)2

其中,q1,q2分别為Q和Q'的帶電量,r為Q指向Q'的矢量,其數值大小為Q到Q'的距離,ε0為真空介電常數,ε0≈8.85×10^-12 C²/N。

針對一對點電荷時,庫侖定律成立,那麼若是有多個點電荷同時存在時,會有什麼結果呢

實驗結果告訴我們,當有多個點電荷同時存在時,每一個點電荷受到的作用力為其他點電荷對其單獨的作用力的線性疊加,若該點電荷所帶電量為Q,那麼我們就能得到:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)3

得到疊加原理之後,我們就可以很容易地處理一些連續帶電體的問題:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)4

如圖,存在電荷連續分布于空間某一區域V内,那麼我們可以取體積元dV',則在dV'内所含的電荷dQ等于該點的電荷密度ρ(⃗x')乘以dV',即:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)5

假設P點的電荷所帶電荷量為q,那麼我們根據庫侖定律和疊加原理,就能得到靜電力的大小為:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)6

庫侖定律是實驗定律,沒有解決電荷間作用力的物理本質問題。對之有不同的兩種物理解釋:(1)電荷之間是直接的超距作用;(2)電荷的相互作用是通過電場來傳遞的。我們不能單純由靜電現象判斷哪一種解釋是正确的。在運動電荷的情況下,兩種觀點就顯示出不同的物理内容。而實踐證明通過場來傳遞相互作用的觀點是正确的。

那麼這個“場”是什麼?從庫侖定律中我們可以看出,假如點電荷A帶電量一定,那麼對于點電荷B來說,它所受的靜電力的大小與它自身的帶電量成正比,于是我們就可以引入一個新的物理量:E=F/q

這裡的E與存在于該點的電荷并沒有什麼關系,而是表示空間中的其他電荷在此處産生的效果。我們就把E稱為電場。

我們根據定義很快就能得到點電荷産生的電場:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)7

同理,對于連續帶電體産生的電場我們也有:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)8


高斯定理和電場的散度

當我們得到電場之後,不可避免的,我們就想要去了解電場的圖像是怎麼樣的,因此我們很自然的就想到了去看看電場的散度和旋度是怎麼樣的。

在高中物理中我們知道,電通量Φ=E·S,即電場強度乘以被電場線穿過的平面的面積。那麼假如我們有一個閉合曲面S包圍着點電荷Q,閉合曲面的面元為dS。很顯然,電場線以點電荷為源,向四面八方發散,從閉合曲面的角角落落傳出,我們根據電通量Φ=E·S便能很自然的得到點電荷産生的電場為面積分:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)9

我們将E的表達式代入進行積分(dΩ為立體角元)就能得到:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)10

假如電荷不在閉合曲面内,那麼電場線穿入閉合曲面後再穿出,對于閉合曲面的電通量沒有貢獻,因此Φ=0。

假如閉合曲面内有多個點電荷,顯然它們的電場線都将穿過閉合曲面,所以就有:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)11

如果閉合曲面内電荷連續分布在空間中,我們則可以得到:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)12

其中,ρ是電荷密度,V是閉合曲面包圍的體積,顯然ρ的體積分就是V内總電荷量。這也是靜電場高斯定理的積分形式。

根據高斯公式我們知道,E的面積分等于E的散度的體積分,即E·dS=∇·EdV,假如我們讓V不斷縮小,最終我們就有:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)13

這就是靜電場高斯定理微分形式,在這裡它的物理意義是說明:靜電場是一個有源場,電荷是電場的源點,電場線從正電荷出發到負電荷結束。


靜電場的旋度

接下來我們來探究一下靜電場的旋度∇×E,這個物理量表示的意思是靜電場是否有渦旋狀結構,簡單來說就是靜電場的電場線是不是會打轉。

我們首先來看一下由點電荷激發出的靜電場,其電場強度E對任一閉合回路的環量,結合庫侖定律我們有:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)14

最後這個積分的被積函數是一個全微分,而由于繞了閉合回路L一圈以後,相當于又回到原點,函數1/r的值并未發生改變,所以我們就可以得到這個回路積分的結果為零,因此,我們有:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)15

我們成功證明了點電荷的電場環量為零;而對于多個點電荷形成的電場,由于每個點電荷的電場環量均為零,根據疊加原理我們可以得到總電場的環量也為零

在這裡我們利用高數中學過的斯托克斯公式,根據斯托克斯公式我們可以給出:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)16

我們把回路L不斷縮小,最終我們可以得到:

電磁感應的物理過程(神奇的電磁世界)17

這個式子告訴我們靜電場是一個無旋場,電場線并不會首尾相接地打轉。


下期預告

在下一期的電動力學專題中,我們将會簡單地了解電流和磁場,那麼它們又具有怎麼樣的性質呢?各位對電磁世界好奇的小夥伴,我們下期專題見啦,喜歡的話記得點一下關注哦!


編 輯|笨笨

校 對|笨笨

審 核|笨笨

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