最值易求理由難講（2020年湖南郴州第25題）

動态幾何圖形中的最值問題，是中考數學的常見考點，涉及到的初中階段定理很多，例如兩點之間線段最短，垂線段最短，圓中最長的弦是直徑，最大的圓周角是直角等等，無論是線段最值、角度最值或面積最值，核心是找準動點源頭，把它的運動狀态摸透了，再探索從動點的運動，這樣順藤摸瓜，才能建立起整個動态幾何的模型。

題目

如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4，點E是AD的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE，将正方形DEFG繞點D順時針旋轉，旋轉角為α(0°<α<90°).

(1)如圖2，在旋轉過程中

①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；

②當CE=CD時，AG與EF交于點H，求GH的長；

(2)如圖3，延長CE交直線AG于點P

①求證：AG⊥CP；

②在旋轉過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

解析：

(1)重要提醒，要看圖2！别看圖1哦！

①根據等腰直角三角形和正方形的性質，分别得到AD=CD，GD=ED，∠EDG=∠ADC=90°，所以∠EDG-∠ADE=∠ADC-∠ADE，即∠ADG=∠CDE，于是△AGD≌△CED；

②當CE=CD時，△CED和△AGD都成為等腰三角形，所以我們可過點A作AK⊥DG，如下圖：

正方形邊長為2，于是由“三線合一”可得GK=1，利用勾股定理求出AK=√15，同時AK∥GF可用來證明△GFH∽△AKG，得比例線段FG:AK=GH:AG，可求出GH=8√15/15；

(2)①可由“8字型”模型（叫蝴蝶也行，怎麼叫都行），由于△AGD≌△CED，因此∠DAG=∠DCE，所以∠APE=∠CDA=90°，于是AG⊥CP；

②即使是以DE為邊作正方形，而點D不動，隻有點E運動，因此它是整個運動的主動點，其餘是從動點，那麼點E如何運動？

這個問題好解決，點E在以點D為圓心，2為半徑的圓上運動。

我們繼續探究，CP的值何時最大？

CP所在的△APC是一個直角三角形，且斜邊AC是定長4√2，我們可利用三角函數來描述大小變化趨勢，考慮cos∠ACP=PC:AC，于是PC=AC·cos∠ACP，于是結論是當∠ACP越小，PC值越大；

∠ACP什麼時候最小呢？注意∠ACP=45°-∠DCE，再轉換一次，當∠DCE最大就行了；

那∠DCE什麼時候最大呢？

我們還是把那個點E所在的圓畫出來看下吧，如下圖：

圓D的位置和大小都是固定的，當CP為圓的割線時，∠DCE并不會最大，隻有當CP成為圓的切線時，∠DCE才最大，同時注意旋轉角α的範圍，如下圖：

根據切線的定義，此時DE⊥CP，P與F重合，觀察△DCE，它是一個直角三角形，且DE=2，CD=4，很明顯∠DCE=30°，用三角函數、特殊直角三角形三邊關系或者直接用勾股定理，計算出CE=2√3，所以PC最大值為2 2√3；

解題反思

這是一道常見旋轉背景的幾何壓軸題，圖1隻是引子，增強親切感，課本上與它類似的很多，因此第1小題也是以全等三角形開頭，起點并不高，同時這對全等三角形作為基礎條件，用來完成剩下小題的求解。

在第1小題進行了小拓展，特殊位置求線段長，考察了學生對等腰三角形三線合一，相似三角形的掌握，爬上第二個台階；在第2小題中，起手仍然較低，常規思路證明角相等；最後一個問題，難點在于理解什麼時候取最大值，以及為什麼取最大值。參考答案中并未對為什麼取最大值進行詳細說明，如果僅僅按答案進行講評，學生可能會聽得似懂非懂，因此在講壓軸題時，有必要将理由講清楚。

之所以選擇用圓的相關知識來解釋，其實也是符合題目條件中旋轉的描述，旋轉必有圓。

本題還可以進行拓展延伸，例如旋轉角範圍擴大，PC是否存在最大值和最小值？而要想把這個問題弄清楚，那對為什麼取最值的理解，要求更高了。

一道優秀的壓軸題，對所有考生來講，上手盡可能簡單，涉及模型盡量是常見模型，從熟悉的圖例中挖掘幾何命題，同時具備一定改編空間，也是這道題的亮點。

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