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一些三角函數的導數

圖文更新时间:2024-08-15 19:14:38

作者 | 大小吳

來源 | 大小吳的數學課堂

學過高等數學的你是否還記得這兩個式子

這裡給出的是三角函數和的導數，今天大小吳就和大家來聊聊如何直觀地理解它們。

1 導數

我們知道，在微積分中導數是一個非常重要的概念，即函數的自變量在一點上産生一個增量時，函數值的增量與的比值在趨于0時的極限，記為

一些三角函數的導數（如何直觀地理解三角函數的導數）1

一些三角函數的導數（如何直觀地理解三角函數的導數）2

由上圖也可以知道，當點無限趨近于點時，導數的幾何意義便是函數所代表的曲線在點上的切線斜率。

2 計算三角函數的導數

通過導數的定義我們可以計算三角函數和的導數（以為例）：

根據兩角和的正弦公式

代入以上極限，得到

由極限（證明略）

得到

即

這樣我們就得到了的導數。

3 直觀地理解三角函數的導數

通過上述計算我們同樣也可以得到的導數，但是你一定不想再來一遍了——因為整個過程略顯繁瑣與複雜。

那就讓我們換一個角度——通過幾何直觀來看看到底什麼是和的導數。

現在我們構造一個直角三角形，使其斜邊長：

一些三角函數的導數（如何直觀地理解三角函數的導數）3

設其中一個銳角為，則兩條直角邊分别為、.

别忘了，現在我們要求的是和的導數，回憶一下導數的定義是什麼，求導數需要什麼？

是的，我們需要微小的增量！然後再看看和會發生什麼變化。

對于角度，如果有一個微小的增量，會發生什麼？想象一下（如果你想好了，就可以滑動圖片查看）

一些三角函數的導數（如何直觀地理解三角函數的導數）4

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<<< 左右滑動見更多 >>>

在研究函數曲線的導數時，我們可以将某一部分進行“無限放大”，從而達到“以直代曲”的目的。

一些三角函數的導數（如何直觀地理解三角函數的導數）6

同樣地，在這裡我們也可以對直角三角形進行無限放大，看看會發生什麼（這裡也可以想象一下，然後看看是否和你想得一樣）。

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一些三角函數的導數（如何直觀地理解三角函數的導數）9

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如果增加的角度無限趨近于0（這時記為無窮小量），則不難想象直角三角形的新的斜邊與原來的斜邊是無限接近平行的，如果我們在無限放大的地方再構造一個直角三角形，會得到如下圖形：

一些三角函數的導數（如何直觀地理解三角函數的導數）10

我們發現，無限放大處的直角三角形和原來的直角三角形是相似的！又由于原直角三角形斜邊長為1，因此我們可以認為放大處的直角三角形斜邊即為，則兩條直角邊即為和.

因此，對于原來的直角邊來說，其增量是，對于原來的直角邊來說，其增量是.

因此，根據導數的定義，得到

參考文獻

[1]（美）阿德裡安·班納.普林斯頓微積分讀本（修訂版）[M].楊爽等譯.人民郵電出版社，2020.[2]（美）傑森·威爾克斯.燒掉數學書[M].唐璐譯.湖南科學技術出版社，2020.

一些三角函數的導數（如何直觀地理解三角函數的導數）11

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