對于形如y=asinx bcosx的三角式，可變形如下：

y=asinx bcosx

。由于上式中的

與

的平方和為1，故可記=cosθ，=sinθ，則

由此我們得到結論：

asinx bcosx=

，（*）其中θ由

來确定。通常稱式子（*）為輔助角公式，它可以将多個三角式的函數問題，最終化為y=Asin(

) k的形式。

下面就輔助角公式的應用，舉例分類簡析。

一. 求周期

例1、求函數

的最小正周期。解：

所以函數y的最小正周期T=π。

将三角式化為y=Asin(

) k的形式，是求周期的主要途徑。

二. 求最值

例2. 已知函數f(x)=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x。若

，求f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos²x sin²x)(cos²x-sin²x)-sin2x=cos2x-sin2x=

。由

。當

，即x=0時，

最小值

；當

時取最大值1。從而f(x)在

上的最大值是1，最小值是

。

三. 求單調區間

例3. 已知向量

，

，令

，求函數f(x)在[0，π]上的單調區間。解：

先由

。反之再由

。所以f(x)在

上單調遞增，在

上單調遞減。

以向量的形式給出條件或結論，是近兩年來三角命題的新趨勢，但最終仍要歸結為三角式的變形問題。而化為y=Asin(ωx ) k的形式，是求單調區間的通法。

四. 求值域

例4. 求函數

的值域。^解：

所以函數f(x)的值域是[-4，4]。

五. 畫圖象

例5. 已知函數f(x)=2sinx(sinx cosx)，畫出函數y=f(x)在區間

上的圖象。解：

由條件

。

列表如下

描點連線，圖象略。

六. 圖象對稱問題

例6. 如果函數y=sin2x acos2x的圖象關于直線x=對稱，那麼a=

（A）

（B）

（C）1

（D）-1

解：可化為

知

時，y取得最值

，即

七. 圖象變換

例7、已知函數

該函數的圖象可由

的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：

可将函數y=sinx的圖象依次進行下述變換：

（1）向左平移

，得到y=sin(x )的圖象；（2）将（1）中所得圖象上各點橫坐标變為原來的倍，縱坐标不變，得y=

的圖象；

（3）将（2）中所得圖象上各點縱坐标變為原來的倍，橫坐标不變，得y=sin(2x )的圖象；

（4）将（3）中所得圖象向上平移

個單位長度，得到y=sin(2x ) 的圖象。綜上，依次經過四步變換，可得y=

的圖象。

八. 求值

例8. 已知函數f(x)=

sinxcosx。設α∈（0，π），f(

)=

，求sinα的值。解：f(x)=

=sin

。由f=sin(

)

，得sin=

。又α∈（0，π）

。而sin

，故α

，則cos(α )=

。sinα=sin[

]=sin

=

=

。

化為一種角的一次式形式，可使三角式明晰規範。在求sinα時，巧用湊角法：α=（α ）-，并且判斷出α 的範圍，進而求出cos(α )的确切值，使整個求值過程方向明确，計算簡捷。

九. 求系數

例9. 若函數f(x)=

的最大值為2，試确定常數a的值。解：f(x)=

=

=

，其中角由sin=

來确定。由已知有

，解得a=

。

十. 解三角不等式

例10. 已知函數f(x)=sin²x sin2x，x

，求使f(x)為正值的x的集合。

解：f(x)=1-cos2x sin2x

=1

。由f(x)＞0，有sin

2x-

則得2kπ-

，故kπ＜x＜kπ

。再由x

[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是

。

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