1．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦 AC與 BD交于點 E，且 AC＝BD，連接 AD，BC．

（1）求證：△ADB≌△BCA；

（2）若 OD⊥AC，AB＝4，求弦 AC的長；

（3）在（2）的條件下，延長 AB支點 P，使 BP＝2，連接 PC．求證：PC是⊙O的切線．

2．（12分）如圖，已知 AB是⊙O的直徑，點 P是⊙O上一點，連接 OP，點 A關于 OP的

對稱點 C恰好落在⊙O上．

（1）求證：OP∥BC；

（2）過點 C座⊙O的切線 CD，交 AP的延長線于點 D．如果∠D＝90°，DP＝1，求

⊙O的直徑．

3．（12分）如圖，正六邊形 ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直徑，連接 BF，延長 BA，

過 F作 FG⊥BA，垂足為 G．

（1）求證：FG是⊙O的切線；

（2）已知 FG＝2 ，求圖中陰影部分的面積．

4．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以 AB為直徑的⊙O與邊 BC，AC分别交于 D，

E兩點，過點 D作 DH⊥AC于點 H．

（1）判斷 DH與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）求證：H為 CE的中點；

（3）若 BC＝10，cos∠C＝√5/5 ，求 AE的長．

5．（12分）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為圓上的兩點，OC∥BD，弦 AD，BC相交于

點 E．

（1）求證： ＝ ；

（2）若 CE＝1，EB＝3，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，過點 C作⊙O的切線，交 BA的延長線于點 P，過點 P作 PQ∥

CB交⊙O于 F，Q兩點（點 F在線段 PQ上），求 PQ的長．

6．（12分）如圖，在菱形 ABCD中，連接 BD、AC交叉點 O，過點 O作 OH⊥BC于點 H，

一點 O為圓心，OH為半徑的半圓角 AC于點 M．

①求證：DC是⊙O的切線．

②若 AC＝4MC且 AC＝8，求圖中陰影部分的面積．

③在②的條件下，P是線段 BD上的一動點，當 PD為和值時，PH PM的值最小，并求

出最小值．

7．（12分）已知：如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，且 AB＝AC，D是 AO延長線上一點，

聯結 BD并延長交⊙O于點 E，連接 CD并延長交⊙O于點 F．

（1）求證：BD＝CD；

（2）如果 AB2＝AO•AD，求證：四邊形 ABDC是菱形．

8．（12分）如圖 1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點 C作∠BCD＝∠

ACB交⊙O于點 D，連接 AD交 BC于點 E，延長 DC支點 F，使 CF＝AC，連接 AF．

（1）求證：ED＝EC；

（2）求證：AF是⊙O的切線；

（3）如圖 2，熱點 G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求 BG的長．

9．（12分）如圖，已知銳角三角形 ABC内接于圓 O，OD⊥BC于點 D，連接 OA．

（1）若∠BAC＝60°，

①求證：OD＝ OA．

②當 OA＝1時，求△ABC面積的最大值．

（2）點 E在線段 OA上，OE＝OD，連接 DE，設∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED

（m，n是正數），若∠ABC＜∠ACB，求證：m﹣n 2＝0．

10．（14分）如圖 1，⊙O經過等邊△ABC的頂點 A，C（圓心 O在△ABC内），分别與 AB，

CB的延長線交于點 D，E，連結 DE，BF⊥EC交 AE于點 F．

（1）求證：BD＝BE．

（2）當 AF：EF＝3：2，AC＝6時，求 AE的長．

（3）設 ＝x，tan∠DAE＝y．

①求 y關于 x的函數表達式；

②如圖 2，連結 OF，OB，若△AEC的面積是△OFB面積的 10倍，求 y的值．

11．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，M、D兩點在 AB的延長線上，E是⊙C上的點，且

DE2＝DB•DA，延長 AE至 F，使得 AE＝EF，設 BF＝10，cos∠BED＝ ．

（1）求證：△DEB∽△DAE；

（2）求 DA，DE的長；

（3）熱點 F在 B、E、M三點确定的圓上，求 MD的長．

12．（10分）如圖，抛物線 y＝ax2 6ax（a為常數，a＞0）與 x軸交于 O，A兩點，點 B為

抛物線的頂點，點 D的坐标為（t，0）（﹣3＜t＜0），連接 BD并延長與過 O，A，B三點

的⊙P相交于點 C．

（1）求點 A的坐标；

（2）過點 C作⊙P的切線 CE交 x軸于點 E．

①如圖 1，求證：CE＝DE；

②如圖 2，連接 AC，BE，BO，當 a＝ ，∠CAE＝∠OBE時，求 ﹣ 的值．

1.【分析】（1）可證∠ACB＝∠ADB＝90°，則由 HL定理可證明結論；

（2）可證 AD＝BC＝DC，則∠AOD＝∠ABC＝60°，由直角三角形的性質可求出 AC的

長；

（3）可得出 BC＝BP＝2，∠BCP＝30°，連接 OC，可證出∠OCP＝90°，則結論得證．

【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵AB＝AB，

∴△ADB≌△BCA（HL）；

（2）解：如圖，連接 DC，

∵OD⊥AC，

∴ ，

∴AD＝DC，

∵△ADB≌△BCA，

∴AD＝BC，

∴AD＝DC＝BC，

∴∠AOD＝∠ABC＝60°，

∵AB＝4，

∴ ；

（3）證明：如圖，連接 OC，

∵BC＝BP＝2

∴∠BCP＝∠P，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BCP＝30°，

∵OC＝OB，∠ABC＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OCB＝60°，

∴∠OCP＝∠OCB ∠BCP＝60° 30°＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線．

【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，全等三角形的判定和性質，等邊三

角形的性質，直角三角形的性質，添加恰當輔助線是本題的關鍵．

2.【分析】（1）由題意可知 ＝ ，根據同弧所對的圓心角相等得到∠AOP＝∠POC＝

∠AOC，再根據同弧所對的圓心角和圓周角的關系得出∠ABC＝ ∠AOC，利用同位

角相等兩直線平行，可得出 PO與 BC平行；

（2）由 CD為圓 O的切線，利用切線的性質得到 OC垂直于 CD，有 AD垂直于 CD，利

用平面内垂直于同一條直線的兩直線平行得到 OC與 AD平行，根據兩直線平行内錯角相

等得到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代換可得出∠APO＝∠AOP，再由 OA

＝OP，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出三角形 AOP三内角相等，

确定出三角形 AOP為等邊三角形，根據等邊三角形的内角為 60°得到∠AOP為 60°，

由 OP平行于 BC，利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由 OB

＝OC，得到三角形 OBC為等邊三角形，可得出∠COB為 60°，利用平角的定義得到∠

POC也為 60°，再加上 OP＝OC，可得出三角形 POC為等邊三角形，得到内角∠OCP

為 60°，可求出∠PCD為 30°，在直角三角形 PCD中，利用 30°所對的直角邊等于斜

邊的一半可得出 PD為 PC的一半，而 PC等于圓的半徑 OP等于直徑 AB的一半，可得

出 PD為 AB的四分之一，即 AB＝4PD＝4．

【解答】（1）證明：∵A關于 OP的對稱點 C恰好落在⊙O上．

∴ ＝

∴∠AOP＝∠COP，

∴∠AOP＝ ∠AOC，

又∵∠ABC＝ ∠AOC，

∴∠AOP＝∠ABC，

∴PO∥BC；

（2）解：連接 PC，

∵CD為圓 O的切線，

∴OC⊥CD，又 AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠APO＝∠COP，

∵∠AOP＝∠COP，

∴∠APO＝∠AOP，

∴OA＝AP，

∵OA＝OP，

∴△APO為等邊三角形，

∴∠AOP＝60°，

又∵OP∥BC，

∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又 OC＝OB，

∴△BCO為等邊三角形，

∴∠COB＝60°，

∴∠POC＝180°﹣（∠AOP ∠COB）＝60°，又 OP＝OC，

∴△POC也為等邊三角形，

∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，

又∵∠OCD＝90°，

∴∠PCD＝30°，

在 Rt△PCD中，PD＝ PC，

又∵PC＝OP＝ AB，

∴PD＝ AB，

∴AB＝4PD＝4．

【點評】此題考查了切線的性質，等邊三角形的判定與性質，含 30°直角三角形的性質，

軸對稱的性質，圓周角定理，以及平行線的判定與性質，熟練掌握性質及判定是解本題

的關鍵．

3.【分析】（1）連接 OF，AO，由 AB＝AF＝EF，得到 ＝ ＝ ，求得∠ABF＝∠AFB

＝∠EBF＝30°，得到 AB∥OF，求得 OF⊥FG，于是得到結論；

（2）由 ＝ ＝ ，得到∠AOF＝60°，得到△AOF是等邊三角形，求得∠AFO＝60°，

得到 AO＝4，根據扇形的面積公式即可得到結論．

【解答】（1）證明：連接 OF，AO，

∵AB＝AF＝EF，

∴ ＝ ＝ ，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，

∵OB＝OF，

∴∠OBF＝∠BFO＝30°，

∴∠ABF＝∠OFB，

∴AB∥OF，

∵FG⊥BA，

∴OF⊥FG，

∴FG是⊙O的切線；

（2）解：∵ ＝ ＝ ，

∴∠AOF＝60°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等邊三角形，

∴∠AFO＝60°，

∴∠AFG＝30°，

∵FG＝2 ，

∴AF＝4，

∴AO＝4，

∵AF∥BE，

∴S△ABF＝S△AOF，

∴圖中陰影部分的面積＝ ＝ ．

【點評】本題考查了正多邊形與圓，切線的判定，等邊三角形的判定和性質，扇形的面

積的計算，正确的作出輔助線是解題的關鍵．

4.【分析】（1）連結 OD、AD，如圖，先利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，則根據等腰

三角形的性質得 BD＝CD，再證明 OD為△ABC的中位線得到 OD∥AC，加上 DH⊥AC，

所以 OD⊥DH，然後根據切線的判定定理可判斷 DH為⊙O的切線；

（2）連結 DE，如圖，有圓内接四邊形的性質得∠DEC＝∠B，再證明∠DEC＝∠C，然

後根據等腰三角形的性質得到 CH＝EH；

（3）利用餘弦的定義，在 Rt△ADC中可計算出 AC＝5 ，在 Rt△CDH中可計算出 CH

＝ ，則 CE＝2CH＝2 ，

然後計算 AC﹣CE即可得到 AE的長．

【解答】（1）解：DH與⊙O相切．理由如下：

連結 OD、AD，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

而 AO＝BO，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴OD⊥DH，

∴DH為⊙O的切線；

（2）證明：連結 DE，如圖，

∵四邊形 ABDE為⊙O的内接四邊形，

∴∠DEC＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠DEC＝∠C，

∵DH⊥CE，

∴CH＝EH，即 H為 CE的中點；

（3）解：在 Rt△ADC中，CD＝ BC＝5，

∵cosC＝ ＝ ，

∴AC＝5 ，

在 Rt△CDH中，∵cosC＝ ＝ ，

∴CH＝ ，

∴CE＝2CH＝2 ，

∴AE＝AC﹣CE＝5 ﹣2 ＝3 ．

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、切線的判定定理和等腰三角形的判

定與性質；會利用三角函數的定義解直角三角形．

5.【分析】（1）由等腰三角形的性質和平行線的性質可得∠OBC＝∠CBD，即可證 ＝ ；

（2）通過證明△ACE∽△BCA，可得 ，可得 AC＝2，由勾股定理可求 AB的長，

即可求⊙O的半徑；

（ 3）過點 O 作 OH⊥FQ 于點 H，連接 OQ，通過證明△APC∽△CPB，可得

，可求 PA＝ ，即可求 PO的長，通過證明△PHO∽△BCA，

可求 PH，OH的長，由勾股定理可求 HQ的長，即可求 PQ的長．

【解答】證明：（1）∵OC＝OB

∴∠OBC＝∠OCB

∵OC∥BD

∴∠OCB＝∠CBD

∴∠OBC＝∠CBD

∴

（2）連接 AC，

∵CE＝1，EB＝3，

∴BC＝4

∵

∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB

∴△ACE∽△BCA

∴

∴AC2＝CB•CE＝4×1

∴AC＝2，

∵AB是直徑

∴∠ACB＝90°

∴AB＝ ＝2

∴⊙O的半徑為

（3）如圖，過點 O作 OH⊥FQ于點 H，連接 OQ，

∵PC是⊙O切線，

∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°

∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA

∴△APC∽△CPB

∴

∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB

∴4PA2＝PA×（PA 2 ）

∴PA＝

∴PO＝

∵PQ∥BC

∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°

∴△PHO∽△BCA

∴

即

∴PH＝ ，OH＝

∴HQ＝ ＝

∴PQ＝PH HQ＝

【點評】本題考查了切線的性質，圓的有關知識，相似三角形的判定和性質，勾股定理，

求出 PA的長是本題的關鍵．

6.【分析】①作 OH⊥BC，證明 OH為圓的半徑，即可求解；

②利用 S 陰影＝S△OCB﹣S 扇形OHM＝ CH•OH﹣ OH2，即可求解；

③作M關于 BD的對稱點N，連接HN交 BD于點 P，PH PM＝PH PN＝HN，此時 PH PM

最小，即可求解．

【解答】解：①過點 O作 OG⊥CD，垂足為 G，

在菱形 ABCD中，AC是對角線，則 AC平分∠BCD，

∵OH⊥BC，OG⊥CD，

∴OH＝OG，

∴OH、OG都為圓的半徑，即 DC是⊙O的切線；

②∵AC＝4MC且 AC＝8，

∴OC＝2MC＝4，

MC＝OM＝2，

∴OH＝2，

在直角三角形 OHC中，HO＝ CO，

∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，

∴HC＝ ，OB＝

S 陰影＝S△OCB﹣S 扇形OHM＝ CO•OB﹣ OH2＝ ﹣ ；

③作 M關于 BD的對稱點 N，連接 HN交 BD于點 P，

∵PM＝NP，

∴PH PM＝PH PN＝HN，此時 PH PM最小，

∵ON＝OM＝OH，

∠MOH＝60°，

∴∠MNH＝30°，

∴∠MNH＝∠HCM，

∴HN＝HC＝2 ，

即：PH PM的最小值為 2 ，

在 Rt△NPO中，

OP＝ONtan30°＝ ，

在 Rt△COD中，

OD＝OCtan30°＝ ，

則 PD＝OP OD＝2 ．

【點評】本題為圓的綜合運用題，涉及到圓切線的性質及應用、點的對稱性、解直角三

角形等知識，其中③，通過點的對稱性确定 PH PM最小，是本題的難點和關鍵．

7.【分析】（1）連接 BC，根據 AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出 AD垂直平分 BC，根

據線段垂直平分線性質求出即可；

（2）根據相似三角形的性質和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出 BD＝AB，再根

據菱形的判定推出即可．

【解答】證明：（1）如圖 1，連接 BC，OB，OC，

∵AB、AC是⊙O的兩條弦，且 AB＝AC，

∴A在 BC的垂直平分線上，

∵OB＝OA＝OC，

∴O在 BC的垂直平分線上，

∴AO垂直平分 BC，

∴BD＝CD；

（2）如圖 2，連接 OB，

∵AB2＝AO•AD，

∴ ＝ ，

∵∠BAO＝∠DAB，

∴△ABO∽△ADB，

∴∠OBA＝∠ADB，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB，

∴∠OAB＝∠BDA，

∴AB＝BD，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AB＝AC＝BD＝CD，

∴四邊形 ABDC是菱形．

【點評】本題考查了相似三角形的性質和判定，圓心角、弧、弦之間的關系，線段垂直

平分線的性質，菱形的判定，垂徑定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題

的關鍵．

8.【分析】（1）由 AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，結合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得

∠BCD＝∠ADC，從而得證；

（2）連接 OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF ∠CFA＝2∠CAF，結合∠ACB＝∠

BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，據此可知 AF∥BC，從而得 OA⊥AF，從而

得證；

（3）證△ABE∽△CBA得 AB2＝BC•BE，據此知 AB＝5，連接 AG，得∠BAG＝∠BAD

∠DAG，∠BGA＝∠GAC ∠ACB，由點 G為内心知∠DAG＝∠GAC，結合∠BAD ∠DAG

＝∠GAC ∠ACB得∠BAG＝∠BGA，從而得出 BG＝AB＝5．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，

∴∠BCD＝∠ADC，

∴ED＝EC；

（2）如圖 1，連接 OA，

∵AB＝AC，

∴ ＝ ，

∴OA⊥BC，

∵CA＝CF，

∴∠CAF＝∠CFA，

∴∠ACD＝∠CAF ∠CFA＝2∠CAF，

∵∠ACB＝∠BCD，

∴∠ACD＝2∠ACB，

∴∠CAF＝∠ACB，

∴AF∥BC，

∴OA⊥AF，

∴AF為⊙O的切線；

（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，

∴△ABE∽△CBA，

∴ ＝ ，

∴AB2＝BC•BE，

∴BC•BE＝25，

∴AB＝5，

如圖 2，連接 AG，

∴∠BAG＝∠BAD ∠DAG，∠BGA＝∠GAC ∠ACB，

∵點 G為内心，

∴∠DAG＝∠GAC，

又∵∠BAD ∠DAG＝∠GAC ∠ACB，

∴∠BAG＝∠BGA，

∴BG＝AB＝5．

【點評】本題是圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握圓心角定理、切線的判定與性質、相

似三角形的判定與性質等知識點．

9.【分析】（1）①連接 OB、OC，則∠BOD＝ BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC

長度為定值，△ABC面積的最大值，要求 BC邊上的高最大，即可求解；

（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣m x﹣n x＝ ∠BOC＝∠DOC，而∠AOD

＝∠COD ∠AOC＝180°﹣m x﹣n x 2mx＝180° m x﹣n x，即可求解．

【解答】解：（1）①連接 OB、OC，

則∠BOD＝ BOC＝∠BAC＝60°，

∴∠OBC＝30°，

∴OD＝ OB＝ OA；

②∵BC長度為定值，

∴△ABC面積的最大值，要求 BC邊上的高最大，

當 AD過點 O時，AD最大，即：AD＝AO OD＝ ，

△ABC面積的最大值＝ ×BC×AD＝ ×2OBsin60°× ＝ ；

（2）如圖 2，連接 OC，

設：∠OED＝x，

則∠ABC＝m x，∠ACB＝n x，

則∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣m x﹣n x＝ ∠BOC＝∠DOC，

∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，

∴∠AOD＝∠COD ∠AOC＝180°﹣m x﹣n x 2mx＝180° m x﹣n x，

∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，

即：180° m x﹣n x＝180°﹣2x，

化簡得：m﹣n 2＝0．

【點評】本題為圓的綜合運用題，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），

∠AOD＝∠COD ∠AOC是本題容易忽視的地方，本題難度适中．

10.【分析】（1）根據等邊三角形的性質和圓周角定理解答即可；

（2）過點 A座 AG⊥BC于點 G，根據等邊三角形的性質和勾股定理解得即可；

（3）①過點 E作 EH⊥AD于點 H，根據三角函數和函數解析式解得即可；

②過點 O作 OM⊥BC于點 M，根據相似三角形的判定和性質解答即可．

【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝∠C＝60°，

∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，

∴∠DEB＝∠D，

∴BD＝BE；

（2）如圖 1，過點 A座 AG⊥BC于點 G，

∵△ABC是等邊三角形，AC＝6，

∴BG＝ ，

∴在 Rt△ABG中，AG＝ BG＝3 ，

∵BF⊥EC，

∴BF∥AG，

∴ ，

∵AF：EF＝3：2，

∴BE＝ BG＝2，

∴EG＝BE BG＝3 2＝5，

在 Rt△AEG中，AE＝ ；

（3）①如圖 1，過點 E作 EH⊥AD于點 H，

∵∠EBD＝∠ABC＝60°，

∴在 Rt△BEH中， ，

∴EH＝ ，BH＝ ，

∵ ，

∴BG＝x BE，

∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，

∴AH＝AB BH＝2xBE BE＝（2x ）BE，

∴在 Rt△AHE中，tan∠EAD＝ ，

∴y＝ ；

②如圖 2，過點 O作 OM⊥BC于點 M，

攝 BE＝a，

∵ ，

∴CG＝BG＝x BE＝ax，

∴EC＝CG BG BE＝a 2ax，

∴EM＝ EC＝ a ax，

∴BM＝EM﹣BE＝ax﹣ a，

∵BF∥AG，

∴△EBF∽△EGA，

∴ ，

∵AG＝ ，

∴BF＝ ，

∴△OFB的面積＝ ，

∴△AEC的面積＝ ，

∵△AEC的面積是△OFB的面積的 10倍，

∴ ，

∴2x2﹣7x 6＝0，

解得： ，

∴ ，

【點評】此題是圓的綜合題，關鍵是根據等邊三角形的性質、勾股定理和相似三角形的

判定和性質解答．

11.【分析】（1）∠D＝∠D，DE2＝DB•DA，即可求解；

（2）由 ，即： ，即可求解；

（3）在△BED中，過點 B作 HB⊥ED于點 H，36﹣（ ﹣x）2＝（ ）2﹣x2，解得：

x＝ ，則 cos∠β＝ ＝ ，即可求解．

【解答】解：（1）∵∠D＝∠D，DE2＝DB•DA，

∴△DEB∽△DAE；

（2）∵△DEB∽△DAE，

∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，又 AE＝EF，

∴AB＝BF＝10，∴∠BFE＝∠BAE＝α，則 BF⊥ED交于點 H，

∵cos∠BED＝ ，則 BE＝6，AE＝8

∴ ，即： ，

解得：BD＝ ，DE＝ ，

則 AD＝AB BD＝ ，

ED＝ ；

（3）點 F在 B、E、M三點确定的圓上，則 BF是該圓的直徑，連接 MF，

∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，

在△BED中，過點 B作 HB⊥ED于點 H，

攝 HD＝x，則 EH＝ ﹣x，

則 36﹣（ ﹣x）2＝（ ）2﹣x2，

解得：x＝ ，

則 cos∠β＝ ＝ ，則 sin∠β＝ ，

MB＝BF sin∠β＝10× ＝ ，

DM＝BD﹣MB＝ ．

【點評】此題屬于圓的綜合題，涉及了直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質、

三角函數值的知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的内容，對學生的綜合

能力要求較高，一定要注意将所學知識貫穿起來．

12.【分析】（1）令 y＝0，可得 ax（x 6）＝0，則 A點坐标可求出；

（2）①連接 PC，連接 PB延長交 x軸于點 M，由切線的性質可證得∠ECD＝∠COE，

則 CE＝DE；

②攝 OE＝m，由 CE2＝OE•AE，可得 ，由∠CAE＝∠OBE 可得 ，則

，綜合整理代入 可求出 的值．

【解答】解：（1）令 ax2 6ax＝0，

ax（x 6）＝0，

∴A（﹣6，0）；

（2）①證明：如圖，連接 PC，連接 PB，延長交 x軸于點 M，

∵⊙P過 O、A、B三點，B為頂點，

∴PM⊥OA，∠PBC ∠BOM＝90°，

又∵PC＝PB，

∴∠PCB＝∠PBC，

∵CE為切線，

∴∠PCB ∠ECD＝90°，

又∵∠BDP＝∠CDE，

∴∠ECD＝∠COE，

∴CE＝DE．

②解：設 OE＝m，即 E（m，0），

由切割線定理得：CE2＝OE•AE，

∴（m﹣t）2＝m•（m 6），

∴ ①，

∵∠CAE＝∠CBD，

∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，

由角平分線定理： ，

即： ，

∴ ②，

由①②得 ，

整理得：t2 18t 36＝0，

∴t2＝﹣18t﹣36，

∴ ．

【點評】本題是二次函數與圓的綜合問題，涉及二次函數圖象與 x軸的交點坐标、切線

的性質、等腰三角形的判定、切割線定理等知識．把圓的知識鑲嵌其中，會靈活運用圓

的性質進行計算是解題的關鍵．

聲明：試題解析著作權屬菁優網所有，未經書面同意，不得複制發布

日期：2019/8/7 0:03:13；用戶：初中數學；郵箱：13838033393；學号：26522812

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