（接上文）

父：你明白了這個計算原理，就可以自己推導出這個問題的一般公式了。我們用數學語言表達就是：設m,n是兩個自然數，并且m<n,那麼從m到n的自然數之和是Smn=?

女：這個就是代入就行了吧。根據自然數求和公式：

Smn=Sn-Sm

Smn=n(n 1)/2-m(m 1)/2

父：哈哈，你都自己推導出第二個公式啦！你完全可以自己命名這個公式了，自己做出的數學成果啊！你可以看看，如果m=0代表什麼意思？公式變成什麼了？

女： m=0時，這個就是

Sn=n(n 1)/2

父：對，說明上一個公式涵蓋了這個公式，這個公式是上個公式的特殊形式。然後我們再看看以下的特殊形式：

2、4、6、8、10 、……

1、3、5、7、9、……

認識這兩個數列嗎？

女：嗯，知道。第一個是偶數數列，第二個是奇數數列。

父：不錯，那麼用數學語言是怎麼定義的偶數和奇數？

女：偶數就是可以被2整除的自然數，不能被2整除的自然數叫奇數。

父：對，那用數學語言是怎麼表示的呢

女：偶數就是2n,奇數就是2n-1

父：好，這個時候一定要标明n是自然數，所以這兩個數列就可以寫成

2、4、6、8、10 、……2n

1、3、5、7、9、……2n-1

那你考慮以下這兩個數列求和，先算偶數列

女：歐了，是我展現實力的時候到了！讓我想想用什麼方法啊。如圖：

圖1

Sn=2 4 6 …… 2n=(2 2n)*n/2=n(n 1) ,怎麼樣，對不對？

父：哈哈，答案是對的，看來你喜歡上圖形法了。你看看這個偶數求和跟自然數求和有啥關系？

自然數求和 Sn=n(n 1)/2

偶數求和 Sn=n(n 1)

女：偶數求和是自然數求和的兩倍，哦我明白了

Sn=2 4 6 …… 2n=2（1 2 3 …… n)=2*n(n 1)/2=n(n 1)

偶數列求和就是兩倍的自然數列求和，哈哈。

父：是的，這樣你就更深入的了解了這兩個數量的關系。并且理解了通過已知的公式推導和計算省去了很多力氣。按照這個思路，你考慮下奇數列求和

女：明白，我想想我有思路啦！Sn=1 3 5 …… 2n-1=(2 4 6 …… 2n)-n=n(n 1)-n=n² 好家夥，竟然是這樣

Sn=1 3 5 …… 2n-1=n²

父：你發現啦，竟然是n的平方。同樣一個事物，用不同的眼光去看，用不同的語言表達，你會驚奇的發現内在的聯系，這就是認識的加深。比如我給你出一道題，你們學校組織操場上列隊形，有81個同學，要求排成縱隊，每縱隊比旁邊一列縱隊多兩名同學，請問應該如何排？

女：如果不是今天講了這個，我的思路可能就是在紙上亂畫。有了這個公式，題目其實是一個奇數求和的問題。9*9=81，所以，應該排成9列縱隊，數字分别是：

1、3、5、7、9、11、13、15、17

父：哈哈，你進步很大啊！那你再想想，偶數列，奇數列與自然數列求和的關系。

女：奇數和偶數相互交替出現，那麼奇數列與偶數列之和就是自然數列。

父：那你能用公式推導驗證一下嗎

女：我試試，

n之前的偶數求和是 Sn=n(n 1)

n之前的奇數求和是 Sn=1 3 5 …… 2n-1=n²

n的自然數列求和是 Sn=n(n 1)/2

欸……，按道理應該是

奇數列 偶數=自然數列

這明顯不相等啊！

父：呵呵，是啊，問題在哪呢？我給你看下數據啊

我們僅算前4項：

自然數列=1 2 3 4=10

奇數列=1 3 5 7=16

偶數列=2 4 6 8=20

奇 偶=1 2 3 4 5 6 7 8=36

女：我明白了，這加起來不一樣啊。

父：所以，很多事情，特别是數學，不能想當然。這裡的n代表的是項的序數，而不是此項的數字。隻有自然數列項序數和項的數字是一緻的。那怎樣就讓這個等式成立呢？

女：這……，好複雜。

父：不複雜啊，如果一個自然數列：1、2、3、……、n. 那麼這裡面有多少個偶數項，多少個奇數項呢。

女：嗯，這個我可以考慮下。1、2、3、4 就有兩個偶數，兩個奇數；如果是1、2、3、4、5就有2個偶數，三個奇數。這不一定啊，如果n是偶數，那麼偶數與奇數都有n/2項；如果n是奇數，那麼偶數就有(n-1)/2 項，奇數就有（n-1)/2 1項。怎麼樣，沒錯吧

父：好，你可以試驗一下，如果是100以下的偶數項之和是多少，奇數項之和是多少？

女：偶數項之和，100是偶數，共有50個偶數項和50個奇數項，所以偶數項之和是50*（50 1）=2550，奇數項之和是50*50=2500，兩者相加是5050. 回答正确，加十分！

父：哈哈哈哈哈，好的。你看啊，自然數列是相鄰兩項之差為1，偶數項與奇數項都是相鄰兩項之差為2，咱們算一個兩項之差為3的，如下：

1，4，7，10，13，16，……，（ ）

第一個問題是，你能不能列出通項公式？

第二個問題，你能不能推出這個數列求和公式？

（未完待續）

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