對于連續函數大家都知道，一般我們所接觸的連續函數都能找到在一段區域裡可導。而在數學的發展過程中，數學家猜測有沒有處處連續又處處不可導的函數呢？一般的函數把它局部放大，當它放大到一定程度，就會是一條光滑的曲線。隻要光滑就肯定可導。那麼處處連續處處不可導的函數，不管怎麼放大，一定不會出現光滑的曲線，後來這樣函數被數學家找到了，現在給出Van Der Waerden在1930年找到的一個函數，是用無窮級數表示的：
首先證明這個無窮級數在負無窮到正無窮區域内連續。
該證明需要用到函數項級數裡的兩個定理，第一個是函數項級數一緻收斂的Weierstrass判别法。這裡先解釋一下一緻收斂。
一緻收斂其實就是函數項級數在各個點的收斂速度一緻，收斂速度與函數點的位置無關。
一緻收斂的Weierstrass判别法：
證明略。第二個定理是對于一緻收斂的函數項級數，極限運算與無限求和運算可以交換順序。
連續性定理：
證明略。有了這兩個定理，下面繼續證明這個無窮級數在負無窮到正無窮區域内連續。
接下來是該證明最關鍵的地方：
當第m位小數點是0,1,2,3,5,6,7,8這些數時，小數位上加1，這樣，原來小數位的數大于等于5，經過這樣的操作之後，小數位的數還是大于等于5；原來小數位的數小于5，經過這樣操作，小數位的數還是小于5。
這個極限是不存在的，也就是函數的導數不存在。
實際上現實生活中到處有這樣的處處連續處處不可導的函數，比如海岸線，首先海岸線是連續的，從地圖上看海岸線彎彎曲曲不光滑的，如果試圖放大去找光滑的曲線，我們去海邊觀察海岸線，會發現局部有更多的地圖上沒有顯示出的皺褶。無論怎麼放大，曲線總有皺褶。反而是在生活難以找到理論上光滑的曲線，光滑的玻璃把它放大也會看到它并不是平整的，任何平面都有粗糙度，褶皺恰恰是常态。
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