二階線性常微分方程的特征方程?先來看個例子,下面的公式是為了适應相關應用而特意采用的表達形式,其中要求解的一元函數是x(t),β(阻尼系數)和ω₀(固有角頻率)是常數,f(t)是關于t的已知函數,今天小編就來說說關于二階線性常微分方程的特征方程?下面更多詳細答案一起來看看吧!
先來看個例子,下面的公式是為了适應相關應用而特意采用的表達形式,其中要求解的一元函數是x(t),β(阻尼系數)和ω₀(固有角頻率)是常數,f(t)是關于t的已知函數。
(d²/dt²)x 2β(d/dt)x ω₀²x = f(t)
如果f(t)≡0,則此方程為齊次方程。顯然,如果将(d²/dt²) 2β(d/dt) ω₀² = A看成是一個算符(或算子),則此是一個線性算符。采用算符表示相應的齊次方程(f(t)≡0)如下
A x = 0
如果x₁(t)和x₂(t)是此齊次方程的解,則其線性組合k₁ x₁(t) k₂ x₂(t)也必然是其解,其中k₁和k₂為任意常數。
一)齊次方程 A x = 0 的求解
求解這個齊次方程的關鍵在于确定其解的大緻形式。我們知道,指數函數e^(λt)的n階導數是
(dⁿ/dtⁿ)e^(λt) = λⁿe^(λt)
如果假設上述相關齊次方程的解具有形式 k e^(λt),其中k和λ是常數,代入方程得
A k e^(λt) = k(λ² 2βλ ω₀²)e^(λt) = 0
顯然e^(λt) ≠ 0,k ≠ 0(若k=0則x(t)≡0,這是個平凡解),由此得方程
(λ² 2βλ ω₀²) = 0
這個是齊次方程 A x = 0 的特征方程。由此特征方程可解得兩個根λ₁和λ₂,若此根非重(即λ₁≠λ₂)則代入得通解
k₁ e^(λ₁t) k₂ e^(λ₂t)
其中 k₁ 和 k₂ 為待定常數。
如果特征方程的根是重根,即λ₁=λ₂=λ=-β,則假設齊次方程的解具有如下形式
k₂te^(λt)
代入方程得
k₂((λ² 2βλ ω₀²)t 2β 2λ)e^(λt) = 0
顯然λ² 2βλ ω₀²=0且2β 2λ=0,即k₂te^(λt)為方程的解。再加上解k₁e^(λ₁t)得重根下的通解
(k₁ k₂t)e^(λt)
現在考慮特征方程的兩個複數根的情況,即
λ=(-β±j√(ω₀²-β²))
代入通解k₁e^(λ₁t) k₂e^(λ₂t)得
e^(-βt)(k₁ e^( jωt) k₂ e^(-jωt))
其中ω=√(ω₀²-β²)
實際解為其實部,即
x(t) = e^(-βt)(k₁ cos(ωt) k₂ cos(ωt))
總結上述解,可歸納為三種情況
1)β>ω₀
此為過阻尼,無振蕩。
2)β=ω₀
此為臨界阻尼,無振蕩。
3)β<ω₀
此為欠阻尼,振蕩。
此外,還有幾個需要關注的參數
1)ω=√(ω₀²-β²))
振蕩角頻率
2)τ=1/(2β)
能量衰減的時間常數
3)Q=ωτ
品質因數
二)非齊次方程 A x = f₀cos(ωt) 的解
将方程表示成複數形式,即
A x = f₀e^(jωt)
假設此方程有如下形式的解
K e^(jωt)
其中K是個複常數,代入方程得
K(ω₀² - ω² j2βω)e^(jωt) = f₀e^(jωt)
解得K為
K = f₀/(ω₀² - ω² j2βω)
即得特解
[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt)
再加上齊次方程的通解,便得到此非齊次方程的通解
[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt) k₁ e^(λ₁t) k₂ e^(λ₂t)
或
[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt) (k₁ k₂t)e^(λt)
三)應用舉例
前面對二階常系數線性齊次方程和f(t)=f₀cos(ωt)的特定非齊次方程給出了求解過程,下面具體分析幾個應用
1)彈簧阻尼振動系統
此系統遵循三個規律
a)牛頓第二定律——F = m a = m (d²/dt²)x
b)胡克定律——F = - k x
c)摩擦力——F = - γ v = - γ (d/dt)x
按力的疊加原理得方程
(d²/dt²)x (γ/m)(d/dt)x k/m = f(t)
其中f(t)為外加力。
對比方程(d²/dt²)x 2β(d/dt)x ω₀²x = f(t),可知
β = γ/(2m)
ω₀² = k/m
特别的,若f(t)=f₀cos(ωt)(受迫振動)時,其穩态振幅是
f₀/√((ω₀² - ω²)² 4β²ω²)
=f₀/√(((k/m)² - ω²)² (γ/m)²ω²)
當ω=√(ω₀²-2β²)=√(k/m-(γ/m)²/2)時(即共振),具有最大振幅
f₀/(2β√(ω₀²-β²))
=f₀/((γ/m)√(k/m-(γ/m)²/4))
顯見,β較之ω₀越小,則ω越接近于ω₀,而此時振幅越大。
2)具有激勵源f(x)=U₀sin(ωt)的RLC串聯電路
顯然,其KVL方程為
R i (1/C)∫i dt L(d/dt)i = U₀sin(ωt)
兩邊求導數得
(d²/dt²)i (R/L)(d/dt)i i/(LC) = (ωU₀/L)cos(ωt)
對比方程(d²/dt²)i 2β(d/dt)i ω₀²i = f₀cos(ωt),有
β = R/(2L)
ω₀² = 1/(LC)
f₀ = (ωU₀/L)
類似可得到各種情況下的解,在此略。
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