二階線性常微分方程的特征方程?先來看個例子，下面的公式是為了适應相關應用而特意采用的表達形式，其中要求解的一元函數是x(t)，β（阻尼系數）和ω₀（固有角頻率）是常數，f(t)是關于t的已知函數，今天小編就來說說關于二階線性常微分方程的特征方程?下面更多詳細答案一起來看看吧!

二階線性常微分方程的特征方程

先來看個例子，下面的公式是為了适應相關應用而特意采用的表達形式，其中要求解的一元函數是x(t)，β（阻尼系數）和ω₀（固有角頻率）是常數，f(t)是關于t的已知函數。

(d²/dt²)x 2β(d/dt)x ω₀²x = f(t)

如果f(t)≡0，則此方程為齊次方程。顯然，如果将(d²/dt²) 2β(d/dt) ω₀² = A看成是一個算符（或算子），則此是一個線性算符。采用算符表示相應的齊次方程（f(t)≡0）如下

A x = 0

如果x₁(t)和x₂(t)是此齊次方程的解，則其線性組合k₁ x₁(t) k₂ x₂(t)也必然是其解，其中k₁和k₂為任意常數。

一）齊次方程 A x = 0 的求解

求解這個齊次方程的關鍵在于确定其解的大緻形式。我們知道，指數函數e^(λt)的n階導數是

(dⁿ/dtⁿ)e^(λt) = λⁿe^(λt)

如果假設上述相關齊次方程的解具有形式 k e^(λt)，其中k和λ是常數，代入方程得

A k e^(λt) = k(λ² 2βλ ω₀²)e^(λt) = 0

顯然e^(λt) ≠ 0，k ≠ 0（若k=0則x(t)≡0，這是個平凡解），由此得方程

(λ² 2βλ ω₀²) = 0

這個是齊次方程 A x = 0 的特征方程。由此特征方程可解得兩個根λ₁和λ₂，若此根非重（即λ₁≠λ₂）則代入得通解

k₁ e^(λ₁t) k₂ e^(λ₂t)

其中 k₁ 和 k₂ 為待定常數。

如果特征方程的根是重根，即λ₁=λ₂=λ=-β，則假設齊次方程的解具有如下形式

k₂te^(λt)

代入方程得

k₂((λ² 2βλ ω₀²)t 2β 2λ)e^(λt) = 0

顯然λ² 2βλ ω₀²=0且2β 2λ=0，即k₂te^(λt)為方程的解。再加上解k₁e^(λ₁t)得重根下的通解

(k₁ k₂t)e^(λt)

現在考慮特征方程的兩個複數根的情況，即

λ=(-β±j√(ω₀²-β²))

代入通解k₁e^(λ₁t) k₂e^(λ₂t)得

e^(-βt)(k₁ e^( jωt) k₂ e^(-jωt))

其中ω=√(ω₀²-β²)

實際解為其實部，即

x(t) = e^(-βt)(k₁ cos(ωt) k₂ cos(ωt))

總結上述解，可歸納為三種情況

1）β>ω₀

此為過阻尼，無振蕩。

2）β=ω₀

此為臨界阻尼，無振蕩。

3）β<ω₀

此為欠阻尼，振蕩。

此外，還有幾個需要關注的參數

1）ω=√(ω₀²-β²))

振蕩角頻率

2）τ=1/(2β)

能量衰減的時間常數

3）Q=ωτ

品質因數

二）非齊次方程 A x = f₀cos(ωt) 的解

将方程表示成複數形式，即

A x = f₀e^(jωt)

假設此方程有如下形式的解

K e^(jωt)

其中K是個複常數，代入方程得

K(ω₀² - ω² j2βω)e^(jωt) = f₀e^(jωt)

解得K為

K = f₀/(ω₀² - ω² j2βω)

即得特解

[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt)

再加上齊次方程的通解，便得到此非齊次方程的通解

[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt) k₁ e^(λ₁t) k₂ e^(λ₂t)

或

[f₀/(ω₀² - ω² j2βω)]e^(jωt) (k₁ k₂t)e^(λt)

三）應用舉例

前面對二階常系數線性齊次方程和f(t)=f₀cos(ωt)的特定非齊次方程給出了求解過程，下面具體分析幾個應用

1）彈簧阻尼振動系統

此系統遵循三個規律

a）牛頓第二定律——F = m a = m (d²/dt²)x

b）胡克定律——F = - k x

c）摩擦力——F = - γ v = - γ (d/dt)x

按力的疊加原理得方程

(d²/dt²)x (γ/m)(d/dt)x k/m = f(t)

其中f(t)為外加力。

對比方程(d²/dt²)x 2β(d/dt)x ω₀²x = f(t)，可知

β = γ/(2m)

ω₀² = k/m

特别的，若f(t)=f₀cos(ωt)（受迫振動）時，其穩态振幅是

f₀/√((ω₀² - ω²)² 4β²ω²)

=f₀/√(((k/m)² - ω²)² (γ/m)²ω²)

當ω=√(ω₀²-2β²)=√(k/m-(γ/m)²/2)時（即共振），具有最大振幅

f₀/(2β√(ω₀²-β²))

=f₀/((γ/m)√(k/m-(γ/m)²/4))

顯見，β較之ω₀越小，則ω越接近于ω₀，而此時振幅越大。

2）具有激勵源f(x)=U₀sin(ωt)的RLC串聯電路

顯然，其KVL方程為

R i (1/C)∫i dt L(d/dt)i = U₀sin(ωt)

兩邊求導數得

(d²/dt²)i (R/L)(d/dt)i i/(LC) = (ωU₀/L)cos(ωt)

對比方程(d²/dt²)i 2β(d/dt)i ω₀²i = f₀cos(ωt)，有

β = R/(2L)

ω₀² = 1/(LC)

f₀ = (ωU₀/L)

類似可得到各種情況下的解，在此略。

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