一、基本函數圖像

要想學好函數圖像并做好與函數圖像有關的數學題，最首要的任務，當然是要熟練掌握一些基本函數的圖像了。

我所說的基本函數，包括基本初等函數，還有就是解題時最常用到的一些常見函數。

比如雙曲函數，還有導數中的六個基本函數等。

下面，還是帶大家先了解下相關的函數圖像。

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最簡單的，當然就是一次函數y=kx b了。

要記住的是，k>0時單調遞增，k<0時單調遞減，

與y軸的交點為(0,b)。

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最難但也是最熟悉的，肯定是二次函數

說它是最難的，應該是因為它是三角函數之前，我們接觸的唯一一個不單調的函數吧。

從圖像中也不難發現，三個系數a、b、c在圖像中是各司其職分工明确的：

a決定了抛物線的開口方向和張口的大小，b決定了抛物線對稱軸的位置，c決定抛物線上下的位置。

不過講真的，二次函數的值域是真的重要的，尤其在複合函數中。

其次，二次方程零點的分布，也是最常見的考題哦。

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反比例函數，我自認為也是很重要的。

尤其是它的圖像，可是和我們說的圓錐曲線中的雙曲線，是一樣一樣的。

另外，值得關注的是，從這裡開始，其實我們就接觸了”漸近線“這個很特别的概念。

不過，對于圖像來說，這個漸近線真的是很重要的，而且往往會成為我們解題的盲點所在。

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這個，其實就是反比例函數圖像平移後的結果，我們一般稱之為”雙曲函數“。

當然是因為圖像依然是雙曲線的原因了。

顯然的，因為

兩條漸近線便理所應當地為：

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其實上面的這種形式，應當是大家最熟悉的了。

傳說中很形象地”對勾函數“。

其實，它也是”雙曲函數“的一種，畢竟a、b異号時沒有”對勾“的存在。

不過如果是”對勾“時，一定要注意取得極值時的條件。因為基本不等式的雛形其實也是它的。

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因為對于指數式的熟悉，指數函數其實同學都是不陌生的。

它的圖像也真的是簡潔明了。記住兩個關鍵點：(0,1)和(1,a)。

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對數式相對于許多孩子來說，因為初中并沒有接觸過，可能還是要陌生一點。

不過仔細看一看，也還好吧，因為圖像也是單調的。

和指數函數一樣，也要關注兩個特殊點:(1,0)和(a,1)。

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這個動圖，反映了指數函數與對數函數之間的關系。

可能很多的同學，都已經淡忘了”反函數“這個概念了吧。

互為反函數的兩個函數，圖像是關于y=x對稱的。

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幂函數，其實我并不喜歡。

主要是還是因為，考題中還是很少會涉及到它的吧。

當然，二次函數和三次函數與它還是很密切的。

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如果講圖像的變換，首選函數當然是三角函數了。

也是一定要弄清楚三個參數在圖像中的作用的。

A：又叫振幅，主要是反映了圖像上下的高度。

ω：反映圖像的疏密程度，其實也就是周期了。它的值越大周期越小，它的值越小，周期越大。

Φ：又稱初相，反映圖像的左右位置，它的改變會導緻圖像左右的平移。

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除了這些基本函數的圖像，還有要掌握的，就是導數中的六個常考函數。

真的是最常考的，也是學導數必須要掌握的導數基本函數。

它們分别是：

下面，就是它們的圖像了。

1

2

3

4

5

6

圖像變換

好了，掌握了上面這些基本函數的圖像，第二件事，就是要熟練掌握圖像變換的基礎知識了。

圖像的變換主要有平移、伸縮和對稱變換。對于我們來說，自從有了三角函數以後，熟練掌握三種變換應該還是不太難的。

一、平移變換：

平移變換遵循“左加右減”的原則。

①若a>0，則f(x a)是由f(x)的圖像向左平移a個單位長度得到，f(x-a)是由f(x)的圖像向右平移a個單位長度得到。

②若b>0，則f(x) b是由f(x)的圖像向上平移b個單位長度得到，f(x)-b是由f(x)的圖像向下平移b個單位長度得到。

二、伸縮變換：

①f(a·x)是由函數f(x)圖像上所有點的縱坐标保持不變，橫坐标拉伸或壓縮到原來的a倍所得到。

a>1為從左右兩側向y軸壓縮

0<a<1為從y軸向左右兩側拉伸

②a·f(x)的圖像是由f(x)圖像上所有點的橫坐标保持不變，縱坐标拉伸或壓縮到原來的a倍得到。

a>1為從x軸向上下拉伸

0<a<1為上下向x軸壓縮

三、翻折變換

①|f(x)|的圖像作法：做f(x)在x軸下方部分關于x軸對稱圖像，并将x軸下方部分擦去，x軸上方部分保持不變。

②f(|x|)圖像作法：擦去函數f(x)在y軸左側部分圖像，右側部分保持不變，并做其關于y軸對稱圖像。

圖像的應用

一、圖像判斷

給定解析式，判斷函數的圖像，主要從以下幾個方面着手進行排除确定。

①定義域

②奇偶性（對稱性）

③特殊的點或線：與坐标軸交點、漸近線。

④函數值的分布：指的是函數值的正負、大緻範圍或極限值。

⑤單調性：圖像自左向右上升或下降的走勢

⑥凹凸性

二、解不等式

不等式f(x)>g(x)的幾何意義為：曲線f(x)在曲線g(x)上方部分圖像上所有點的橫坐标取值集合。

根據不等式的幾何意義，可以很方便地解不等式。

三、零點問題

函數y=f(x)的零點就是相應方程f(x)=0的根，也可以通過分離函數轉化兩圖像的交點。

四、研究函數性質

通過函數的圖像，可以直觀反映出函數的單調性、對稱性、最值及極值點等性質。

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