主成分分析（principal components analysis，簡稱PCA）是一種降維分析，将多個指标轉換為少數幾個綜合指标，由霍特林于1933年首先提出。

主成分分析方法之所以能夠降維，本質是因為原始變量之間存在着較強的相關性，如果原始變量之間的相關性較弱，則主成分分析不能起到很好的降維效果，所以進行主成分分析前最好先進行相關性分析。

中心城市的綜合發展是帶動周邊地區經濟發展的重要動力。因而，分析評價全國35個中心城市的綜合發展水平，無論是對城市自身的發展，還是對周邊地區的進步，都具有十分重要的意義。

原始數據及指标解釋。我們選取了反映城市綜合發展水平的12個指标，其中包括8個社會經濟指标，分别為：—非農業人口數（萬人）；—工業總産值（萬元）；—貨運總量（萬噸）；—批發零售住宿餐飲業從業人數（萬人）；—地方政府預算内收入（萬元）；—城鄉居民年底儲蓄餘額（萬元）；—在崗職工人數（萬人）；—在崗職工工資總額（萬元）。

4個城市公共設施水平的指标：—人均居住面積（平方米）；—每萬人擁有公共汽車數（輛）；—人均擁有鋪裝道路面積（平方米）；—人均公共綠地面積（平方米）。

問題：請使用主成分分析，将這12個指标綜合為少出幾個綜合指标。

在開始解決這個問題之前，有必要先了解一下主成分分析的基本原理及其求解方法。

1、幾何意義

如下圖所示，平面上散落着N個點，無論是沿x1軸方向，還是沿x2軸方向，均有較大的離散性，即這些點所代表的信息由兩個指标x1,x2所決定，若隻考慮x1和x2中的任何一個，原始數據中的信息均會有較大的損失。

如果我們将坐标軸進行一個旋轉操作，得到新的坐标軸y1和y2，如上圖所示。則會發現這些點隻在y1方向上有較大的離散性，即y1可以代表原始數據的絕大部分信息。

也就說原來需要2個指标才能表示的信息，經過一些處理後，變成隻需要1個指标，而且不會損失太多的信息，即所謂的降維。

上述坐标旋轉公式如下：

從公式可以看出，坐标旋轉本質上是線性變換，将原來的x1和x2，通過線性變換轉換為y1和y2。

所以主成分分析其實就是将原來的指标進行線性變換，生成新的指标，下面介紹主成分分析更一般的數學模型。

以下提到的數學理論，不感興趣可以略過，因為主成分分析一般都是通過工具（如SPSS）進行，不需要手動計算！

2、數學模型

主成分分析數學上的處理是将原始的p個變量作線性組合，作為新的變量。

從上方可以看到，有幾個原始變量，就會得到幾個主成分。

實際研究工作中，通常隻挑選前幾個方差最大的主成分，從而達到簡化系統結構、抓住問題實質的目的。

從數學的角度看，求解主成分，其實就是根據數據源的協方差陣，求解特征根、特征向量的過程。

一個結論：主成分可以利用協方差陣的特征值對應的單位正交特征向量來表示。

說明：上述結論其實是一個數學定理，有嚴格的證明過程，感興趣的同學可以參考相關書籍。

求出主成分後，如何選擇主城分呢？我們引入貢獻率，貢獻率通過特征根的來表示。

說明：上述λ其實就是特征根。

根據貢獻率，一般要求累計貢獻率達到80%以上就可以了。當然，這隻是一個大體标準，具體選擇幾個要看實際情況。

從數學角度看，求解主成分的步驟分為以下4步。

因為主成分分析涉及不同指标之間的運算，所以需要考慮數據的标準化。

• 對于度量單位不同的指标或取值範圍彼此差異非常大的指标，應該先将數據标準化，然後求協方差陣；
• 對同度量或取值範圍在同量級的數據，從協方差矩陣求解主成分。

說明：主成分本來是從協方差陣開始分析，如果從“相關系數矩陣”出發進行分析，相當于将原始數據标準化後，再從協方差陣進行主成分分析，即從相關系數矩陣出發進行主成分分析，則不需要單獨進行數據标準化。

用SPSS進行主成分分析，主要分為以下3步。

1、将數據複制到SPSS中，選擇菜單：分析-降維-因子分析，得到以下對話框

說明：SPSS中沒有單獨的主成分分析選項，通過因子分析（另一種降維分析方法）中的主成分分析進行。

2、“描述”對話框中，勾選“系數”，即給出相關系數矩陣

“抽取”對話框，默認就行。

說明：這裡通過相關系數矩陣判斷原始變量的相關性。

3、單擊“确定”，即可得出主成分分析的相關結論，SPSS會給出以下4個方面的結論

（1）相關系數矩陣

由相關系數矩陣可以看出，原始變量之間的相關性還是不錯的，至少部分變量之間如此，說明可以采用主成分分析。

（2）公因子方差

公因子方差反映了本次主成分分析從每個原始變量提取的信息，即對每個原始變量的代表程度，可以看出，主成分對于大部分原始變量的代表程度還是不錯，個别較低。

（3）總方差解釋

總方差解釋反映了各個主成分的貢獻率及累計貢獻率，第三列表示貢獻率，第四列表示累計貢獻率，可以看到，提取前3個主成分，累計貢獻率就可以達到87%以上，即這3個主成分集中了12個原始變量的87%的信息。

（4）成分矩陣（或因子載荷矩陣）

成分矩陣（或因子載荷矩陣）反映了提取的3個主成分與原始變量的相關性，從上面可以得出以下結論：

• 主成分1跟原始變量x1,x2,x3,...,x8的相關性較強；
• 主成分2跟原始變量x10,x11,x12的相關性較強；
• 主成分3跟原始變量x9的相關性較強。

對主成分進行解釋：

• 原始變量x1,x2,x3,...,x8反應的是城市規模和經濟發展水平，所以主成分1命名為城市規模及經濟水平；
• 原始變量x10,x11,x12反應的是城市基礎設施，所以主成分2命名為城市基礎設施；
• 原始變量x9反應的是城市人均居住面積，所以主成分3命名為城市人均居住面積。

綜上，通過主成分分析，将反應原始數據的12個指标綜合為3個綜合指标，分别為：

• 城市規模及經濟水平
• 城市基礎設施
• 城市人均居住面積

從而起到了降維的作用。

你是否使用過主成分分析（PCA）呢？歡迎留言評論！

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