立體幾何學習方法9字訣：畫、拉、記、 辯、嵌、 猜、變、換、 算

文/劉蔣巍

很多人在學習立體幾何時感到困難，主要是因為沒有掌握有效的學習方法。筆者提出9個學習立體幾何的方法，這些方法已經在長期的教學實踐中得到檢驗。

方法1：畫

對于一個空間幾何體，想象其空間圖形并畫出來，對學習立體幾何是非常有益的，要讓所畫（或所看到）的“立體”圖形，真正地在腦海中“立”起來。

否則，對于類似下面簡單的問題也會得到錯誤的答案。

方法2：拉

根據“長對正，高平齊，寬相等”，不難由幾何體畫出相應的三視圖，但往往難以由三視圖想象出相應的幾何體。如下面的問題：

事實上隻要以俯視圖為突破口，抓住關鍵的點或線拉一拉，幾乎所有三視圖的問題甚至無需畫圖即可解決。如本題中把俯視圖中A點沿着垂直于紙面方面拉一拉，拉起來的高度為2；并且俯視圖是底邊長為4，高度為3的三角形，求其體積便是一件很自然的事情。

方法3：記

概念、公理、定理自然要記，但一些重要的中間結論同樣也要記。隻是不能死記，要在理解的基礎上去記。有時，利用這些結論可以很快地解決一些運算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇題或填空題時。對于解答題雖然不能直接運用這些結論，但我們可以把這些結論先證出來再加以運用。如數一個幾何體有多少對異面直線，往往數一個幾何體有多少個四面體（因為四面體模型中有三對異面直線）就可以了。

方法4：辯

一個命題由平面過渡到空間，正确的要能證明，錯誤的要舉出反例。即便都是空間的命題，有些比較相近的内容也容易混淆，因此學習時一定要辯一辯，徹底地弄明白，不留死角，不留盲點。

如“平行于同一條直線的兩條直線平行”（正确，平行的傳遞性）與“垂直于同一條直線的兩條直線垂直”（錯誤，譬如牆角）；又如在證明一個幾何命題時，什麼時候用判定定理，什麼時候用性質定理，都要用心辨别。一般而言，由未知，想判定；由已知，想性質。

方法5：嵌

有沒有把一個非标準的幾何體嵌入到标準的幾何體（如：長方體）中的意識，涉及到我們有沒有轉化與化歸的數學思想。 如：

本題若直接計算，将費時費力。如果将所給的四面體嵌入到正方體 OAEB-CFDG（如圖 4）中，很快就會選出正确答案（B）。

方法6：猜

猜想能激發學生的求知欲，猜想正确時會感受到猜想的樂趣，享受到成功的喜悅，學生會以更大的熱情投入新知的探求中。在學習過程中通過适時、适度的引導，啟發學生猜想，可以将新知識納入到整個知識體系之中。

方法7：變

有些學生時常滿足一知半解，做題時照葫蘆畫瓢，不能領會實質，不能掌握解決該類題的通性通法，這與近幾年高考的要求是相左的。因此必須從題海中解脫出來，要學一題，得一法，會一類。

本題由兩問組成，顯然是為了控制難度，尤其是第一問證出以後，很容易得到 H 是△A1C1B 垂心的結論，而△A1C1B 又是正三角形，為第二問的解決鋪平了道路。

我們不妨将其變一變：

事實上，第（1）問是一個假命題，是想讓同學們知道如何說明一條直線與一個平面不垂直；而第（2）問正是基于通性通法而考慮的，怎樣正确作出 B1D 與平面 A1C1B 的交點 H 是解決本題的關鍵。

我 們可以這樣思考：點H一定要變成同一平面内兩條直線的交點， 那麼就要在含 B1D 的面中尋求另一條直線。 我們自然想到平面 BDD1B1，如圖 7，不

難發現平面 BDD1B1 與平面 A1C1B有兩個公共點B、O1 （為了便于學生觀察，平面 BDD1B1 用紅色，平面 A1C1B 用藍色，姑且稱 B、O1 為雙色點），顯然 B、O1 是這兩個平面的交線，而易知點 H 是這兩個平面的公共點。 因此，H在BO1上且BO1∩B1D；接下來，BO1 是△A1C1B 的中線且BH=2HO1都是很顯然的。

就這樣，從已知到未知，又從未知到已知，尋求正反兩方面知識銜接點之間的一個固有的或确定的數學關系，使問題得以順利解決。

方法8：換

換一種叙述方式，變換它的結構，直到發現有價值的東西，這是解題的一個重要原則。

例如下面一道求直線與平面所成角的問題：

思路一：可以利用 VB1-BDC1=VD-BB1C1 求點 B1 到平面 BDC1 的距離，把問題換成求直線與平面所成角的正弦值；

思路二：也可以把“求 BB1 與平面 BC1D 所成角的正切值”換成“求 CC1 與平面 BC1D 所成角的正切值”， 這樣一來三棱錐 C-BDC1 正是長方體一角模型，由直角頂點向底面作高，同學們非常熟悉；

思路三： 注意 A1C 到與平面 BC1D 垂直的事實，本題也可換成求異面直線 BB1 與 A1C 所成角的問題。

可以看出，通過不斷轉換命題的形式，把它轉化為一類已經解決或是較容易解決的問題，可使問題由繁變簡，由難變易。

方法9：算

立體幾何計算題， 單純的計算往往無濟于事，必須輔之必要的空間想象及必要的邏輯推理。

如果能建立空間直角坐标系如圖10，設球心O 的坐标為（x，y，z），因為|OM|=|OB1|=|OC|=|OD1|，利用空間兩點之間的距離公式不難解決；但如果能注意到球心在 AC1 上，故可設球心 O 的坐标為（t，t，t），則隻需要利用|OM|=|OB1|即可解決。

當然，學好立體幾何還要注意與其它知識的有機聯系。不過九九歸一，學之道在于悟。隻善于思考，善于總結，落實一個“悟”字，才能真正領會和掌握這些學習方法的精髓。

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