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球面上兩點間的距離定義

圖文 更新时间:2025-04-02 18:41:25
為何地圖上的航線是曲線

如果我們觀察地圖上的航線,就會發現航線是彎曲的。

球面上兩點間的距離定義(球面兩點間的最短距離)1

基本上可以認為地球是個球體,如果飛機在兩個城市之間飛行,最好的飛行線路是取這兩個城市之間的最短距離。這其實課看成球面上任意兩點之間的最短距離。過球面上的任意兩點以及球心可以做一個截平面,與球面的截痕為一個圓,這個圓的大小不随兩點不同而變化,半徑都是球半徑。這個圓是任意平面與球面相截得到的所有不同的圓中,半徑最大的,因此叫做大圓。而隻要你沿着球表面做線連接任意兩個點,曲線長度最短的一定是這個大圓的劣弧長度。航線按兩個城市之間的大圓弧航行才最經濟。地圖是球面向平面做投影做出來的,所以我們看到的航線就是曲線了。

定理:球面上任意兩點間的距離以大圓最短

初等幾何的觀察

如圖AB是連接A,B兩點的大圓弧,C是AB弧上的任意一點,過C做以A,B為極點的圓,設AF,GF,GB為一條球面曲線,且BG是大圓弧,AF也是大圓弧

則CB=BG,AC=AF,但AF FG GB>AF GB=AC CB=AB.

如果B,E,D,A是另外一條球面上的曲線,過B,D,A的球面三角形中AD BD>AB,

過E,B,A的球面三角形中亦有BE AE>AB。

球面上兩點間的距離定義(球面兩點間的最短距離)2

微積分證明

下面我們利用球面坐标系與微積分給出一個精确的證明。

令A,B是半徑為R的球面上的任意兩點,C為球心,大圓弧長可以表達為

球面上兩點間的距離定義(球面兩點間的最短距離)3

以C為中心建立直角坐标系,讓A在z軸上,則球面上任意一點P的坐标可以寫成:

球面上兩點間的距離定義(球面兩點間的最短距離)4

球面上兩點間的距離定義(球面兩點間的最短距離)5

空間中任意曲線的長度可以定義為:

球面上兩點間的距離定義(球面兩點間的最短距離)6

其中s是參數,對球面曲線就有

球面上兩點間的距離定義(球面兩點間的最短距離)7

所以

球面上兩點間的距離定義(球面兩點間的最短距離)8

上式嚴格成立,也就是要求不論s取值如何都不能離開大圓弧AB時等式嚴格成立,這就證明了球面上兩點的最短距離為大圓弧。這個距離被高斯稱為球面測地線。

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