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求反比例函數上滿足條件的點坐标是初二數學的重要題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題方法，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。

如圖，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經過等腰直角三角形AOB的直角頂點A，交y軸于點C，雙曲線y=k/x也經過點A，連接BC。

（1）求k的值；

（2）判斷△ABC的形狀；

（3）若P為x軸正半軸上一動點，在點A右側的雙曲線上是否存在一點M，使得△PAM是以點A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點M的坐标；若不存在，請說明理由。

解題過程：

1、求k的值

過點A作AD⊥OB于點D

根據等腰直角三角形的性質和題目中的條件：△AOB為等腰直角三角形，則∠AOD=∠ABO=45°；

根據題目中的條件和結論：AD⊥OB，∠AOD=45°，則∠OAD=45°；

根據等角對等邊性質和結論：∠AOD=∠OAD=45°，則OD=AD；

設OD=AD=a，則點A的坐标為(a,a)；

根據題目中的條件：直線：y=3x-4經過點A，點A的坐标為(a,a)，則a=2，即點A的坐标為(2,2)；

根據題目中的條件：點A在雙曲線y=k/x上，點A的坐标為(2,2)，則k=4；

所以，反比例函數的解析式為y=4/x。

2、判斷△ABC的形狀

根據等腰三角形的性質和題目中的條件：△AOB為等腰直角三角形，AD⊥OB，則OB=2OD；

根據結論：OD=2，OB=2OD，則OB=4，即點B的坐标為(4,0)；

根據題目中的條件：直線：y=3x-4與y軸交于點C，則點C的坐标為(0,-4)，即OC=4；

根據結論：OB⊥OC，OB=OC=4，則∠OBC=45°；

根據結論：∠OBC=45°，∠ABO=45°，則∠ABC=∠OBC ∠ABO=90°；

所以，△ABC為直角三角形。

3、求出點M的坐标

根據題目中的條件：△AOB、△PAM為等腰直角三角形，則∠OAB=∠PAM=90°，PA=AM，OA=AB；

根據題目中的條件和結論：∠OAB=∠OAP ∠PAB，∠PAM=∠BAM ∠PAB，∠OAB=∠PAM=90°，則∠OAP=∠BAM；

根據全等三角形的判定和結論：PA=AM，∠OAP=∠BAM，OA=AB，則△OAP≌△BAM；

根據全等三角形的性質和結論：△OAP≌△BAM，則∠ABM=∠AOD，OP=BM；

根據結論：∠AOD=∠ABO=45°，∠ABM=∠AOD，則∠PBM=∠ABO ∠ABM=90°；

根據結論：∠PBM=90°，OB=4，則點M的橫坐标=4；

根據題目中的條件和結論：點M在雙曲線y=4/x上，點M的橫坐标=4，則點M的坐标為(4,1)。

解決本題的關鍵是利用等腰直角三角形的性質得到函數圖像上的點坐标的特點，進而求得函數解析式；利用幾何圖形的線段間的關系得到角度間的數量關系，進而證明到三角形的形狀；利用全等三角形的性質得到角度間的等量關系，進而證明到線段間的位置關系，進而求得滿足條件的點坐标。​

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