最近有時在網絡視頻教學中，看到關于任意四個連續整數相乘的方程講解，總感覺意猶未盡，一時興起，對四個連續整數相乘的數理及拓展，發表一下個人之淺見，不當之處，還請斧正。
先把其中一個方程，摘抄如下：
（1）：X^2-1=355*356*357*358，求X的值？
暫時先不談其解法，還是先從以下幾個步驟着手來分析。
一、 首先刨根問底，追根溯源，先搞清楚“四個連續整數相乘”具體說了什麼，也許方程就不攻自破了。“為什麼會有這樣的題目出現，是空穴來風嗎？”
“對于這樣的四個連續整數相乘的方程，其數理根源到底是從哪裡來的？”
反複通過查詢資料，終于發現在陳景潤的《初等數論1》第32頁的第一章習題中有一個證明題，第4小題具體摘抄如下：
“4.證明任意四個連續整數的乘積加1必定是一個平方數。”
書本上摘抄如下圖：
書上的證明習題
如果對方程“X^2-1=355*356*357*358”改變一下形式，變成“X^2=355*356*357*358 1”就與這個證明題中的描述完全符合了。
個人認為：這個證明題就是“四個連續整數相乘的方程”這類題型的數理根源。
（備注：因為手頭資料有限，當然是不是隻有這本書中有，我不得而知，具體是誰發現的，也未作考究。暫且把它當作數理根源吧！）
二、 其次是找到其證明過程。剛好其書上有證明的過程（陳景潤的《初等數論1》第93-94頁處）。
原文證明過程摘抄如下：
證明：我們以a，(a 1)，(a 2)，(a 3)代表四個連續整數，其中a是一個整數，則
a(a 1)(a 2)(a 3)=(a^2 3a)(a^2 3a 2)=[(a^2 3a 1)-1][(a^2 3a 1) 1]=（a^2 3a 1）^2-1
上式右端括弧内a^2 3a 1是一個整數，故（a^2 3a 1）^2是一個平方數。
書上證明過程具體如下圖：
書上的證明步驟
三、 仔細查看證明過程中數理的步驟及邏輯方法，反複詢問自己是否有不解之處？當然證明的步驟與邏輯方法肯定是沒有問題的。通過數的分解，成功地分離出了一個“-1”，得到了一個平方數：（a^2 3a 1）^2。
對于其中的每一個步驟自己是否都懂了呢?
對于表達式中“a(a 1)(a 2)(a 3)=(a^2 3a)(a^2 3a 2)”中少了一個乘法結合律的步驟: a(a 1)(a 2)(a 3)=[a(a 3)][(a 1)(a 2)] =(a^2 3a)(a^2 3a 2)。
實際上就是：“首尾兩數相乘的積”與“中間兩數相乘的積”再相乘。
1、如果是任意四個連續的偶數的乘積加幾必定是一個平方數？
2、如果是任意四個連續的奇數的乘積加幾必定是一個平方數？
3、對于任意四個數有沒有其它方式的進行連續？如果有其乘積加幾必定是一個平方數？
4、因此也對于題目中“連續”兩字産生了疑惑，“數的連續”具體是以什麼方式進行連續的呢？
帶着上面的幾個疑問，便開始下面的自我探索之旅。
四、 再次追尋先輩之腳步，先從最簡單又具體的數開始進行分析。從下面三組最簡單的“四個連續的整數”開始分析。
如下：
第一組: 1*2*3*4，
第二組: 2*3*4*5
第三組: 3*4*5*6
第一組：乘法的結合律有以下三種形式：
第二組：乘法的結合律有以下三種形式：
第三組：乘法的結合律有以下三種形式：
仔細對比這幾組數，發現一個有規律的現象，每組中第3種結合方式中“中間兩數相乘的積”與“首尾兩數相乘的積”之差都是2.
具體如下：
4*6中，6-4=2，
10*12中，12-10=2，
18*20中，20-18=2，
由此猜想：四個連續整數的中間兩數之積總比首尾兩數之積大2。
由上例證明題中可知：
a(a 1)(a 2)(a 3) =[ a(a 3)]*[(a 1)(a 2)] =(a^2 3a)*(a^2 3a 2)
得出"中間兩數之積"減"首尾兩數之積"：(a^2 3a 2) -(a^2 3a)=2
由此可以證明猜想是正确的。
這有什麼用呢？
很容易聯想到平方差的公式：
(A B)(A-B)=A^2-B^2
當B=1時，其形式如下：
(A 1)(A-1)=A^2-1^2= A^2-1
其中(A 1)-(A-1)=2,是巧合嗎？
平方差公式的拓展變化形式之一：
A(A 2)= [(A 1)-1]*[(A 1) 1]=(A 1)^2-1^2=(A 1)^2-1 ---（4）
其中後面的數比前面的數大2：(A 2)-A=2。
通過比較得出以下結論：四個連續整數相乘的中間兩數的乘積與首尾兩數的乘積之差是2，剛好以構成（4）中平方差形式。
因為：“中間兩數的乘積”-“首尾兩數的乘積”=2
設“首尾兩數的乘積”=A,則 “中間兩數的乘積”= A 2
所以：四個連續整數相乘=“首尾兩數的乘積” *“中間兩數的乘積”= A(A 2)=（“首尾兩數的乘積” 1）^2-1=(A 1)2-1
總算找到了“為什麼一定要這樣結合”的數理之根源。
（備注：1*2*3*4 1=(1*4)*(2*3) 1=4*6 1=[(4 1)-1)]*[(4 1) 1] 1=(5-1)*(5 1) 1=5^2-1 1=5^2。因為這個數理等式含有推導，其中也有（4）這種平方差公式的拓展變化。所以我會通過上面最簡單的實際數例來記它。）
知道“四個整數連乘”說了什麼，對于開始的題目就不難解了：
（1）：X^2-1=355*356*357*358，求X的值
解：X^2-1=355*356*357*358
X^2=355*356*357*358 1
=(355*358)*(356*357) 1
=[(355*358 1)-1]* [(355*358 1) 1] 1
=(355*358 1)^2-1^2 1
=(355*358 1)^2
所以：X=±(355*358 1)=±127091
因此注重其推導,并理解後，X2就等于“首尾兩個數的乘積并加1”的平方了，隻不過增加了計算量。
當然除了會做這類題以外，還找到了出題的方向，能随意出題了，不是嗎？
出題的方向，其形式如下：
X^2-1=“任意四個連續整數相乘”
或
X^2=“任意四個連續整數相乘” 1
我就不出題了，有興趣的朋友自己出幾個題目試試？
“如果會出題了，還會怕做題嗎？”這是我一慣的想法。
數學類比參考點圖
聲明：以下内容隻是個人的構思與想法，僅是個人的淺見。不作為解題的步驟，也與考試無關。其中的拓展思考僅作參考。由于其中部分的數理是靠自己猜想後，進行推理出來的。如有不當之處，還請斧正。
1、如果是任意四個連續的偶數的乘積加幾必定是一個平方數？
先從以下三組最簡單的“任意四個連續的偶數的乘積”開始分析：
第一組：2*4*6*8，
第二組：4*6*8*10
第三組：6*8*10*12
第一組乘法的結合律有以下三種形式：
第二組乘法的結合律有以下三種形式：
第三組乘法的結合律有以下三種形式：
再仔細對比這幾組數，同樣發現一個有規律的現象，每組中第3種結合方式中，“中間兩數相乘的積”與“首尾兩數相乘的積”之差都是8.
如下：
16*24中，24-16=8，
40*48中，48-40=8，
72*80中，80-72=8，
再對每組數中的第3種結合進行再次的分解：
3、6*8*10*12=（6*12）*（8*10）=72*80=(76-4)*(76 4)=76^2-4^2
這三組數都是多麼有規律，都是“-4^2”
2、如果是任意四個連續的奇數的乘積加幾必定是一個平方數？
先從以下三組最簡單的“任意四個連續的偶數的乘積”開始分析：
第一組：1*3*5*7，
第二組：3*5*7*9
第三組：5*7*9*11
第一組，乘法的結合律有以下三種形式：
第二組，乘法的結合律有以下三種形式：
第三組，乘法的結合律有以下三種形式：
再仔細對比這幾組數，同樣發現一個有規律的現象，每組中第3種結合方式中，“中間兩數相乘的積”與“首尾兩數相乘的積”之差都是8.
如下：
7*15中，15-7=8，
27*35中，35-27=8，
55*63中，63-55=8，
再對每組數中的第3種結合進行再次的分解：
這三組數同樣多麼有規律，都是“-4^2”
大膽的猜想如下：
1、任意四個連續的偶數的乘積加16必定是一個平方數。
2、任意四個連續的奇數的乘積加16必定是一個平方數。
設：a是自然數，任意四個連續的偶數分别是2a,2a 2,2a 4,2a 6
(2a*(2a 2)*(2a 4)*(2a 6)=2^4[a*(a 1)(a 2)(a 3)](因式中提取2後，此處又變成了任意四個連續整數連乘的形式)
=2^4[a*(a 3)(a 1)(a 2)]（首尾相乘的積與中間兩數之積相乘）
=2^4[a*(a 3) 1]^2-1]
=2^4[a*(a 3) 1]^2-2^4
=[2^2(a^2 3a 1)]^2-2^4
=[2^2(a^2 3a 1)]^2-16
由此可見：
2a*(2a 2)*(2a 4)*(2a 6) 16=[2^2(a^2 3a 1)]^2-2^4 16=[2^2(a^2 3a 1)]^2
這個平方數是：[2^2(a^2 3a 1)]^2
所以“任意四個連續的偶數的乘積加16必定是一個平方數”是正确的。
設：a是自然數，任意四個連續的奇數分别是：2a 1,2a 3,2a 5,2a 7.
(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7)=(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7)
=(2a 1) *(2a 7)*(2a 3)*(2a 5)
=（4a^2 16a 7）(4a^2 16a 15)
=[（4a^2 16a 11）-4]*[(4a^2 16a 11) 4]
=（4a^2 16a 11）^2-4^2
由此可見：
(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7) 16=（4a^2 16a 11）2-4^2 16=（4a^2 16a 11）^2
這個平方數是：（4a^2 16a 11）^2
所以“任意四個連續的奇數的乘積加16必定是一個平方數”是正确的。
3、對于任意四個數有沒有其它方式的進行連續？如果有其乘積加幾必定是一個平方數？
4、因此也對于題目中“連續”兩字産生了疑惑，“數的連續”具體是以什麼方式進行連續的呢？
首先對 “連續”兩個字提出自己的看法：
我們經常會說四個連續的整數，實際上四個連續的整數之間的相差為1，即步長為1。
個人認為數的連續是以“步長”為方式進行連續的。
例如下面三組數的連續是步長為3的四個連續的整數相乘形成：
1*4*7*10
2*5*8*11
3*6*9*12
當然還有步長為：4、5、6….等等，四個連續的整數相乘的形式。
個人感想：在數學中，思考的終級目的是如何快速計算，快速計算的方法是尋找通項式。
如何來找不同步長的四個連續的整數相乘的通項式呢？又能找到嗎？
先對第3個小問題轉化為如下的描述：
以任意“步長”作為連續的四個整數的乘積加幾必定是一個平方數。（步長為整數）
推理：
假設: a為任意整數，d為任意步長為整數，“任意“步長”作為連續的四個整數”：a,a d,a 2d,a 3d
a(a d)(a 2d)(a 3d)= a(a 3d)(a 1d)(a 2d)=(a^2 3da)(a^2 3da 2d^2)
= [(a^2 3da d^2)- d^2][(a^2 3da d^2) d^2]
= (a^2 3da d^2)^2- (d^2)^2
= (a^2 3da d^2)^2- d^4
由結果可知：因此加上d^4 ，(a^2 3da d^2)^2就剛好是一個平方數。
結論如下:
以任意“步長”作為連續的四個整數的乘積加“步長的四次方”必定是一個平方數。（步長為整數）
驗證：
1、d=1時，
a(a d)(a 2d)(a 3d) d^4= (a^2 3da d^2)2- (d^2)^2 d^4
=(a^2 3da d^2)^2
= (a^2 3a 1)^2
與上面“4.證明任意四個連續整數的乘積加1必定是一個平方數。”的結果是一樣的，都是:(a^2 3a 1)^2
2、當d=2時，
a(a d)(a 2d)(a 3d) d^4= (a^2 3da d^2)^2- d^4 d^4=(a^2 3da d^2)2=(a^2 6a 4)^2
a) n為整數，當a=2N時四個數才是偶數。其代入得：
(a^2 6a 4)^2=((2n)^2 6*(2n) 4)^2=[2^2(n^2 3n 1)]^2
與我自己證明的“任意四個連續的偶數的乘積加16必定是一個平方數。”中的平方數是:[2^2(a2 3a 1)]^2與驗證中[2^2(n^2 3n 1)]^2從數理上是等價的，(因為a,n都是任意整數）
b) n為整數，當a=2N 1時四個數才是奇數。其代入得：
(a^2 6a 4)^2=((2n 1)^2 6*(2n 1) 4)^2=[4n^2 16n 11)]^2
與我自己證明的“任意四個連續的奇數的乘積加16必定是一個平方數。”中的平方數是（4a^2 16a 11）^2與驗證中[4n^2 16n 11)]^2從數理上是等價的。(因為a,n都是任意整數）
由此可見，從數理上是正确的。
當然進一步可以推廣到實數範圍。其數理便做如下修改：“以任意“步長”作為連續的四個連續的數的乘積加“步長的四次方”必定是一個數的平方。”
（注：平方數是指可以寫成某個整數的平方的數。這裡把“一個平方數”改為“一個數的平方”，把“四個連續的整數”改為“四個連續的數”，數就不一定是整數了，是實數，步長也是實數。
驗證舉例：
1、利用計算器計算：
X^2=1.1*2.3*3.5*4.7 1.2^4=43.6921=6.61^2
X^2=6.61^2
X=±6.61
2、利用公式計算：
此處：a=1.1,d=1.2 （都是不整數了）将其代入下面方程中
X^2=(a^2 3da d^2)^2= (a^2 3a 1)^2=(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)^2
X^2=(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)^2
X=±(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)= ±6.61
其結果是一樣的。
由此可見，
X^2-d^4=a(a d)(a 2d)(a 3d)
對于複數是不是也成立呢？
暫時就不舉例了，有興趣的愛好者可以試試？
1. 首先刨根問底，追根溯源。如找到這種四個連續整數相乘的數理來源。
2. 其次找到其證明過程。
3. 然後查看證明過程中數理步驟的邏輯及方法，反複詢問自己是否有不解之處？永遠抱有99%的相信度，但保留1%的懷疑度。有時并非要懷疑其正确性，而是考查其數理變化是否窮盡？
4. 再次追尋先輩之腳步，先從最簡單的具體的數開始來進行推理，再慢慢過渡到抽象的數（未知數），學習證明過程的歸納方法與手段。學會後，還要能自出這類題目。
5. 最後通過思考，利用最簡的模型來進行類比。用自己的語言來總結其變化規律，從而達到永遠記住。
當未知數在四個連續的數中如何解？
其拓展形式如下：
(X 1)(X 2)(X 3)(X 4)=3024，求X的值?
我又能否找到思考的方向嗎？
我又能找到出題的方法嗎？
我又能窮盡其變化嗎？
我又能得出什麼結論嗎？
【叁考：3024=6*7*8*9，或3024=（-9）*（-8）*（-7）*(-6）】
一個問題接一個問題永遠沒有盡頭，也許這就是數學迷人的地方吧！
最後引用數學家高斯的一句話作為結束語：“在數論中由于意外的幸運頗為經常，所以用歸納法可萌發出極漂亮的新的真理。”--高斯（Guass）
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